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1、第5章 系统运动的稳定性,51 外部稳定性和内部稳定性,定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)1,的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即,结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式,证明,考虑SISO情形,充分性,1/4,1/18,必要性,采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使,可以取,有,矛盾。对于多输入多输出情形，输出y(t)的任一分量yi(t)仿上述即可证明。,结论2：对
2、零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式,2/4,2/18,结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。,定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：,结论4：设n维连续时间线性时变自治系统,系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵(t,t
3、0)对所有tt0,+为有界，并满足：,结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统,内部稳定的充分必要条件为,或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。,3/4,3/18,内部稳定性和外部稳定性的关系,结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。,4/4,4/18,1/3,1/5,李雅普诺夫 -Lyapunov,李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为
4、圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，兼任应用数学学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。,简介,1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。,学术成就,切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名.,创立了特征函数法 在概率论中，他创立了特征
5、函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的概率论的一个定理和1901年的概率论极限定理的新形式论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.,常微分方程运动稳定性理论的创始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性一文，1888
6、年，他发表了关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性.特别是他1892年的博士论文运动稳定性的一般问题是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.,为数学物理方法的发展开辟了新的途径 李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开
7、辟了新的途径.他1898年发表的论文关于狄利克雷问题的某些研究也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.,以其姓氏命名的数学概念,在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种
8、.,52 李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念,李亚普诺夫第一方法：间接法李亚普诺夫第二方法：直接法自治系统：没有输入作用的一类动态系统,平衡状态：状态空间中满足,的一个状态,李亚普诺夫意义下的稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数0，都对应存在另一位赖于和t0的实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)都满足不等式：,(t；x0,t0)-Xe,稳定的几何解释李亚普诺夫意义下一致稳定时不变系统的稳定属性李亚普诺夫意义下稳定的实质,1/2,5/18,渐近稳定,称自治系统,的孤立
9、平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，）对实数(,t0)0和任给实数0，都存在实数T(,t0)0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t0)-Xe，,不稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数0为多么大，都不存在对应一个实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t)-Xe，,不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐
10、近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定,2/2,6/18,53李亚普诺夫第二方法的主要定理,结论7：对连续时间非线性时变自治系统,X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：,）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(x)和(x)，(0)0，(0)0，使对所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0)
11、V(x,t)对时间t的导数负定且有界。)当x，有V(x,t) 则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,结论8：对连续时间非线性时不变自治系统,X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：,）V(x)为正定) 为负定)当x，有V(x) 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,1/4,7/18,例,设系统状态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性,解,取一正定的标量函数,为一负定的标量函数，且系统是大范围渐近稳定的。,2/4,8/18,结论9 小范围渐近稳定性定理 对连续时间
12、非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：,V(x,t)为正定且有界；,为负定且有界；,则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。,结论10小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；,为负定,则系统原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定,3/4,9/18,结论11 小范围渐近稳定性定理 对连续时间
13、非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件： V(x)为正定；,为负半定,对任意非零x0,则原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定,结论 12不稳定性定理 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：（）V(x,t)为正定且有界；（） 为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。,4/4,10/18,54 构造李亚普诺夫函数的规则化方法
14、,变量梯度法,设连续时间非线性时不变系统,Xe=0为系统孤立平衡状态，,(1)设V(x)的梯度为,(2)设梯度V(x)对应于有势场，则旋度rotV(x)=0，即,(3)由,(4)由(2),(3)定出V(x),(5),1/3,11/18,(6)判断V(x)计算结果的正定性,克拉索夫斯基方法,设连续时间非线性时不变系统,Xe=0为系统孤立平衡状态，,系统雅可比矩阵,克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BF(x)+BF(x)T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：,V（x）=f(x)TBf(x) 如果,则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。,结论
15、13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。,2/3,12/18,例,确定平衡状态x=0的稳定性,解,取B=I,为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。,平衡状态x=0是大范围渐近稳定的,3/3,13/18,55 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据,线性时不变系统的稳定性判据,结论14特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论15特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=
16、0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部,结论16李亚普诺夫判据 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q ，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。,结论17李亚普诺夫判据推广形式 对n维连续时间线性时不变系统和任给实数0，令矩阵A特征值为i (A), i=1,2,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线j左半开平面上，即成立Rei (A)-, i=1,2,n，的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q ，推广李亚普诺夫方程2PATP+PA=-Q 有唯一正定解阵P。,1/2,14/18,线性
17、时变系统的稳定性判据,结论18 基于状态转移矩阵的判据 对连续时间线性时变系统，表（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统原点平衡状态xe=0在时刻t0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数(t0)0，使成立：,(t,t0)(t0),进一步，当且仅当对所有t0都存在独立实数0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。,结论19基于状态转移矩阵的判据 对连续时间线性时变系统，表（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数(t0)0，使同时成立：,(t,t0)(t0),进一步，
18、当且仅当对所有t00,都存在独立实数10和20使成立：(t,t0)1e-2(t-t0）系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。,2/2,15/18,结论20 李亚普诺夫判据 对连续时间线性时变系统， 设xe=0为系统唯一平衡状态，矩阵A(t)的元均为分段连续的一致有界实函数，则系统原点平衡状态xe=0是一致渐近稳定的充分必要条件为，对任给的一个实对称、一致有界、一致正定的时变矩阵Q(t)，即存在两个实数10和20 ，使有：,李亚普诺夫方程,的解阵P(t)为实对称、一致有界和一致正定，即存在两个实数10和 20使有：,2/2,15/18,56 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计,对
19、渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统,衰减系数定义为,最小衰减系数,设,则,1/1,16/18,57 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据,结论20大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负定；（）当x(k)，有V(x(k) 。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。,结论21大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为
20、正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负半定；（）对由任意非零初始状态x(0) n确定的所有自由运动x(k)的轨线，V(x(k)不恒为零；（）当x(k)，有V(x(k) 。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。,1/2,17/18,结论22特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值i (G)（i=1,2,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。,结论23特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。,结论24李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定nn正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一nn正定对称解阵P。,结论25扩展李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数0为幂指数稳定，即G的特征值满足：i (G),01, i=1,2,n的充分必要条件为：对任一给定nn正定对称矩阵Q，扩展离散型李亚普诺夫方程 （1/）2GTPG-P=-Q 有唯一nn正定对称解阵P。,2/2,18/18,
