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1、1,大数定律,背景知识,大数定律研究的是大量的、在一定条件下的、重复的随机现象的统计规律性。它以严格的数学形式论证了随机事件在什么样的条件下发生的概率接近于0或1。同时指出，任何随机事件，不论其发生的概率如何小，都是有可能发生的。如果试验次数充分大，且随机事件在每次试验中能以同样的概率发生，则它至少发生一次的概率可以随意地接近于1。也就是说，不论随机事件在一次试验中发生的概率如何小，只要试验次数充分大，则它一定要发生。,2,在历史上，1713年贝努里第一个对经验频率的稳定性给也了严格的理论证明，称为贝努里大数定理。后来切贝谢夫在一般条件下推导出了大数定理，称为切贝谢夫大数定理。1929年，辛钦
2、在同分布的条件下推广了切贝谢夫定理，称为辛钦定理。,大数定律,背景知识,3,大数定律,切贝谢夫不等式,4,例1,5,例2,设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定开,关彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率.,提示:,6,提示:,例3,7,大数定律,依概率收敛:,8,大数定律,切贝谢夫大数定理,9,大数定律,切贝谢夫大数定理的启示,具有有限方差的随机变量序列的平均数依概率收敛于它们的数学期望的平均数.,10,大数定律,贝努里大数定理,11,大数定律,贝努里大数定理的启示,频率具有稳定性.这也是概率的频率定义的理论依据,12,大数定律,辛钦大数
3、定理,13,大数定律,辛钦大数定理的启示,对于同一个随机变量进行n次独立观测,则所有观测结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值.,14,中心极限定理,李雅普诺夫中心极限定理,15,中心极限定理,李雅普诺夫中心极限定理的启示,如果一个随机现象是由众多因素共同作用引起,每一个因素在总的变化中都不起显著作用,就可以断定描述该随机现象的随机变量(不论是连续型的还是离散型的)近似地服从正态分布.,16,中心极限定理,拉普拉斯中心极限定理,17,中心极限定理,运用中心极限定理时应注意:,18,中心极限定理,运用中心极限定理时应注意:,(2)中心极限定理成立的条件是n趋于无穷大.在具体应用时n应多大呢
4、？一般要求n应大于30.否则误差会较大.,19,例1,设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定开,关彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率.,提示:,20,例2,每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹中命中5发的概率.,21,提示:,22,例3,某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各机床的开与关是相互独立的,开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂至少要供应多少电能给这个车间,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.,提示:(电能单位),23,例4,某商店负责供应某地区1000人的商品某种商品在一段时间
5、内每人需要用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内各人购买与否彼此独立,问商店应预备多少件这样的商品才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在一定的时间内最多需要一件).,提示:643件,24,例5,设有30个电子器件,它们的使用寿命(单位:小时)T1,T2,T30服从参数=0.1的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,第二个损坏第三个立即使用,依次类推.令T为30个器件使用的总计时间,(1)求T超过350小时的概率;(2)若电子器件每件a元,那么在年计划中一年需要多少元才能有95%的概率保证够用(假定一年有306 个工作日)?,提示:(1)0.1814(2)272a,25,例6,提示:N(a2,a4-a22),26,例7,提示:自然数16,27,例8,设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据车贝雪夫不等式有,提示:1/12,28,一生产线的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977.,提示:,例9,
