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1、1,极限定理包含的内容很广泛,只有在相同的条件下进行大量重复试验时, 随机现象的规律性才会呈现出来.,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.,研究大量的随机现象, 极限工具无疑是最有效的方法.,大数定律 与 中心极限定理,我们先介绍,也就是说,要从随机现象中寻求必然的法则, 应该研究大量随机现象.,这导致了对极限定理的研究.,其中最重要的有两类:,5.1 大数定律,2,设随机变量X 有期望 和方差，,由切比雪夫不等式可看出：DX 越小,则事件|X-E(X)| 的概率越大,或,由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度,一、切比雪夫不等式,则 0,证 (仅就连续的情形给出
2、证明),则 0,设X 的密度函数为 f ( x),即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,在未知分布的情形下估计 P(|X-EX| ),例1 已知E(X)=100, D(X)=30,试估计X落在(70,130)内的概率,解:,P70X130,=P|X100|30,由契比雪夫不等式,得:,0.967,契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知情况下,事件|X|或|X|的概率的一种估计方法,4,例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.,解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 ,X B (6000,1/6
3、 ),5,实际精确计算,用Poisson 分布近似计算,取 = 1000,6,1. 设,相互独立，,，,，则根据切贝谢夫不等式, 对于任意给定的,，有_.,7,它们的方差都存在,设 Xn 是相互独立的随机变量序列,则 Xn 服从大数定律.,定理1(Chebyschev切比雪夫大数定律 ),且有公共上界,即对任意的 0, 有,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式,证 由Chebyschev不等式,由极限夹逼准则知结论成立.,任意事件的概率 1,特别地, 改方差的限定条件为: 设Xn 独立且有相同的期望 和方差 2 ,则 0, 有,在独立和同期望、方差的条件下, n 个随机变量的算术
4、平均值当 n 时, 依概率收敛于它的期望 .,即存在常数 C , 使得 DX i C , i =1, 2, ,当n 充分大时几乎不再是随机的了,8,切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述,9,2. 设随机变量序列,相互独立，它们满足切贝谢夫大数定律, 则,的分布可以是_.,（A）,服从,上的均匀分布.,服从参数为,的泊松分布.,服从参数为,的泊松分布.,服从正态分布,10,贝努里大数定律,设n次独立重复试验中事件A发生nA次, 在每次试验中事件A发生的概率为p,则 0,有:,11,令,由契比雪夫大数定律得出结论,E(Xi)=p, D(Xi)=p(1p),又,12,关于贝努利定理的说明:,
5、故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率方法的理论依据,即用频率估计概率是合理的.,例3 设随机变量Xk (k=1,2,.)相互独立,具有同一分布: E(Xk)=0, D(Xk)=2, 且E(Xk4) (k=1,2,.)存在,试证明: 0,证:,令Yk=Xk2 (k=1,2,.),由已知, Yk (k=1,2,.)相互独立,E(Yk)=E(Xk2),=D(Xk)+E2(Xk),=2,D(Yk)=E(Yk2) E2(Yk),=E(Xk4)4,
6、由契比雪夫大数定律:, 0,有,15,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,，则对任给 0 ，,定理3（辛钦大数定律）,这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值 作为 EX 的较为精确的估计提供了理论保证.,辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了一条实际可行的途径:,则当 n 时, 对X 的 n 次观察结果的算术平均值 以概率收敛于 X 的期望值 EX = .,若视 X i 为重复试验中对随机变量 X 的第 i 次观察,16,这一讲我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数
7、学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,17,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如, 炮弹射击的落点与目标的偏差, 就受着许多随机因素的影响.,5.2 中 心 极 限 定 理,如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,中心极限定理的客观背景,18,观察表明, 如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,我们就来研究独立随机变
8、量之和所特有的规律性问题:,当 n 无限增大时, 这个和的极限分布是什么呢?,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后, 人们发现正态分布在自然界中极为常见.,在一般情况下, 我们很难求出 X1 + X2 + + Xn 分布的确切形式,但当 n 很大时, 可以求出这个和的近似分布.,19,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,中心极限定理,20,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨论几种简
9、单情形.,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（LevyLindberg）定理.,21,设Xi是独立同分布的随机变量序列,定理1(独立同分布的中心极限定理),N(0, 1);, N(n, n 2);,N( , 2/n).,可近似认为:,且EXi=, DXi=2 0, i =1, 2, ,n,的分布函数 Fn(x)满足,的标准化随机变量,则 0 ,n 个独立同分布的随机变量, 不论原来服从什么分布, 当 n 充分大时, 其和的标准化 总可近似地认为是服从标准正态分布.,正是大量随机变量服从正态分布的理论解释,反映了中心极限定理的客观背景,22,例如,PaXb,23,
10、一箱内装 200 瓶,所以每瓶的口服液净重为随机变量,例1用机器把口服液装瓶. 由于机器会有误差,期望值为 100g , 标准差为 10g .,求一箱口服液净重大于 20500g 的概率.,解 设一箱口服液净重为 X 克,箱中第 i 瓶净重为 X i ( i = 1, 200 ),显然诸 X i 独立且同分布，,且 EX i = 100, DX i = 10 2 (i = 1, , 200).,记,则所求概率为 P( X 20500 ),n = 200,20000,= 0. 0002 .,由独立同分布中心极限定理知,24,其平均使用寿命为 20 小时.,使用中, 当一个器件损坏后立即更换另一个
11、新的.,由于每个器件的寿命 Xi (i=1,2, )为随机变量,则预算应为 na 元，,解 设年计划进 n 个这种器件, E(Xi) = 1/,依题意即求 n 使得,例2 某种器件的寿命(单位:小时)服从 E(),试求在年计划中为此器件做多少预算, 才可有95 % 以上的把握保证一年够用.,已知每个这种器件的进价为 a 元 ,按2000工作小时计算,查表可知,且相互独立地服从 E(),D(Xi)= 1/2,= 20, = 1/20 ,= 400 ,由独立同分布中心极限定理知, 0. 05 ,n 较大时, 近似于0,解得 n 118 ,故年计划预算不应少于 118a 元.,25,例3 某大型商场
12、每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从200, 2000上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的, 试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率,解:,设第k位顾客的消费额为Xk (k=1,2,10000),商场日销售额为X,则,26,由已知,=100001100=11106,由独立同分布中心极限定理,有:,27,P1110630000X11106+30000,2(0.58) 1,0.44,28,事件 A 发生的次数 n,设随机变量序列Xn 相互独立, 且都服从参数为 p(0p1)的二点分布, 则对任意的 x, 有,即 n 很大, 0p1是一定值时,
13、二项分布近似于正态分布 N(np, np(1-p).,定理(De Moivre-Laplas(棣莫佛拉普拉斯),或 近似服从 N(0,1),正态分布是二项分布的极限,下面举例说明中心极限定理的应用,独立同分布中心极限定理的特例,记住,29,求夜晚同时开着的灯数在 6800 到 7200 之间的概率.,夜晚每盏灯开着的概率为0.7 ,解 设 X 为夜晚同时开着的灯数,例4 一供电网共有 10000 盏功率相同的灯,假设各盏灯开、关彼此独立,由DL定理重要公式知,(n = 10000, p = 0.7),应用中的概率解释：,尽管该电网负责供应一万盏灯所需的电力,则 X B(n,p),以题意知所求概
14、率为 P(6800 X 7200),但提供 7200 盏灯所需的电力就能以 99.99 % 的概率保证需求.,30,问总机至少要装多少外线, 才能以90%以上的概率保证每部电话需用外线是可以打通 ?,每部电话约有5%的时间是使用外线,解 令,i =1, 2, 200.,例5 某单位由200部电话,设每部电话是否使用外线是独立的,由DL定理重要公式,是同时使用外线通话的电话总数,由 3 原则此项 0,只要,查表得,解得,故至少应安装 14 条外线.,问题即为: 求最小的 k, 使得 P(0X k) 0. 90 .,31,试以99% 的把握断定:,从这批电子元件中任取6000 只, 其中次品所占比
15、例与 1/6 的差不超过多少？,例6 已知一批同型号的电子元件的次品率为1/6,这时 6000 只电子元件中次品数的范围是什么?,解 设6000之中次品数为X ,则 X B(n, p),n = 6000, p = 1/6,6000只元件中次品所占的比例为 ,由题意知要求 , 使得,查表知,6000之中次品数应在 926 只到 1074 只之间.,由DL定理重要公式,= 0. 0124 ;,32,题 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.,解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,X B( 6000 , 1/6 ),由德
16、莫佛拉普拉斯中心极限定理,则,有,33,34,比较几个近似计算的结果,中心极限定理,二项分布(精确结果),Poisson 分布,Chebyshev 不等式,35,这一讲我们介绍了中心极限定理,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,36,设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0, 方差为 2 = 2的随机变量 Yn，并满足,其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率.,*补充题,37,解 设 表示今天该商品的价格, 为18,天后该商品的价格, 则,得,
