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1、1/62,第四章 杆件的轴向拉伸与压缩,第一节 轴向拉伸与压缩的概念第二节 轴力第三节 应力第四节 拉（压）杆的强度条件及其应用第五节 拉（压）杆的变形第六节 拉伸和压缩超静定问题,第一节 轴向拉伸与压缩的概念,轴向拉伸,轴向压缩,研究对象： （1）杆件：直杆 （2）外力：沿轴线。 （3）变形：轴向伸缩。,3/62,工程实例,4/62,一、轴力,第二节 轴力和应力,任务：,二、轴力图,三、应力,一、轴力（截面法）,轴力是内力的一种，计算杆件内力的方法常用截面法,【例题1】计算图示杆件截面的内力。,解题步骤(3步):,1. 受力图(截取后的受力图),2. 方程,3. 结果,【解】,N1,FX0
2、N14KN0,N14KN（拉）,3. 结果,2.方程,1. 受力图：用1-1截面截开杆件取右段分析，右段受力图如右图所示。,新内容：截取段受力图,【例题2】计算图示杆件1-1、2-2、3-3截面的内力。,解题步骤(3步):,1. 受力图(截取后的受力图),2. 方程,3. 结果,【解】,N1,FX0 N14KN0,N14KN （拉）,（3）结果,（2）方程,(1) 受力图：用1-1截面截开杆件取右段分析，右段受力图如（a）图。,1.计算1-1截面轴力,2.计算2-2截面轴力（见后面）,3.计算3-3截面轴力（见后面）,【解】,FX0 N2 6KN 4KN0,N210KN（拉）,（3）结果,（2
3、）方程,N2,(1) 受力图：用2-2截面截开杆件取右段分析，右段受力图如（b）图。,2.计算2-2截面轴力,【解】,FX0 N3 8KN6KN 4KN0,N32KN（拉）,（3）结果,（2）方程,N3,(1) 受力图：用3-3截面截开杆件取右段分析，右段受力图如右（c）图。,3.计算3-3截面轴力,轴力的正负号规则：拉为正、压为负,1,1,正轴力,负轴力, 反映轴力与截面位置关系，较直观； 确定最大轴力数值及其横截面位置（危险截面位置），为强度计算提供依据。,二、轴力图,N,x,意义：,轴力图反映轴力与截面位置关系的内力图。,【例题3】绘制图示直杆的轴力图,解题步骤(2大步):,（1）受力图
4、(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 绘轴力图,1. 分段计算轴力,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 绘轴力图,（2）计算2-2截面轴力,（3） 计算3-3截面轴力,N2,N3,N1=4KN,N2=10KN,N3=2KN,轴力图（单位：KN）,2,10,4,【例题4】绘制图4-5a所示直杆的轴力图,解题步骤(2大步):,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 绘轴力图,1. 分段计算轴力,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 绘轴力图,（2）计算2-2截面轴力,（3） 计算3-
5、3截面轴力,N2,N3,N1=4KN,N2=1KN,N3=3KN,轴力图（单位：KN）,4,1,3,【例题5】试求图示拉杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作出轴力图。,解题步骤(2大步):,先练习,再答案,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 绘轴力图,1. 分段计算轴力,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 绘轴力图,（2）计算2-2截面轴力,（3） 计算3-3截面轴力,N2,N3,N1=2F,N2=F,N3=2F,轴力图,2F,F,2F,【例题6】试求图示拉杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作出轴力图。,解题步骤(
6、2大步):,先练习,再答案,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 绘轴力图,1. 分段计算轴力,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 绘轴力图,（2）计算2-2截面轴力,（3） 计算3-3截面轴力,N2,N3,N1=60KN,N2=20KN,N3=40KN,轴力图（单位：KN）,60,20,40,21/62,第三节 应力,一、应力的概念二、 拉（压）杆横截面上的正应力,一、应力的概念,A1=10mm2,A2=20mm2,10KN,10KN,10KN,10KN,哪个杆件容易被拉断？为何？,思考：,必须依据应力大小来判断,轴力相同截面
7、不同,应力概念,A：横截面M点周围的微面积（mm2）,Fp ：微面积上内力的合力（N）,微面积A上的平均应力（N/mm2）,单位：1 N/mm2 =1MPa=106Pa,A0时，为点应力（N/mm2）,注意：,24/62,二、 拉（压）杆横截面上的正应力,正应力,切应力,点正应力:,平均正应力:,正应力正负号：拉应力为正，压应力为负,垂直于截面的应力称为“ 正应力”,与截面相切的应力称为“ 切应力”,【例题7】计算图示杆1-1、2-2截面上的正应力。已知杆各段的直径分别为d120mm，d230mm。,解题步骤(2大步):,1. 分段计算轴力,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3）
8、结果,2. 计算各段正应力,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 计算各段正应力,（2）计算2-2截面轴力,N2,N1=20KN,N2=30KN,轴力图（单位：KN）,20,30,(1) 计算1-1截面正应力,(2) 计算2-2截面正应力,【例题8】 图示支架，杆AB为圆杆，直径d20mm，杆BC为正方形截面的型钢，边长a15mm。在铰接点承受铅垂荷载F的作用，已知F20KN，若不计自重，试求杆AB、BC横截面上的正应力。,解题步骤(2大步):,1. 计算各杆轴力,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 计算各杆正应力,注意：结构中
9、杆件轴力计算方法。,【解】,N1,(1) 受力图:用1-1截面截开杆件取右段分析，右段受力图如右图。,1.计算各杆轴力,2. 计算各杆正应力,N2,杆:,杆：,(2) 方程,FX0 N1 cos45 N2 0,FY0 N1sin4520KN 0,(3) 结果,N1=28.3KN（拉）；,N2=20KN（压）,【例题9】试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2。,解题步骤(2大步):,1. 计算AB杆轴力,（1）受力图,（2）方程,（3） 结果,2. 计算AB杆正应力,【解】,Nab,(1) 受力图:用1-1截面截开AB杆，取下段分析，受力图如右图。,1.计算AB杆
10、轴力,2. 计算AB杆正应力,(2) 方程,MC0 Nab a F2a0,(3) 结果,Nab=60KN（拉）,【例题10】图示中段开槽的杆件，两段受轴向荷载F作用，试计算截面1-1和截面2-2上的正应力。 已知：F14KN，b20mm，b010mm，t4mm。,解题步骤(2大步):,1. 分段计算轴力,（1）受力图(截取后的受力图),（2）方程,（3） 结果,2. 计算各段正应力,注意：变截面杆件。,【解】,N1,(1) 计算1-1截面轴力,1.分段计算轴力（过程略）,2. 计算各段正应力,（2）计算2-2截面轴力,N2,N1=14KN,N2=14KN,(1) 1-1截面:,(2) 2-2截
11、面:,14KN,14KN,14KN,14KN,33/62,第四节 拉（压）杆的强度条件及其应用,拉压杆强度条件：,已知Fmax、A，求max,强度校核,已知Fmax、max ，求A,截面设计,已知max 、 A ，求Fmax,确定许可荷载,【例题11】图示支架杆为直径d14mm的钢圆截面杆，许用应力1160MPa，杆为b边长a10cm的正方形截面杆，25MPa，在结点B处挂一重物P，求许可荷载P。,【解】,1、计算各杆轴力,a、受力图：用1-1截面截开、杆，取右段分析，受力图如右图。,b、方程,FX0 N1N2cos0,FY0 PN2sin0,c、结果,N10.75P（拉力）；N21.25P
12、（压力）,N1,N2,2、计算各杆许可荷载,3、判断结构许可荷载,两杆许可荷载取小者，所以三角架许可荷载为：P=32.82KN,【例题12】图示三角架，已知钢拉杆AB长2m，其截面面积为A16cm2，许用应力为1160MPa。BC为木杆，其截面面积为A2100cm2，许用应力为27MPa。设B点的竖向荷载F为10KN，试校核各杆强度；,L=2m，A1=6cm2,A2=100cm2,1160MPa,27MPa,新内容：结点法绘受力图,【解】,1、计算各杆轴力,a、受力图：取结点B分析，受力图如右图。,b、方程,FX0 N2N1cos300,FY0 FN1sin300,c、结果,N12F （拉力）
13、；N21.732F （压力）,2、计算各杆许可荷载,3、判断结构许可荷载,两杆许可荷载取小者，所以三角架许可荷载为：F=40.4KN,对AB杆：,对BC杆：,N1,N2,F,30,【例题13】图示托架，AC是圆钢杆，许用应力1160MPa；BC是方木杆，许用压应力24MPa；F=60KN。是选定钢杆直径d及木杆方截面边长b。,【解】,1、计算各杆轴力,a、受力图：取结点C分析，受力图如右图。,b、方程,FX0 N1N2cos0,FY0 FN2sin0,c、结果,N190KN（拉力）， N2108.17（压力）,N1,N2,2、计算各杆横截尺寸,F=60KN,【例题14】图示雨蓬结构简图，水平梁
14、AB上受均布荷载q=10KN/m的作用，B端用圆钢杆拉住，钢杆的允许应力bc160Mpa,试选择钢杆的直径。,先练习,再答案,思考:如何画受力图才能求出钢杆轴力?,钢杆,【解】,1、计算各杆轴力,a、受力图：取梁AB为研究对象，受力图如右图,b、方程,MA0 Nbcsin4 10KN/m4m2m=0,c、结果,Nbc33.33KN（拉力 ）,Rax,Nbc,2、计算钢杆直径,Ray,第五节 拉（压）杆的变形,杆件在轴向拉压时：,横向尺寸也相应地发生改变横向变形:dd1d,沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形:LL1L,43/62,一、纵向变形（重点）二、横向变形三、例题,主要内容:,44/62,一
15、、纵向变形,纵向绝对变形：,FN:杆件轴力（KN；,E:弹性模量（MPa）；A：杆件横截面面积（mm2）,纵向线应变（相对变形）：,虎克定律,45/62,二、横向变形,横向线应变（相对变形）：,三、例题,量。,【例题15】如图所示阶梯形铝杆，承受轴向荷载F160KN，F224KN，已知杆长LAB0.2m，LBC0.5m，各段横截面面积AAB800mm2，ABC600mm，E70GPa。试求杆件的轴向总变形量。(注意:1GPa=103MPa=109Pa),解题步骤(2大步):,1. 计算各段杆轴力,（1）受力图,（2）方程,（3） 结果,2. 计算杆件变形量,【解】,(1) 计算1-1截面轴力,
16、1.分段计算轴力（过程略）,2. 计算杆件变形量,（2）计算2-2截面轴力,NAB=24KN,NBC=36KN,NAB,NBC,【例题16】钢质圆杆的直径d10mm，F5.0KN，弹性模量E210GPa。求杆內最大应变和杆的总伸长。,【解】,1.分段计算轴力（过程略）,2. 计算杆件内最大应变,N1=F=5KN,N2=F=-5KN,N1,N2,N3=2F=10KN,N3,最大,(1) 计算1-1截面轴力,(2) 计算2-2截面轴力,(3) 计算3-3截面轴力,【解】,2. 计算杆件总伸长值,公式提示：,第六节 拉伸和压缩超静定问题,超静定结构实际是:有多余约束的几何不变体系,【例题17】等截面
17、直杆A、B两端固定，在C处承受轴向荷载，如图所示，已知各段杆长度a、b，荷载为Fp，横截面面积为A，材料的弹性模量为E。求：各段的轴力。,Ray,Rby,注意：受力图中二个支座反力只能列一个方程,【解】,1.支座反力,(1) 受力图,(2) 方程,Ray,Rby,平衡方程：FY0 FpRby Ray 0,变形方程：LAB=LACLBC=0,内力方程：,Nac,1-1截面：,2-2截面：,Nbc,(3) 结果:,2.轴力:,RayNac=0,RbyNbc=0,【习题1】求图示等直杆的两端支座反力。杆件两端固定。,先练习,再答案,【解】,(1) 受力图,(2) 方程,Rax,平衡方程：FX0 FR
18、bx RaxF0,变形方程：LAB=LACLCDLDB=0,内力方程：,1-1截面：,2-2截面：,(3) 结果:,RbxNDB=0,RbxNCDF=0,Rbx,3-3截面：,RbxFFNAC=0,NDB,NCD,NAC,【习题2】如图所示，杆AC为钢杆，、各杆E、A、L均相同，求各杆內力值。,先练习,再答案,【解】,(1) 受力图（AC杆）,(2) 方程,平衡方程：,变形方程：（变形图如右图）,(3) 结果:,MC0 N12aN2a0,FY0 FN1 N2 N30,2L2=L1L3,【习题3】阶梯形杆，其上端固定，下端与支座距离S1mm，已知上下两端杆的横截面面积分别为600mm2和300mm2，材料的弹性模量E2.1105MPa，试作图示荷载作用下杆的轴力图。,
