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1、1,高等数学,第二十九讲,2,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第七章,3,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,其中P(x), Q(x)是x 的已知函数 ，,Q(x)为自由项。,称P(x)为变系数；,4,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,设通解形式,5,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,设（1）的解为,两端积分得,6
2、,解,直接应用一阶微分方程通解公式,故原方程通解为,例1. 解方程,7,例2 求微分方程,的通解。,解： 原式整理为,由公式得通解,8,例3： 求微分方程,满足,的特解。,上式不是一阶线性方程的形式，,函数，方程可写为：,此方程为一阶线性微分方程。,通解：,解：,若将 x 看成 y 的,用通解公式有：,特解：,9,求微分方程,的通解.,例4,解,10,例5,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,解:,令,利用公式可求出,方程两边求导，整理得,11,解法1 化为齐次方程,原方程变形为,积分得,将,代入 ,得通解,例6：求下列微分方程的通解.,12,解法2 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,
3、即,13,例7.,设,且满足方程,求,解：,即,求导得：,即,从而求得通解,又,故,所以,14,部分的面积, 求曲线,两边求导得,解,例10,轴的动直线被曲线,如图所示，平行与,与,截下的线段PQ之长数值上等于阴影,所求曲线为,15,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),16,例1. 求方程,的通解.,解: 原方程两边同时乘以,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,得:,令,两边同时对x 求导得：,17,解,例2,原式,18,例3：求,的通解。,原方程整
4、理得：,方程两边同乘以,令,代入原方程整理得：,原方程的通解：,解,19,用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,例4,20,解,分离变量法得,所求通解为,用适当的变量代换解下列微分方程:,例4,21,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,22,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,23,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,
5、1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,24,例5. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,25,例7. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,26,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,27,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,用适当的变量代换解下列微分方程:,例4,
