数列极限的方法研究原文完美版.doc

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1、山东广播电视大学毕业论文（设计）初稿题 目 数列极限的方法研究 姓 名 段辉 教育层次 本科 学 号 16 省级电大 山东 专 业 数学 分 校 泰安 指导教师 _ 教 学 点 新泰 数列极限的方法研究论文摘要 极限理论是数学分析中最基本、最重要的内容，因此掌握极限的理论和求极限的方法对学习数学分析及数学专业相关课程来说是非常关键的.极限的方法很多，而且非常灵活，因此研究与总结求极限的方法尤为重要.本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，针对各种形式数列的极限概括出具有代表性的各种求解方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，使学生对所学知识加以巩固和提高，提高解题能力，起到“温故”

2、而“知新”的作用，在原有基础上得到升华，从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.关键词 数列极限 计算 方法与技巧目录1. 摘要 .12. 关键词 .23. 目录 . 34. 正文 .45. 结束语 . 56参考文献.6一、利用数列极限的定义来验证数列极限的存在数列极限定义并未给出求数列极限的具体方法, 但却可以验证数列极限的存在, 而且它是研究理论问题的基本方法, 用极限定义验证极限存在, 一般需经过变形放大, 由去寻找满足条件的充分大的正整数N 或充分小的正数或充分的正数A. 例1 设（这里有限数，或），试证. 证 当为有限数时，,因为，故从而 .注意这里已为定数，因而,

3、于是令，则时 .当或时，同理可证.注意: 时,本命题不再成立.二、利用拟合法求极限 为了证明，关键问题在于证明能任意小.为此，一般来说应尽可能将的表达式化简.值得注意的时，有时虽然不能化简，反倒可以把变复杂，写成与相似的形式，我们把这种方法称为拟合法. 例1 设时, , ,试证. 证 我们注意到,从而 (1)若我们能证明充分大时 (2)则(1)式右端问题获证.要证明式,亦即要证明 (3)事实上,因为,因此当时有 于是,令,则时 从而按式有式成立.拟合法的思想实质,是将单位1作适当分解.三、利用单调有界性求数列极限 此法可分为两步：先用数学归纳法证明数列单调有界,从而数列有极限；再设,对给定的递

4、推公式两端取极限，表达式变为的代数方程，解方程求.例1 已知，.解 容易证明数列单调递增并且有上界，从而存在，由题设关系求极限.设=,由得,因为.于是=2. 四、利用数列的递推关系求数列的极限 对有些数列的通项，可以通过求或的递推式，从而得到的表达式，再来求极限.例1 设求.解 由得令,则是一个公比为得等比数列,所以 而 所以.例2 已知，求.解 设 ,则，即，有,由题设知，因此. .五、初等变形求极限 对于某些较繁的数列，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限.例1 求极限 解 因为.例2 求 解 由 故 六、利用变量替换求数列极限 有时，为了将已知的极限化简，转

5、化已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程. 例1 设，求. 解 令，则由此反复过程知 ,所以 .七、利用两边夹法则求极限 两边夹法则 当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值.两边夹法则的推广 当使用两边夹法则时,若放大与缩小所得之量的极限值不相等,但二者只相差一个任意小量,则两边加法则仍然有效.例 求解 因为 又因为，.八、利用定积分求极限 对于求某些连加或连乘式的极限, 在夹逼准则等无能为力的情况

6、下有时可以利用定积分的定义求其极限.通常是将所求式转化成和式的极限，相当于定积分定义中的，也就是将区间等分，每个小区间的长度为，取每个小区间的右端点为，这样可以将和式的极限写成定积分的形式. 例1 求 解 原式 = =若令，且将等分为等份，则每一小区间长度，取为每一小区间的右端点时，有=.九、利用Stolz定理求数列极限 定理1 设(i)=0;(ii) 单调下降，且；(iii).则.定理2 设(i)严格上升，且；(ii).则.例1 设，则.证 令则严格上升，且因为 =,所以 .例2 设收敛，且严格上升，.证明： =0证 令，设，则因为,所以 =.由Stolz 定理=所以 =0Stolz公式，对

7、于求序列的极限十分有用，必要时可以重复使用，有时问题经过处理之后，方能应用Stolz公式.十、利用重要极限求数列极限 例1 当时，求.解 十一、利用函数极限求数列极限 在求数列极限很困难时，可以考虑将求数列极限转换成求函数极限.若,则;反之,若,则不一定有. 例1 若，试求. 解 考虑而 利用罗比达法则，有 故 十二、巧用无穷小数列求数列极限 目前求数列极限方法众多,利用无穷小数列求数列极限却是一种极为少见且实用的方法. 定义若数列收敛,且，则称数列为无穷小数列.引理数列收敛于的充要条件是数列为无穷小数列.定理1若数列为无穷小数列,则数列也为无穷小数列，反之亦成立.定理2若数列为无穷小数列,则

8、数列也为无穷小数列.下面举例说明利用无穷小数列进行”变量替换”在求数列极限中的具体应用,用这种方法求某类数列的极限是极为方便的.例1 设,求极限解 由,作”变量”替换,令,其中为无穷小数列 于是 十三、利用黎曼（Riemann）引理计算极限 黎曼引理 设函数在上可积且绝对可积，则黎曼引理的推广 设函数在上可积且绝对可积，函数以为周期，且在上可积，则 例1 计算 解 的周期为， .十四、用Euler常数求数列极限 例 求 解 原式 （为常数，当时） 十五、利用不动点原理求迭代数列极限 定理1 设是上的一个压缩映象,若对于任意的,有,则在上存在唯一不动点,且.定理2 已知数列满足,其中设是唯一的不

9、动点,则数列是一个等差数列. 例1 设数列,证明数列收敛并求极限. 解 根据迭代数列,构造函数,其中,因为在上单调递增,则.又因为,所以是上的一个压缩映象, 故数列收敛,且,所以.即,得.例2 设数列满足证明数列收敛并求其极限.解 根据迭代数列,构造函数,易知有唯一的不动点,且可以变形为 根据定理2可知则即数列是以首项,公差的等差数列.则对应的通项公式为解出,得, 显而易见.应用定理1要注意找到满足定理条件的闭区间，并构造相关的压缩映射，这是解决问题的关键所在.定理2则时借助不动点构造新的数列，求出迭代数列的通项公式，再判断其极限是否存在，此时不要求对迭代函数判断是否为压缩映射，只要满足的形式

10、，且有唯一的不动点即可.十六、含参数列的极限求法 对数列，当参数时，数列收敛，其极限为方程在区间的解；当参数时，数列单调递增无上界，是发散的.当数列的各个子列单调性不一致时，需要考虑各个子列的单调性和敛散性，同时还需结合函数进行讨论，才能得到正确的结论.十七、利用级数审敛法 给出一个数列，对应一个级数.如果能判定此级数是收敛的，则有.虽然这一方法只能判断以零为极限的数列，但是由于判断级数的收敛性方法比较多，因此在有些场合下使用这种方法是十分有效的.例1 计算 解 由正项级数的比值审敛法 .因此级数收敛,从而.例2 试证数列有极限，并求此极限.证 当时，可证.故当时单调递减且有下界大于，故存在.

11、再考虑正项级数，因为,由此可知级数收敛,=0十八、利用LHospital法则求离散形式的未定式极限 我们知道LHospital法则时解决型极限的重要有效工具，它适用于函数连续可导情形，对于离散形式的数列而言亦由类似的结论. 定理1 设数列;严格递减,存在有限极限或无穷,则. 定理2 设有数列其中严格递增,则.上述两个定理可将归结为的计算.这样许多有用的极限问题可以转化为该定理的直接结果. 例1 求 解 原式= .十九、利用幂级数求极限 利用简单的初等函数(特别是基本初等函数)的麦克老林展开式,常能求得一些特殊形式的数列极限. 例1 求 解 设,易得收敛半径,在内逐项求导得则 .因为,所以二十、

12、利用微分中值定理求极限 Lagrange定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛.下面就是介绍Lagrange定理在求极限中的作用.例1 求.解 设，在上用拉格朗日中值定理，得 故当时，可知原式.二十一、利用Heine定理求极限 定理 存在的充要条件是：对属于函数定义域的任意数列，且，有.注：该定理对于等情形都成立.推论1 若存在某个数列，且，而数列不存在极限，则函数在也不存在极限.推论2 若存在某2个数列与，且与分别有与，且，则函数在也不存在极限.推论3 函数在内无界的充要条件是：存在数列，使.级数的收敛问题是通过转化为极限的存在问题解决的，恰当的

13、运用Heine定理及其推论能很好的实现优化极限运算的目的. 例1 求极限. 分析 令若存在，则设，有，由Heine定理可求. 解 令，则 ,由Heine定理，有.二十二、m次平均数列的极限的计算公式 问题1 已知的值，数列满足 问是否存在？如果存在，其值是多少？ 因为中从第m+1项开始，每一项都是前面的m项的算术平均值，所以数列可称为m次算术平均数列，问题1可称为m次算术平均数列的极限问题. 问题2 已知的值均为正数，数列满足 问是否存在？如果存在，其值是多少？数列可称为m次几何平均数列.问题3 已知的值均为正数，数列满足 问是否存在？如果存在，其值是多少？ 数列可称为m次调和平均数列.通过对

14、上述三个问题的求解，我们得到三个求解公式（1），(2)，（3），分别对应上述三个问题. 二十三、求和法求数列极限 当数列的通项是由n项的和构成时，通常可考虑先求和，在求极限.有些和式可直接用公式，如等差数列、等比数列等等；有些不能简单用求和公式，而是要运用数列的各种求和技巧. 下面给出一种数列的前n项和的公式及其极限. 设数列的通项为 则其前n项和的公式为 的极限为 . 例1 求 解 因为所以 所以 例2 已知，求与. 解 为了应用上述命题的公式，可作如下变化从而 由此，.二十四、用特征值法求一类线性递推数列的极限 利用矩阵的特征值理论，可以考虑2种线性递推数列的极限 (1) (2)其中：式（

15、1）是数列满足的线性关系，是常数；式(2)是二元数列，满足的线性关系，是常数.1 数列极限的求法和定理对于式（1），令，则有.由矩阵的特征值理论，设，其中是矩阵C的特征值，X是特征值对应的线性无关的列特征向量构成的矩阵.这样可得式（3）.对于式(2)，令，则 有设是矩阵E的特征值，Y是由特征值对应的线性无关的列特征向量构成的矩阵，那么有,其中.从而（4）.由式（3）、式（4）可知，一元数列的一般项完全由其特征值形成的对角矩阵表示，从而其极限也由特征值决定.分别计算C，E的特征值，I表示单位矩阵.由，从而有特征值由，从而.定理 设是矩阵C的特征值，是E的特征值.由前面的计算知，则(1)若(2)

16、(3) 证由式（3）和式（4），可得 （1），(2)的条件不满足时，数列可能收敛也可能发散.实例应用设数列有递推关系，解 根据前面的分析，特征值为.由定理知该数列收敛.设其对应的特征向量分别为，从而又.故由式（3）得设二元数列有线性关系解 设E= ，特征值为由定理知该数列可能收敛,也可能发散.设其对应的特征值分别问.又.由式(4)得,因此只有,否则发散.最后指出,当式(1)为,则有,于是也可按前面用特征值的方法求极限,但由于表达式中含有系数,结论有所不同.二十五、数列极限运算的第五法则 我们称公式为数列极限运算得第五法则.对于求型数列极限运用数列极限运算的第五法则能得到较好得解决. 引理 设则

17、 定理 设,则 推论1 若,则. 推论2 若,则. 例1 求极限 解 事实上, 故.例2 求极限.解 先考察函数极限，而,故二十六、利用平均值不等式求数列的极限 平均值不等式 若当且仅当时等号成立.例1 求证证 ,1由知,.综合、得例2 求证证 由平均值不等式得 .由两边夹原理得二十七、用导数求一类数列的极限 一些数列(和式)得极限可转化到定积分;另一些数列(和式)的极限也可转化到导数作计算. 引理 设则 定理 在引理条件下,有 满足定理得初等函数还是有很多得,如 等等,均可按定理产生一批相应得数列极限. 例 命,则.当时,我们获得 ()设,则.当取时,有, ,.二十八、一收敛数列的极限 设，

18、用柯西收敛准则可证明收敛.下面给出求该数列得方法. 解 由,所以 ,得到 又,所以 ,得到 (2)因为数列均收敛,所以可设.又无穷小量乘以有界变量仍热为无穷小量,所以对两式同时取极限可得所以.结束语以上即是求数列极限的一些常用方法，应用很广，当然每种方法都有局限性，而且许多题目要往往使用几种方法综合解决.所以我们应当积极思考，灵活运用知识，总结解题规律，举一反三的学好数学分析.参考文献1华东师范大学数学系. 数学分析M. 北京：高等教育出版社，20012裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社，20053张人智. 数学分析中的问题与例题M. 南昌：江西人民出版社，1984

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