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1、等比数列教案设计预案在数学教案中，从概念的形成与深化，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及学生应用能力和创新能力的增强，无不是围绕着“问题”展开。美国著名数学家哈尔莫斯曾说:“问题是数学的心脏。”课堂问题的设计，应竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯，引导他们逐步掌握全新的知识和能力。然而，并非所有的问题都能达到预期的目标，有些肤浅，平庸的问题，再加上单调的问法，只能置学生于被动地位，抑制学生的思维活动，与以开发学生智力为目标的数学教育背道而弛。所以，课堂问题的优化设计，更重要是要优化设计问题的标准和原则。（下面我的阐述，均以高二第一
2、学期第七章“等比数列”教案为背景）、问题要具有“开放性”。课堂问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体会到数学的价值和开展“问题解决”的兴趣。而兴趣乃是学生学习的强大的动力，是提高教案质量的要素。因此教师要从材料中选择能引起学生兴趣的热点，富有新意，使学生喜闻乐答。比如本教材在“等比数列的前项和”这节课时，安排了这样一个具有较强趣味性的问题引入。“引例：相传印度国王西拉谟要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的格中的第格放入粒麦粒，第格放入粒麦粒，第格放入粒麦粒，第
3、格放入粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到放完个格子为止。”国王立即答应了。问国王将会给发明者多少粒麦粒？”每个孩子都喜欢故事，特别是历史故事，即使高中生也不例外。这个引例充分利用了学生的好奇心，激发他们学习的主动性和积极性，从而有利于知识的迁移，有利于他们明确知识的现实应用。一开始，我先让同学们利用前面所学知识计算了一下第个格子中的麦粒数。而当等比数列的前项和公式推导出来之后，回过头来我又让同学们计算所有格子中的麦粒总数。同学们解决完这些问题后，发现这两个问题的答案远比他们想象中的要“可怕”的多。特别是当我摆出这样一个事实“。据查每千克小麦约万粒，约吨。
4、有资料记载，年世界粮食总产量为吨，因此相当于那年世界粮食总产量的倍。”这些事实对学生的冲击力还是很强的，让他们进一步意识到数学可以帮助他们更准确的认识客观世界。同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。在“等比数列的前项和”这节课最后，我提出这样问题：“已知等比数列的前项和为，前项和为，求这个数列的前项和。”很多同学开始都走了这样一条路：由题得到,即，进一步解出和，最后利用和，求出。“这种做法完全正确”，我对同学们的做法予以了充分肯定
5、。但同时指出它的缺陷在于中间的计算相对较为繁杂，得到的数据也没有那么“齐整”，比较易错。 而后我让同学思考还有没有其他解法，同时做了一定的“引导”。我把“”在黑板上一写，请同学观察和三者之间的关系，同学很快回答说“成等比”，于是我在黑板上写上。然后请同学继续观察和，得到。以此类推，同学得到，即，显然可以很方便的得到。解决完这个问题后，我鼓励同学们继续努力，举一反三，去探索解决“是否依然成等比？”这个问题。 到此，同学深刻的体会到数学问题的解决，并没有一成不变的方法，解放自己的思想，开拓自己的思维，可以让问题的解决过程“更精彩”。、问题要有启发性和可发展空间。课堂问题的启发性不仅指问题的解答中包
6、含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。课堂问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部分作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。正如美籍匈牙利数学家波利亚所说“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”。比如推导等比数列前项和公式时，介绍完教科书上的“错位相减法”后，我鼓励同学去探求其他的推导方法。
7、为此我设计了一系列问题：“同学们，实际上，等比数列的前项和公式的推导还有其他方法，你们可以在思考一下。”（给出明确的信息“还有其他方法”，强化他们继续探索的信心。）“同学们再仔细观察这个式子，如果我将这个式子做这样的一个变化”。（同时原式后补“”，再在“”下用红笔画条线。）“你们看这红线部分其实是什么？”（马上有同学回答说就是，于是我在前面的式子继续接着写上“”。）“那我们现在求什么？”（同学回答说是“”）“那怎么办？”（接着彻底放手让学生自己去解决后面的问题。）（于是我们的同学很快找到了这种推导方法的后续步骤：）“ 即，当时，。当时，则。”“乘胜追击”，我鼓励同学们继续探求其它的推导方法。同
8、时给出一定的提示：“充分利用等比数列的定义，再结合比例的性质和上一种解法”同学们兴致变得异常高涨，很快在大家的热烈讨论和积极思考下，得到了等比数列前项和公式的另一种推导方法：“由等比数列的定义，得，运用比例的性质，得，即当时，；当时，则。”至此，同学的聪明才智得到充分的调动。、问题要有目的性。课堂问题要能直观的体现教案想要达到的目的，设计的内容要有针对性结合教案内容，针对教案的重点、难点，有助于学生对知识的理解和掌握。同时所设计的问题必须准确、清楚，符合学生的认知特点，适应学生已有的认知水平，切忌含糊不清、模棱两可。教案如果不掌握重点，就不会有真正的教案质量。因此，课堂问题的设计尤为重要。在“
9、等比数列的前项和”这节课中，在引导同学推导出等比数列前项和公式后，我马上让同学完成教科书上的例，迅速巩固对这个公式的基本运用。（附例：求下列等比数列的各项的和：（）； （）。）但很明显这个公式在实际应用的时候有一个最大的易错点那就是同学容易忽略在运用公式前必须先判别该数列公比是否为。而这在前面的例中并没有体现出来。所以我就安排了这样一道例题：“已知，求。”拿到这道题很多同学是这么做的：“解：由题知。”显然此解法，忽视了应对此题中的进行分类讨论，分和两种情况来解决。虽然只是一次失败的经历，但同学得到应有的“教训”，迅速强化掌握了运用等比数列前项和公式时的这个注意点。在“等比中项”这个内容的教案时，为了强化同学对等比数列的“奇数项同号、偶数项同号”这个特点的认识，我安排了这样一个问题：“在等比数列中中，已知，求。”因为刚刚讲过等比中项的概念，所以很多同学马上看出是和的等比中项，于是得到了“”。正好掉入“预先挖好的陷阱”。大家都说“吃一堑，长一智”，通过这个问题，让我们的同学比较“深刻”的记住了等比数列的这个特点。这些都需要通过实践研究，充分感受数学问题设计的针对性，促进学生“问题解决”能力的提高。课堂问题的设计是课堂教案的重要组成部分，如果问题设计遵从学生认识发展规律，符合学生的学习心理，同时教师指导有方、鼓励及时将会增强学生学习数学的信心与决心，增强学生对数学的热爱和追求。
