专题7灰色组合模型ppt课件.ppt

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1、专题7：灰色组合模型,南京航空航天大学灰色系统研究所,2010, 南京,引言,灰色组合模型是将灰色系统模型(主要是GM(1,1)或灰信息处理技术融入传统模型后得到的有机组合体。在这个组合体中，若能直接分解出灰色系统模型，则称这种组合体为显性灰色组合模型；若不能直接分解出灰色系统模型，则称这种组合体为隐性灰色组合模型。常见隐性灰色组合模型：灰色经济计量学模型、灰色生产函数模型 常见显性灰色组合模型：灰色周期外延组合模型 、灰色时序模型、灰色线性回归模型、灰色人工神经网络模型 一类灰色组合模型：显性灰色组合模型、隐性灰色组合模型,引言,二类灰色组合模型：对于灰信息处理技术融入其它一般模型后得到的有

2、机组合体。主要有：灰色马尔可夫模型 、灰色DOPSIS 模型等。将GM模型融入一般模型建模的全过程，实现功能互补，能够使预测精度大大提高。 主要表现在以下两个方面：（1）用灰色系统理论的思想、方法对原始观测数据进行必要处理，将会大大改善统计模型的性能。（2）将GM(1,1)模型与其它模型有机组合，有可能深化对系统演化规律的认识。,本章结构,第一节 灰色经济计量学模型,第一节 灰色经济计量学模型,1. 确定主要变量变量的筛选变量的分类,2.模型建立与应用理论模型设计获得模拟值参数估计模型检验模型应用,1.1 确定主要变量,设为y系统内生变量（对于具有多个内生变量的系统，可以对各个内生变量逐个研究

3、）， 为其正相关因素或负相关因素的逆化像。 首先研究y与 的关联度 ，给定下阈值 ，当 时，将 从解释变量中删去，这样可以删去与系统内生变量微弱关联的部分解释变量。 设保留下来的解释变量为 ，进一步研究这些保留变量之间的关联度 给定上阈值 ，当 时，视 与 为同类变量，从而将保留变量分为若干个子类。 在每一个子类中取一个代表元作为进入模型的变量，可以在不影响解释力的情况下使经济计量学模型大大简化，同时还可以在一定程度上避免令人棘手的多重共线问题。,1.2 模型建立与应用,建立与应用灰色经济计量学模型的步骤如下：第一步：理论模型设计。(1) 研究有关经济理论(2) 确定模型所包含的变量及函数形式

4、(3) 统计数据的收集与整理第二步：建立GM(1,1)并获得模拟值。第三步：参数估计。第四步：模型检验。第五步：模型应用。,1.2 模型建立与应用,例7.1.1 某地区粮食生产系统分析及预测。灰色经济计量学组合模型建模的思想方法，在某区粮食生产系统分析及预测研究中，根据向60位专家进行三轮德尔菲函询的结果，归纳出影响粮食单位面积产量的相关因素共有以下24种：,1.2 模型建立与应用,计算上述各个变量与粮食单位面积产量的关联度 ，取阈值 ， ， 皆小于0.4故将 从解释变量中删去，然后计算保留变量 之间的关联度 ，取阈值 ，将上述15个保留变量分为以下7个子类：,1.2 模型建立与应用,分别以

5、作为子类 的代表元，得到影响粮食单位面积产量的7个主要解释变量：用GM(1,1)模拟值作为基础数据估计模型参数，得到以下简化式方程：,1.2 模型建立与应用,解释变量对 ， 的影响显著，解释力分别达到97.96%和98.71%。为进一步研究粮食总产量，需要建立夏粮、秋粮播种面积模型。 影响播种面积的主要因素有：从而有夏粮播种面积 和秋粮播种面积 的定义式方程：建立解释变量的GM(1,1)模型，以解释变量的预测值为基础对内生变量进行预测，可以提高预测的科学性。,1.2 模型建立与应用,解释变量 的时间响应还原式如下所示，和 的预测结果由灾变模型给出。,1.2 模型建立与应用,1.2 模型建立与应

6、用,将表7.1.1中的预测值代入夏粮单产和秋粮单产的简化式方程及夏粮播种面积和秋粮播种面积的定义式，可得 的预测值如表7.1.2所示：从而可以得到夏粮总产量 、秋粮总产量 总产量 的预测值如表7.1.3所示:,1.2 模型建立与应用,不同模型的时间响应还原式和粮食总产量定义式如下：,1.2 模型建立与应用,第二节 灰色生产函数模型,定义7.2.1 设K为资金投入，L为劳动力投入，Y为产出，称为C-D生产函数模型。 其中 为资金弹性， 为劳动力弹性， 为技术进步系数。定义7.2.2 称为生产函数模型的对数线性形式。给定产出Y ，资金K和劳动力L的时间序列数据用多元最小二乘回归可以估计出参数,第二

7、节 灰色生产函数模型,定义7.2.3 设分别为Y,K,L 的 模拟序列，则称 为灰色生产函数模型。灰色生产函数模型中不显含灰参数，它是将灰色系统模型融入C-D生产函数模型后得到的组合体，具有十分深刻的“灰色”内涵，体现了“解的非唯一性原理”和“灰性不灭原理”，因而应用于实践往往会收到满意的效果。,第二节 灰色生产函数模型,例7.2.1河南省各时期技术进步贡献率测度索洛“余值法”计算技术进步速度公式为：考虑按照灰色系统理论的思想对原始数据施以某种缓冲算子，然后对所得数据建立GM(1,1)模型，用GM(1,1)模拟值构建灰色生产函数模型，将由该模型估计出的结果代入式7.2.1即可求出技术进步对产出

8、增长速度的贡献份额： 通常称为技术进步对经济增长速度的贡献率，简称技术进步贡献率。 同理，可以求出资金和劳动力对产出增长速度的贡献率。,第二节 灰色生产函数模型,分别对19521962，19621970，19701980，19801995年4个时期建立河南省国内生产总值的灰色生产函数模型 :其中 为国内生产总值（亿元）； 为固定资产（亿元）； 为从业人员（万人）；t为时间变量； 表示4个不同的时期。,第二节 灰色生产函数模型,第二节 灰色生产函数模型,第三节 灰色周期外延组合模型,灰色周期外延组合模型建模步骤：设系统行为序列为： ，其中第一步，建立该序列的GM(1,1)模型为：第二步，求残差数

9、列第三步，建立残差数列 的周期外延模型。具体步骤如下：1.计算序列的均值生成函数。均值生成函数计算式：,第三节 灰色周期外延组合模型,式中n为样本序列长度， ， ，可得均值生成函数矩阵：对均值生成函数 作周期性延拓，即令2.提取优势周期 ：有两种方法（1）依方差分析基本原理，可用下式来检验序列 是否隐含长度为m的周期,第三节 灰色周期外延组合模型,为服从自由度 的F分布。其中，对于事先给定的置信水平 ，若 则认为 隐含长度为m的优势周期。(2)欲确定长度为m的优势周期，只需取,第三节 灰色周期外延组合模型,3. 序列 减去周期m所对应的延拓函数构成一新序列，即再对新序列 重复2，3，可以进一步

10、提取其它优势周期。4.叠加将不同周期同一时刻取值的叠加值记为这就是周期叠加外推法建立的周期外延模型。可将 近似地取为 。第四步，将 与 组合作为序列 的拟合，即得灰色周期外延组合模型。,第三节 灰色周期外延组合模型,例7.3.1 某地1985-1995年期间每年2、6、10月份的地下水位平均值如表7.3.1，试对该地的地下水位情况进行预测。首先，建立GM(1,1)模型,第三节 灰色周期外延组合模型,第三节 灰色周期外延组合模型,第二步，求残差序列 ，其结果如表7.3.3。第三步，建立残差序列 的周期外延预测模型。提取优势周期 ， ，周期叠加外推法建立的周期外延预测模型为： 。经计算，均值生成函

11、数 ，,第三节 灰色周期外延组合模型,最后，叠加生成灰色周期外延组合模型 该模型拟合效果如表7.3.4。利用所建的模型，设 ，模型计算值 ，分别为1996年2月、6月、10月的平均地下水位预测值。,第三节 灰色周期外延组合模型,第四节 灰色人工神经网络模型,1. BP模型与算法 潜在的优点学习算法,2.灰色BP建模原理方法建立残差序列网络模型确定残差的新预测值,4.1 BP模型与算法,人工神经网络是由大量称为神经元或节点的简单信息处理元件组成。人工神经网络拟合序列有几个潜在的优点：首先，人工神经网络具有模仿多种函数的能力，包括非线性函数、分段函数等；其次，人工神经网络能利用所提供的数据变量自身

12、属性或内涵建立相关的函数关系式，而且不需要预先假设基本的参数分布； 第三，该方法信息利用率高，而且避免了系统数据辩识方法在序列累加时因正负抵消而产生信息失真的现象。因此，人工神经网络特别适合于对GM(1,1)模型进行残差修正。,4.1 BP模型与算法,该网络由一个输入层、一个隐含层和一个输出层构成。整个训练过程由正向和反向传播过程组成。其学习算法如下：（1）用随机数初始化 和 （ 是层间节点i和j间的连接权， 是节点j 的阈值）（2）读入经预处理的训练样本和（3）计算各层节点的输出（对第p个样本） 式中 既是节点i的输出，又是节点j的输入；,4.1 BP模型与算法,（4）计算各层节点的误差信号

13、输出层：隐含层：（5）反向传播权值修正：阈值修正：式中 为学习因子， 为加速收敛的动量因子。（6）计算误差,4.2灰色BP建模原理方法,定义7.1 时刻L的原始数据 与GM(1,1)模型模拟值 之差，称为时刻L的残差，记为 ，即 1. 建立残差序列 的BP网络模型设 为残差序列， ，若预测阶数为S，即用 ， 的信息来预测i时刻的值，我们将 作为 网络训练的输入样本，将 的值作为BP网络训练的预测期望值（导师值）。2.确定 的新预测值设对 用BP网络训练模型预测出的残差序列为 ，在此基础上构造新的预测值 。,4.2灰色BP建模原理方法,则 就是灰色人工神经网络组合模型的预测值。例题7.1已知某地

14、历年环保投资的实际值与GM(1,1)模型的拟合值及残差如表7.1所示，试对残差序列建立人工神经网络模型。,4.2灰色BP建模原理方法,运用上述方法对表7.4.1中GM(1,1)模型的残差序列建立 网络模型。我们设计的 网络的输入采用特征参数为3个，隐含层为1层，隐含层节点数为6个，输出节点数为1个，学习率取0.6，收敛率为0.001，均方误差限制在0.01。网络的训练和测试在计算机上进行。表7.4.2列出了灰色GM(1,1)模型与 网络组合模型的拟合结果。,第五节 显性灰色组合模型的基本建模方法,设 ， 是一个非负的既含有趋势性成分又含有周期性成分或随机性成分的复杂序列。第一步，用GM(1,1

15、)模型拟合趋势性成分；第二步，求残差序列，即原始序列 减去由GM(1,1)模型模拟形成的序列 而构成的由初次残差组成的新序列 ；根据新序列 的特征，对周期性成分建模；主要有如下几种方法：1.建立周期外延模型。建模步骤如7.3节所述。2.建立人工神经网络模型，建模步骤如7.4节。3.建立谐波分析模型。,第五节 显性灰色组合模型的基本建模方法,把周期函数展开成傅氏级数的方法叫做谐波分析法，这是一种常用的适合于周期性数据序列的建模方法。其数学模型为：其中， 和 为各阶谐量系数，由周期性数据序列求各阶谐量系数的估计值为 4.建立三角函数与多项式乘积组合模型。 对于 ，若用简单的三角函数模拟，有时可能会

16、产生较大误差，因此人们通常采用三角函数与多项式乘积 进行模拟估计 。,第五节 显性灰色组合模型的基本建模方法,是nj次多项式，若 的周期是T，则对 的 ，存在nj及多项式 和 使得为 在函数类 中的最佳估计，该模型即为三角函数与多项式乘积组合模型。第三步，确定二次残差序列 ，即初次残差序列 减去由第二步所建模型的模拟序列而构成的新序列。在这个序列中，就主要剩下随机性成分了。对随机性成分建模主要是建立时间序列模型。建模时通常先对序列 作预处理（平稳化和零均值化），从而得到满足时序建模条件的序列 。,第五节 显性灰色组合模型的基本建模方法,最常用的是自回归模型 ，其模型为其中，通过自回归模型 来拟

17、合 后，再经过相应的反变换得到数据序列 的模型估计值 。第四步，将前三步所建模型叠加，即为灰色组合模型,第六节灰色线性回归组合模型,设序列对 进行一次累加生成处理，得到生成序列其中 ，由GM(1,1)可得到其形式可记为用线性回归方程 及指数方程 的和来拟合累加生成序列 ，因此可将生成的序列写成,第六节灰色线性回归组合模型,其中，参数 及 待定。为了确定以上参数，设参数序列设,第六节灰色线性回归组合模型,同样有上面两式的比为因此得到 的解为将（7.6.4）式中的 换成 ，由（7.6.8）式可得 的近似解 ，取不同的m可得到不同的 ，以它们的平均值作为 的估值 。式（7.6.）变为对于 ，有,第六

18、节灰色线性回归组合模型,对于 ，有对于 ，有以上计算 的个数为： ，取这些 的平均值为 的估值 ，即：,第六节灰色线性回归组合模型,令 ，则式（7.6.3）可写为利用最小二乘法可求得 的估计值。令,第六节灰色线性回归组合模型,则有从而这样就得到生成序列的预测值为：,第六节灰色线性回归组合模型,例7.6.1 某矿岩移动站1995年2月至1996年4月观测所得的某点的下沉序列如表7.6.1，试对该点的下沉动态进行预测。原始序列一次累加生成得根据不同的m，利用式（7.6.6）和式（7.6.7）得到 的估计值 。,第六节灰色线性回归组合模型,用式（7.6.10）得到 的估计值得到一次累加生成序列的组合

19、模型为：,第七节 灰色马尔可夫模型,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,定义7.7.1 设 为随机过程，若对于任意的整数 和任意的状态 ，条件概率满足则称 为马尔可夫链。（7.7.1）式称为无后效性。 它表示系统未来 所处的状态仅于其现在 所处的状态有关，而与其过去 所处的状态无关。定义7.7.2 对任意的 和状态 ，称为马尔可夫链的转移概率。,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,定义7.7.3 若（7.7.2）式中的转移概率 与n无关，则称 为齐次马尔可夫链。定义7.7.4 设 为转移概率，称为系统状态的转移概率矩阵。命题7.7.1 转移概率矩阵 中的元素具有以下性质：(1)(2),7.1灰色转移概

20、率马尔可夫模型,定义7.7.5 称 为马尔可夫链的n步转移概率，并称 为 n步转移概率矩阵。命题7.7.2 n步转移概率矩阵 具有以下性质：（1）（2）（3）定义7.7.6 转移概率为灰元的马尔可夫链称为灰色马尔可夫链。,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,在实际问题中，由于缺乏信息，常常难以确定转移概率的确切数值而只能根据已有信息给出转移概率可能取值的灰区间集 。当转移概率矩阵为灰矩阵时，一般要求其白化矩阵 中的元素满足：（1）（2）命题7.7.3 设有限状态灰色马尔可夫链的初始分布为转移概率矩阵为,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,则下一期的系统分布为第二期的系统分布为第S期的系统分布为,7.2

21、灰色状态马尔可夫模型,定义7.7.7 若 为由状态 经过 步转移到状态 的原始数据样本数； 为处于状态 的原始数据样本数，称为状态转移概率。在实际中，一般只要考察一步转移概率矩阵P，设预测对象处于 状态，则考察P中第k行，若则可认为下一时刻系统最有可能由 状态转向 状态。 若遇矩阵P 中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时，则状态的未来转向难确定。 此时，需要考察二步或n步转移概率矩阵 或 （其中 ）。,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,例7.7.1 浙江省南湖林场19731987年油茶产量见表7.7.1（1）建立GM(1,1)模型（2）划分状态根据油茶产量的实际数据情况，可划分为如下四个状态：,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,式中 为k时刻按GM(1,1)模型得到的油茶产量预测值。（3）计算状态转移概率矩阵由状态转移概率矩阵公式7.7.12，可求得一步状态转移概率矩阵P 如下：,7.1灰色转移概率马尔可夫模型,1987年油茶产量处于状态 ，经过一年转移，由则可认为1988年油茶产量最有可能处于 。,The End!,