线性代数第三章矩阵初等变换课件.ppt

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1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,知识点回顾：克拉默法则,结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 22定理3）,结论 1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,设,用克拉默法则解线性方程组的两个条件：,(1) 方程个数等于未知量个数；,(2) 系数行列式不等于零.,线性方程组的解受哪些因素的影响？,1 矩阵的初等变换,例1：求解线性方程组,一、消元法解线性方程组,三种变换：,交换方程的次序，记作 ；,以非零常数 k 乘某个方程，记作 ；,一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 .,其逆变换是：,结论：由于对原线

2、性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算,定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,对调两行，记作 ；,以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，记作 .,其逆变换是：,把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,初等变换,初等行变换,初等列变换,增广矩阵,结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.,备注,带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如：矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置 T（上标）方阵的行

3、列式|不带运算符的矩阵运算，用“”例如：初等行变换初等列变换,有限次初等行变换,有限次初等列变换,行等价，记作,列等价，记作,二、矩阵的初等变换,有限次初等变换,矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作,矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性 ；对称性 若 ，则 ；传递性 若 ，则 ,行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.,行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.,标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.,标准

4、形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.,三者之间的包含关系,任何矩阵,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,标准形矩阵,结论,定义：n阶单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.对调单位阵的两行（列）；(2)以常数 k0 乘单位阵的某一 行（列）；(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ,三、初等方阵,(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列），,记作 E5(3, 5),记作 Em( i, j ),(2)以常数 k0 乘单位阵第 i 行（列），,记作 E5(3(k),记作 Em(i(k),(3)

5、以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行,记作 E5(35(k),记作 Em(ij(k),以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列,?,两种理解！,结论,把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 .,把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .,以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .,以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .,把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .,把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .,定理3.2 设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右

6、边乘以相应的 n 阶初等矩阵.,口诀：左行右列.,定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵,推论2 方阵 A 可逆的充要条件是 .,推论1 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .,解,例3,即,初等行变换,例4,解,2 矩阵的秩,一、矩阵秩的定义,定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的

7、位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,显然，mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式,与元素a12相对应的余子式,相应的代数余子式,矩阵 A 的一个 2 阶子块,矩阵 A 的一个 2 阶子式,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),规定：零矩阵的秩等于零,矩阵 A 的一个 3 阶子式,矩阵 A 的 2 阶子式,如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等

8、于零 ,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,规定：零矩阵的秩等于零,矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,显然，若矩阵 A

9、中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A| = 0 时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) ,矩阵 A 的一个 2 阶子式,矩阵 AT 的一个 2 阶子式,AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 阶子

10、式 ,A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零,以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式,，因此 R(B) = 3 ,还存在其它3 阶非零子式吗？,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如,结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,二、矩阵的秩的计算,例：求矩阵 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的,一般的

11、矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .,行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.,一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.,两个等价的矩阵的秩是否相等？,定理：若 A B，则 R(A) = R(B) ,应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式,解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,，与之对应的是选取矩阵 A 的

12、第一、二、四列,R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式,分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及 R(B) ,例：设 ，求矩阵 A 及矩阵B = (A, b) 的秩,解：,R(A) = 2R(B) = 3,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别

13、地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B)n ,例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵本题中，当 C = O，这时结论为：设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ,行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全

14、为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.,分析：若 R(A) = n，则 A 的行最简形矩阵应该有 n 个非零行；每个非零行的第一个非零元为 1 ；每个非零元所在的列的其它元素都为零于是 A 的行最简形中应该包含以下 n 个列向量：,又因为 A 是 mn 矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为 ,前 n 行,后 m - n 行,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,返回,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,附

15、注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当 A 为为方阵时，就是性质 本题中，当 C = O，这时结论为：设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ,3 线性方程组的解,一、线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式方程组可简化为 AX = b ,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,二、线性方程组的解的判定,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的,问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一

16、？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？,m、n 不一定相等！,定理：n 元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：只需证明条件的充分性，即R(A) R(A, b) 无解；R(A) = R(A, b) = n 唯一解；R(A) = R(A, b) n 无穷多解那么无解 R(A) R(A, b) ；唯一解 R(A) = R(A, b) = n ；无穷多解 R(A) = R(A, b) n ,证明：设 R(A) = r

17、，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最简形矩阵为第一步：往证 R(A) R(A, b) 无解若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，则 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,前 n 列,前 r 列,第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解,后 n - r 列,则 dr+1 = 0 且 r = n，,对应的线性方程组为,从而 bij 都不出现.,前 r 列,n

18、 列,第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解,则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现.,即 r = n，,前 r 行,后 mr 行,后 n - r 列,n 行,对应的线性方程组为,后 mn 行,第三步：往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为,前 r 列,则 dr+1 = 0 .,后 n - r 列,即 r n ，,令 xr+1, , xn 作自由变量，则,再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则,线性

19、方程组的通解,例：求解非齐次线性方程组,解：,R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解,备注：,有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时,还能根据R(A) = R(A, b) = r n判断该线性方程组有无限多解吗？,同解,返回,解（续）：即得与原方程组同解的方程组令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ,例：求解非齐次线性方程组,解：,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解,例：求解齐次线性方程组,提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形矩阵？,答：因为齐次线性方程组 AX = 0

20、的常数项都等于零，于是必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况,例：设有线性方程组,问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解,定理：n 元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变

21、换：如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论,分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，r2 、r3 是非零行在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了l ，要使这 5 个元素等于零， l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手,于是当 l 0 且 l 3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解当 l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解,解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充分

22、必要条件是 |A| 0 ,于是当 l 0 且 l 3 时，方程组有唯一解,当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解,当 l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为,定理：n 元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：因为对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况,定理：n 元齐次线性方程组 AX =

23、0 有非零解的充分必要条件是 R(A) n ,定理：线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ,证明：设 A 是 mn 矩阵， B 是 ml 矩阵， X 是 nl 矩阵.把 X 和 B 按列分块，记作X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl )则即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ),设 R

24、(A) = r ，A 的行最简形矩阵为 ，则 有 r 个非零行，且 的后 mr 行全是零再设从而 ,矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ) 的后 mr 个元素全是零 的后 mr 行全是零 R(A) = R(A, B) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ,定理：设 AB = C ，则 R(C) minR(A), R(B) ,证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B，于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故 R(C) R(A) 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) R(B) 综上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) ,非齐次线性方程组,无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A) 个自由变量的通解,