第四节简谐激励振动理论的应用.doc

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1、第四节 简谐激励振动理论的应用一、 旋转不平衡质量引起的强迫振动(一)运动方程及其解在高速旋转机械中,偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。一个旋转机械的力学模性:设旋转机械总质量为,转子的偏心质量为,偏心距为,转子的转动角速度为。选静平衡位置为坐标原点,坐标表示机器离开静平衡位置的垂直位移,而偏心质量的位移为根据牛顿运动定律,列出系统的振动微分方程整理后,得 (3-18)上式的形式与方程(3-1)相似,只是由代替了,故前面所有的分析都可适用。设 , , 则方程(3-18)的稳态响应为式中振幅为显然,相位差为可见,偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量成正比。为了减小振动,旋转机械的

2、转子通常要作平衡试验,使质量分布尽可能均匀。(二)幅频特性放大因子定义为 (3-19)以放大因子为纵坐标,频率比为横坐标,阻尼比为参数,画出幅频特性曲线。由曲线可见:1. 当时,即振幅接近于零。2. 当时,即振幅趋近于常数,即 而与激励频率及阻尼比基本上无关。3. 共振发生在 即 时,位于的右边,共振振幅为当阻尼很小时(),可以认为当 即 发生共振,共振振幅为例题:一台惯性式激振器安放在机器正上方,以测定机器的振动特性。激振器有一对带有偏心质量、等速反向旋转的齿轮组成。当旋转角速度为时,偏心质量的离心惯性力在水平方向合力为零,在垂直方向合成激振力me2sint,其中m为总的偏心质量,e为偏心距

3、。通过改变转速,测得共振时的垂直振幅为1.07cm,而超过共振很远时,垂直振幅趋于定值0.32 cm。若偏心质量为12.7kg,偏心距为15 cm,支承弹簧刚度为k=976.7N/cm。计算(1)支承阻尼器的阻尼比;(2)转速为N=300r/min时机器的垂直振幅。解:设机器和激振器的总质量为M。系统的振动微分方程为(1) 共振时(r =1) 的振幅为 而r 1(超过共振很远时)时有 所以阻尼比(2) 当转速为N=300r/min时,激励频率为 (rad/s)由 和 ,得 (rad/s)频率比 则机器的振幅为例3-2:桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动,轴的两端由调位轴承支承,轴上无别的零件

4、。空心轴的内径d1为,外径为d2,两支承间距离为,求轴的临界转速(r/min)。轴的临界转速ncr为: 。故只要知道梁的固有频率即可求出轴的临界转速ncr。求连续梁第一阶固有频率时,其模型可按如下简化(离散化):将梁离散为三点:两个端点和一个中点,其中梁的两端端点的质量各为总质量的四分之一,即,中点的质量为总质量的二分之一,即。如图所示。这样处理后,可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁。由静变形法,知 式中是梁中点的静变形,由材力知二、 基础运动引起的强迫振动在许多情况下,系统受到的激励来自于支承的运动,例如固定在机器上的仪表,汽车在不平的路面行驶时的振动等等,都是支承运动引起的强迫振

5、动。(一) 运动方程及其解如图所示是受基础激励的振动力学模型。以系统静平衡位置为坐标原点建立坐标系: - 质量块的位移 - 基础的位移 设基础运动规律为 由牛顿运动定律,得 (3-20)即 (a)或也可写成: 利用复指数法求解上式。用代换,所以 , 代入式(a),得 (b)假定方程(b)的解为 (c)式中 - 复振幅则 带入方程(b),得 (d)则实振幅为 (e)相位差 (3-27)故方程(b)的解为 (f)由于方程(3-20)中的激励力是正弦函数,所以方程(3-20)的解也只能取式(f)的虚部,故方程(3-20)的解为 (g)(二) 幅频特性令振幅放大因子为 (3-28)以放大因子为纵坐标,

6、频率比为横坐标,阻尼比为参数,画出幅频特性曲线。由此可见,它与简谐激励力作用下的响应曲线基本相同。 所不同的是:1. 当时,振幅等于基础运动振幅,与阻尼无关。2. 当时,振幅小于基础运动振幅,增加阻尼反而使振幅增大。例题:试求图示系统在上端有基础运动的稳态响应。已知和激励频率 。解:系统的运动微分方程为即固有频率为频率比为 思考问题:(1)此题是用3.2中的式(3-4)还是用3.4.2基础激励中的公式(h)来求解该题的响应?(2)此题相位差为多少?振幅为相位差为 则系统的响应为例题3-3: 如图为汽车的拖车在波形道路上行驶,引起垂直方向振动的简化模型。已知,车速。满载时拖车质量 ,。空载时拖车

7、质量 。路面成正弦波形,可表示成,其中。求:满载和空载时车辆的振幅比。解:(1)基础激励的频率(2)空载时的阻尼比 阻尼系数 (3) 满载和空载时的频率比满载时系统的固有频率满载时频率比 空载时系统的固有频率空载时频率比 (4)满载和空载时车辆的振幅比满载时 空载时 三、 隔振机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命,而且还造成环境污染,影响周围设备的正常工作和人体健康,有效地隔振是相当重要的问题。隔振就是在振源和振体之间设置隔振系统或隔振装置,以减少或隔离振动的传递。隔振分为两类:主动隔振 - 隔离机械设备通过支座传递至地基的振动,以减少动力的传递。被动隔振 - 防止地基的振动通过支

8、座传递至需保护的精密设备或仪器仪表,以减少运动的传递。隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成,例如钢弹簧、橡胶、软木、毡类等。1. 主动隔振振源是机器本身。主动隔振的目的是减少传递到地基上的力。其隔振效果用力传递率(系数)表示,它定义为隔振后机器的强迫振动为 , 故机器通过弹簧传递到地基上的力为 机器通过阻尼器传递到地基上的力为 其合力为式中 (3-3)所以力传递率为 (3-29)2. 被动隔振被动隔振振源来自地基运动。被动隔振的目的是减小传递到机器的运动,其隔振效果用位移传递率(系数)来表示,它定义为 显然有 (3-28)比较主动隔振式(3-29)和被动隔振式(3-28)可知,主动隔振式

9、和被动隔振的原理是相似的。故此,力传递率(系数)和位移传递率(系数)统称为传递率(系数),用符号表示。所以有传递率有如下特点:(1)不论阻尼大小,只有当频率比(即)时,才有传递率,即隔振才起作用。(2)当频率比后,随着的增加,传递率逐渐减小; 当频率比之后,传递率的减小趋于平缓。故隔振效果提高是有限度的。通常频率比取值范围在2.55内。(3)当频率比后,增加阻尼反而使隔振效果变坏,即例题3-4 一电动机质量为,安装在质量为的隔振铁块上,两者装在一起后的固有频率为,阻尼比,因电机失衡而产生激振力。试求:(1)隔振块的振幅;(2)传递到基础上的力。解:(1)由题已知 , 质量 由式(3-3),得隔振块的位移(2)则通过弹簧和阻尼器传递到地基上的合力为 阻尼系数

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