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1、数学分析选论习题解答第 二 章 连续性 设，证明：证由向量模的定义， 设到集合的距离定义为证明：（）若是闭集，则； （）若( 称为的闭包 )，则证（）倘若，则由的定义，使得因 ，故，于是必为的聚点；又因是闭集，故，这就导致矛盾所以证得（）若，则显然成立若，则（即为的聚点），由聚点定义，因此同样有反之，凡是满足的点，不可能是的外点（ 若为外点，则存在正数，使，这导致，与相矛盾）从而只能是的聚点或孤立点若为聚点，则；若为孤立点，则所以这样的点必定属于综上，证得 成立证明：对任何，必为闭集证如图所示，设为的任一聚点，欲证，即亦为的聚点这是因为由聚点定义，使得再由为的聚点，有于是又有，所以为的聚点，即
2、，亦即为闭集证明：对任何，必为闭集证如图所示，设为的任一聚点，欲证，即亦为的界点由聚点定义，使再由为界点的定义，在内既有的内点，又有的外点由此证得在内既有的内点，又有的外点，所以为的界点，即必为闭集设，为的任一内点，为的任一外点证明：联结与的直线段必与至少有一交点证如图所示，把直线段置于一实轴上，并为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字母表示下面用区间套方法来证明记若，则结论成立；若为的内点，则取；若为的外点，则取一般地，用逐次二等分法构造区间套：记（ 不妨设），并取此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点恒为的内点，右端点恒为的外点现设，下面证明由区间套定理的推论，当足够大时，因此
3、在中既含有的内点（例如)，又含有的外点（例如），所以上的点必是的界点证明聚点定理的推论和推论（） 推论中的无限点集为有界集的充要条件是：的任一无限子集必有聚点证必要性 当为有界集时，的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接推知结论成立充分性 用反证法来证明倘若为无界集，则必能求得一个点列,使得这个作为的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾故为有界集 （）推论中的无限点集为有界闭集的充要条件是：为列紧集，即的任一无限子集必有属于的聚点证必要性 因有界，故的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点又因子集的聚点也是的聚点，而为闭集，故子集的聚点必属于充分性 由上面（）的充分性证明，已知必
4、为有界集下面用反证法再来证明为闭集据题设条件，的惟一聚点应属于，故又导致矛盾所以的所有聚点都属于，即为闭集 设证明：（）；（）；（）若为一一映射，则证（）若；若所以，当这表示反之，若；若，于是这表示，亦即综上，结论得证（）.因且，故，即 ,亦即 然而此式反过来不一定成立例如，则有；可见在一般情形下，（），使当为一一映射时，只能是，于是，故得联系（），便证得当为一一映射时，等式成立设，且证明：（）时可逆；（）证设，利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道（）当时，由于，因此由，推知，即得（）类似地有设试证：若存在证数，对任何满足，则在上连续，且一致连续证这里只需直接证明在上一致连续即可，
5、对任何，只要满足，便有由于这里的只与有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得在上一致连续设试证：若在点连续，则在近旁局部有界证由在点连续的定义，对于，当时，满足，所以在近旁局部有界设为连续函数，为任一开集，为任一闭集试问是否必为开集？是否必为闭集？为什么？解不一定为开集例如这里为开集，但却为闭集当为有界闭集时，由连续函数的性质知道必为闭集且有界但当为无界闭集时，就不一定为闭集，例如这里可看作一闭集，而却为一开集设试举例说明：（） 仅有，不一定为一压缩映射；（） 仅有存在，使对任何，满足，此时也不一定为一压缩映射解（）例如这里为一闭域，它虽然满足，但因，所以不是压缩映射（注：这也可根据压缩映
6、射原理来说明，由无解，即没有不动点，故不是压缩映射）（） 例如它虽然满足，但因，故此仍不是一个压缩映射讨论取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（）；（）；（）；（）解（）由，可知对任何，在上都不可能是压缩映射（）首先，只有当时，才能使其次，由于对任何都有，因此只要取，即，就能保证在上为一压缩映射（） 由，可知再由，又可求得，即所以，当取时，就能保证在上为一压缩映射（） 由于，因此可由，解出（ 即），再由，可见只要，就能保证在上为一压缩映射试用不动点方法证明方程在区间上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）解若直接取，则因，可知在上不是压缩映射为此把方程改写成，并设由于在上 ，且，所以在上为一压缩映射，且在上有惟一不动点取，按迭代计算如下： 所以，方程即的解（精确到四位有效数字）为 设 ，其中为一个维闭球（球心为）试证：若存在正数，使对一切，都有，则在中有惟一的不动点证显然，只需证得了，连同条件便知在上为一压缩映射，从而有惟一的不动点现证明如下：由，以及题设条件的两个不等式，得到这表示，即1919
