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1、第五章,第一节 大数定律,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数
2、学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。,这就是大数定律所阐述的。,测量的经验就是：,定义1,若对任意,想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。,定义2,对任意,定理1,回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,设 X1,X2,是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi)K，i=1,2,，,切比雪夫,则对任意的0，,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述,作为切比雪夫大
3、数定律的特殊情况，有下面的定理.,定理2（独立同分布下的大数定律）,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,则对任给 0,下面给出的贝努里大数定律，是定理2的一种特例.,贝努里,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,于是有下面的定理：,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理3（贝努里大数定律）,或,贝努里,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律
4、提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=,i=1,2,，则对任给 0，,定理4（辛钦大数定律）,辛钦,辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块.计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,下面我们再举一例说明大数定律的应用.,定积分的概率计算法,我们介绍均值法，步骤是,1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,N,n=1,2,N,即,3)用平均值近似积分值,求,的值,因此，当N充分大时，,原理是什么呢？,设XU(0,1),由大数定律,应如何近似计算？请思考.,这一讲我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,休息片刻继续下一讲,
