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1、微积分应用,-积分、级数、微分方程的应用,一、下雪时间的确定,背景,某地从上午开始下雪，均匀地下着，一直持续到天黑。从正中午开始，一个扫雪队沿着公路清除前方的积雪，他们头两个小时清扫了两公里长的路面，但是在接下来的两个小时里只清扫了一公里的路面。如果扫雪队在相等的时间里清除的雪量相等，试问雪是在什么时候下的？,分析 设扫雪队的扫雪速率为v(t)，从已知条件看，速率函数v(t)是递减函数。假设扫雪队开始扫雪前已经下了t0小时的雪，每小时下雪的厚度为h（厘米），扫雪队每小时清除的雪量为C(单位：厘米.公里)，单位时间内清除的雪量C与午后t时刻积雪的厚度h(t+t0)之比，就表示t时刻扫雪的速率,1
2、2,t,t0,h(t+t0),C,(公里/小时),由于头两个小时清扫了两公里，即,求得,1,又由于后两个小时清扫了一公里，即,求得,2,由1，2联解得,（舍去负根）,即t01小时14分10秒,也就是说，大概是上午10时45分50秒开始下的雪。,四、资源的合理开发与利用,人类赖以生存的资源中，有些可以再生的，比如森林、草场、牲畜、鱼类等。如何合理开发与利用这些资源呢？下面以鱼为例来简单阐述资源管理模型。,假设某养鱼场养有某经济鱼类A0条，这种鱼的年平均增长率（出生率与死亡率之差）为r，每年捕捞x条。此外，从第一年开始捕捞时，每年的年出都要投放一定数量的幼鱼，以使鱼类的生产能持续地进行。现在的问题
3、是，如何制定每年的捕捞量，才能避免鱼类资源的枯竭而使得该鱼场获得可持续良性发展？,合理假设,（1）以A0表示初始年放养并存活的幼鱼数，以后每年投放幼鱼的工作都在年初进行，且每年存活的幼鱼数都是Y；,（2）幼鱼经过一年生长，到下一年年初才长成具有繁殖能力的成鱼，且繁殖过程就在年初完成；,（3）捕捞作业在每年年底一次完成，且可以通过控制网眼的大小做到只捕捞成鱼。,建立模型,记yk为第k年养鱼场内存有的鱼数（包括当年放养的幼鱼和自然繁殖的幼鱼），则下一年，养鱼场原有的鱼数yk（注，此时的yk已经全部是成鱼）和以yk为基数繁殖的鱼之和为(1+r)yk，减去捕捞的鱼数x，再加上投放的幼鱼数Y，就得到了第
4、k+1年养鱼场内存有的总鱼数，即,5,且初值为y0=A0。,求解差分方程5，即,+,即鱼场第k年鱼量为,如若要可持续发展，则需要每一年的鱼数都要维持在初始年份的鱼数，即,6,解此不等式，有,即捕捞量不超过自然繁殖的部分和人工放养的部分的和就可以保持可持续发展。,五、江河污染物的降解系数,一般说来，江河自身对污染物有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解、生物降解等，可以使水中污染物浓度降低。这种变化的规律可以通过建立和求解微分方程来描述。,设t时刻河水中污染物的浓度为N(t)，如果反映某江河自然净化能力的讲解系数为k(0k1)（即单位时间内可将污染物的浓度降低k倍），则经
5、过t时间后，污染物的浓度改变量N=-kNt，从而有,令t0，即得微分方程,令t0，即得微分方程,这是一个变量分离的微分方程，其通解为,其中C和k是两个待定的参数。,（下面通过长江流域的特殊记录来求解两个参数）,根据长江年鉴中公布的资料，2005年9月在长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据如下：,湖南岳阳城陵矶 0.41（mg/L）江西九江河西水厂 0.06（mg/L）,已知从岳阳城陵到江西九江全长500km，该河段长江水的平均流速为0.6m/s。,将湖南岳阳城陵观测点的时刻设为t0=0，则江水到江西九江观测点所需要的时间为,（天）,于是得到微分方程的两个定解条件,由上述两个方程联解，得,k0.
6、19930.2,至此，一方面得到长江干流污染物浓度在自然净化作用下随时间变化所遵循的规律是,k0.19930.2,至此，一方面得到长江干流污染物浓度在自然净化作用下随时间变化所遵循的规律是,另一方面可以根据计算结果，初步判断该河段水质受污染的程度。例如长江干流氨氮降解系数的自然值是0.3，而我们根据现有资料计算的结果只是0.2，这就说明除了上游污水之外，该河段必定存在另外的污染源，这就为进一步河流治理提供了理论上的依据。,7,六、元素衰变模型在考古中的应用,放射性元素的质量随着时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。根据物理学知识，放射性元素任意时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量
7、成正比，根据这一结果，可以用微分方程来研究衰变规律。,设放射性元素t时刻的质量m=m(t)，则其衰变速度就是,8,其中，0是比例常数，可以由该元素的半衰期（质量衰变到一半所需的时间）来确定。,设初始时刻（t=0）放射性元素质量m=m0，则可求得微分方程8的特解为,9,为了确定方程9中的参数，假设放射性元素的半衰期为T，从而有,代入9，有,由此可以确定放射性元素从m0衰变到质量为m(t)的衰变时间为,10,放射性元素衰变规律常被考古、地址方面专家用来测定文物和地质年代，其中常用的是14C（碳-12的同位素）测定法，其原理就是大气层在宇宙射线不断轰击下所产生的中子和氮气作用生成了具有放射性的14C
8、，进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被动植物吸收体内，对于具有放射性的14C来说，不论其存放在哪里，都会不断地衰变。,1972年8月，湖南长沙出土了马王堆一号墓（注：出土时因为墓中女尸历经千年而未腐烂曾轰动世界）。经检测，出土的木炭标本中14C的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中14C的平均原子蜕变速度为38.73次/分；如果14C的半衰期为5568年（注：14C的半衰期在各种资料中说法不一：5568年，5580年，5730年不等），那么怎么样才能利用上面的数据确定这座墓的大致年代呢？,在公式8中，m0和m(t)表示该墓下葬时和出土时木炭标本中14C的含量，而检测标本中测到的
9、是14C的平均原子蜕变速度，因此对第8作修改：,8,11,10,11,由10和11有,12,在本案例中，T=5568，,虽然表示下葬期,烧制的木炭14C的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，因此可以假设现代生物体中14C的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C的衰变速度相同，即可以用现代14C的平均原子蜕变速度38.37次/分代替。,12,在本案例中，T=5568，,虽然表示下葬期,烧制的木炭14C的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，因此可以假设现代生物体中14C的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C的衰变速度相同，即可以用现代14C的平均原子蜕变速度38.
10、37次/分代替。,（年）,即马王堆一号墓大约是2000年前我国汉代的墓（后进一步考证，墓主人为汉代长沙国丞相利仓的夫人辛追。）,七、梵塔问题,传说中认为世界中心的现印度北邦瓦拉西纳县内有一座大庙的穹顶下面放着一个黄金盘子，盘子上有三根钻石柱子，在其后总一根柱子上套有64个大小不同的中空纯金盘子（称为梵塔），且按上小下大的顺序依次排列。该庙的和尚按梵天（吠陀时代晚期印度教三大神之一）的法令昼夜不停地每秒把一个盘子移到没有盘子的柱子上去，或者放到比它大的盘子上面。传说如果一旦把64个纯金盘子组成的梵塔按原样移到另一根柱子上时，梵塔及和尚都会化为乌有，世界末日也就到来了，试问和尚们需要多少时间才能把
11、梵塔原样移到另一根钻石柱子上？世界末日真的会来临吗？,按传说的要求，移动盘子必须遵守规律：一次只能移动一个盘子；移动的盘子要么放在空柱子上，要么放在比它大的盘子上。为了讨论方便，假设按上小下大的次序依次把排好的t个盘子从一根柱子上原样地移动到另一根柱子上需要移动yt次，则把梵塔上的t+1个盘子原样地移动到另一根柱子上可以按照下列步骤进行：,（1）将梵塔上面的t个盘子原样地移动到第二根柱子需要yt次；,（2）再将第t+1个盘子移动到第三个柱子只需要一次；,（3）最后将第二根柱子上的t个盘子原样地移动到第三根柱子上，又需要yt次。,完成上述三个步骤共需要yt+1+yt次，即将梵塔上面的t+1个盘子
12、原样地移动到另一根柱子上需要2yt+1次，所以有,13,13,于是有,+,13,13的结果表明，要将t个盘子原样地移动到另一根柱子上需要2t-1次，所以梵塔要原样地移动到完，需要,13,=1.8447x1019（秒）, 5849.424（亿年）,对我们来说，这个世界末日永远不会来临！,八、利用差分方程解决几何问题,问题1 平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求其交点个数。,设满足条件的n条直线的交点数为an，显然a1=0,a2=1,，若n-1条直线的交点数为an-1，则在添加第n条直线时，按照要求，会与前面的n-1条直线都有交点，所以有,14,根据14和初始值，可以求得,
13、+,问题2 平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，问这n条直线将平面分成多少部分。,设满足条件的n条直线将平面分成的部分为an，显然a1=2；a2=4；n-1条直线将平面分成an-1部分，当第n条直线添加到平面内时，与前面n-1条直线都有交点，且交点都不与前面的交点重复，当第n条直线添加时，把原来的每条直线两边都一分为二，则有,15,+,问题3 平面有n个圆，任意两个圆都交于两点，任意三个圆都不相交于同一个点，问这n个圆将平面分成多少个部分？,设满足条件的n个圆将平面分成an部分，显然a1=2，a2=a1+2,a3=a2+2x2，若平面上已经有n-1个圆，已经将平面分割成an
14、-1部分， 当第n个圆添加进来时，按照已知条件，原来的n-1个圆中每个圆都把第n个圆一分为二，即,15,+,九、逻辑斯蒂方程,生产活动要消耗资源，生物生存也要消耗资源，所以研究生产产量及速度和研究生物种群数量增长和增长率是同一类问题，时常用到微分方程。,1、马尔萨斯模型（Malthus）,设某种群的生育率为b，死亡率为d，b，d都是常数，则r=b-d为该种群的自然增长率，它也是常数。设N(t)为t时刻该种群的数量，则时间段t,t+t群体数量的变换为,由此得到群体数量满足的微分方程,1,又假设t0时刻种群数量为N0，即N(0)=N0，则1的特解为,2,即群体数量按指数规律增长，2又称为马尔萨斯生
15、物总群增长定律。,例如，某人观察某田地的田鼠数量：开始有2只，2个月后繁殖为5只，6个月后为20只，10个月后达到109只。若假设田鼠的增长率为40%，则由拟合知，田鼠的数量规律为, t=0 2 6 10;N=2 5 20 109; Nt=2*exp(0.4*t); t;N;Ntans = 0 2.0000 6.0000 10.0000 2.0000 5.0000 20.0000 109.0000 2.0000 4.4511 22.0464 109.1963,时间t观测值N理论值Nt,经过计算，得到比较如下：,由此可见，用马尔萨斯模型描述10个月田鼠的数量变化规律相当准确的。但是, t=24,
16、120; format long Nt=2*exp(0.4*t); Nt(1)ans = 2.952956313115459e+004 Nt(2)ans = 1.403347182419526e+021,计算结果显示的结果不可能实现。,2、Logistic模型（逻辑斯蒂模型，自限模型，S型曲线增长模型）,1838年，比利时生物数学家皮埃尔.弗朗索瓦.韦吕勒(P.F.Verhulst)在研究人口增长规律时提出的逻辑斯蒂模型。,考虑在自然环境下，群体可达到的最大总数为K（生存极限），若开始时自然增长率为r，随着种群体的增大，增长率下降，一旦总群数达到K，则总群停止生长，即增长率为0，因此增长率是该
17、群体中生物总数的函数，即,3,3式变形为,3式变形为,4,4中第二项反映了群体在有限的生存空间和资源下对自身增长的限制，称为自限制，r/K为自限系数。,微分方程3是一阶可分离变量微分方程，在初值条件下，可求得其特解为,5,5,从5可以看出，（1）当N0K时，N(t)K（一开始生物群就泛滥成灾）;（2）当N0K时，N(t)K（一开始生物群体稀少）。但无论如何，都有,N(t)对t的一阶导数和二阶导数为（在（2）的情况下:N(t)K）,N(t)对t的一阶导数和二阶导数为（在（2）的情况下:N(t)K）,由此可知,即N(t)是t的单调递增函数，另一方面，,即曲线N(t)在N=K/2对应的点处为拐点，前凹后凸，即,t,K,K/2,N,生物总群增长曲线,N,N/2,生物总群增长率与总群数量的关系,3、Logistic模型在其它领域的应用,1 生产总值的增长模型,2 人口增长模型,3 有限人口的传染病模型,4 净利润与广告支出之间的关系模型,5 信息传播模型,
