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1、第六章 数列,数学（基础模块）下册,在自然界和日常生活中，我们经常会遇到按照一定次序排列的一列数例如，假设每一对新生的小兔子要一个月后才能到成熟期，且一对成熟的兔子每一个月都会生一对小兔子若现在有一对小兔子，则以后每个月兔子的对数依次为（如图6-1所示）,图6-1,若要计算一年后共有兔子多少对，就需要应用数列的知识,6.1 数列的概念,6.1.1 数列的定义,观察,全体自然数从小到大排成一列数为,2,4,6,8,10的倒数排成一列数为,观察,无穷多个3构成一列数为,20062012年某市普通高中生人数（单位：万人）构成一列数为,像这样，按照一定次序排成的一列数称为数列数列中的每一个数称为这个数
2、列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项,观察,所以，数列的一般形式可以写成,简记为an其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，n分别称为对应各项的项数,项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列上面的例子中，数列为有穷数列，数列为无穷数列,6.1.2 数列的通项公式,如果数列an的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个公式就称为这个数列的通项公式,例如，数列的通项公式为,例如，数列的通项公式为,例如，数列的通项公式为,像数列这样各项都相等的数列称为常
3、数列,例题解析,例1 写出下列数列的一个通项公式，使其前4项分别是下列各数,（1）,（2）,解：,（1）观察数列的前4项与其项数的关系,， ， ， 。,由此可知，该数列的通项公式为,解：,（2）观察数列的前4项与其项数的关系,由此可知，该数列的通项公式为,， ， ， 。,例题解析,例2 已知数列的通项公式为an=10+2n，求：,（1）数列的前4项；,（2）数列的第10项；,（3）若54为该数列的一项，请计算它的项数,解：,（3） an=10+2n=54， n=22.所以， 54为该数列的第22项,（1） ， ， ， 所以，数列的前4项是12,14,16,18 ,（2）数列的第10项是,例题解
4、析,例3 某水泥厂生产水泥，今年的产量为18万吨，由于技术改造，计划每年增产15%，写出从今年开始5年内每年的产量排成的数列，并写出通项公式,解：,故该数列为,其通项公式为,6.2 等差数列,6.2.1 等差数列的定义,观察,正偶数从小到大排列，可组成数列,2,4,6,8 ,某住宅楼，从第1层开始，每一层的楼板高度，可组成数列,0,3,6,9, ,买衣服时会发现，衣服的号码从小到大可组成数列,160,165,170,175, ,观察,观察上面的数列，可以发现： 数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2； 数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3； 数列，从第2项起，每一项与前一项的差都
5、等于5 这三个数列有一个共同特点，就是从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数,观察,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示,如果三个数a，A，b成等差数，则A-a=b-A，即,此时，A就称为a与b的等差中项,等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项,6.2.2 等差数列的通项公式,设等差数列an的首项为a1，公差为d，则,依次类推，最终可推导出等差数列的通项公式为,例题解析,例1 求等差数列10,6,2，的第15项。,解：,因 ，所以该数列的通项
6、公式为,该数列的第15项为,例题解析,例2 等差数列2,5,8，的第几项是59？,解：,设该数列的第n项等于59，则,因 ，所以该数列的通项公式为,因此，该数列的第20项为59,例题解析,例3 在等差数列an中，公差d=5，a9=38，求首项a1。,解：,因d=5，故设等差数列的通项公式为,因a9=38，故,例题解析,例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计价10元如果某人在该市坐出租车去14 km处的地方，需要支付多少车费？,解：,根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每加1 km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数
7、列an来计算车费,令a1=11.2表示4 km处的车费，公差d=1.2.那么，当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付的车费为,6.2.3 等差数列的前n项和公式,著名数学家高斯在上小学的时候就显示出了惊人的天赋最能证明这一点的是高斯十岁那年，老师出了一道题目，要求学生将1到100的所有整数加起来当其他学生忙于把100个数逐个相加时，高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：,高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，n，前100项和的问题此数列的首项为1，第100项为100，公差为1，根据高斯的计算可知，其前100项和为,下面我们将这种方法推广到求一般等差数列的前n项和等差数列an的
8、前n项和可用Sn表示，即,根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和可表示为,将两式相加可得,由此得到等差数列an的前n项和公式,将等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d代入上式，可得,例5 等差数列an中，d=2，a20=29，求前20项的和S20,解：,由已知条件可得,因此，其前20项之和为,解：,例6 已知数列an的前n项和公式为 ，求出这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列？,因,因此,当n=1时， ，也适合上式，所以该数列的通项公式为,又因,所以，an是等差数列。,例7 在政府的安排下，银行提供无息贷款58 000元帮助某地区发展一个项目，还款方式为一年后的第一个
9、月还1 000元，以后每个月都比前一个月多还200元，问需要多少个月能还清全部贷款？,解：,由题意可知，每月还款数是首项a1=1 000，公差d=200的等差数列设n个月可以还清贷款，则n个月的还款总额为Sn，即,因为还款是无息的，所以有,故20个月可以还清这笔贷款,6.2.4 等差数列实际应用举例,例8 用一辆汽车从预制场运送54根水泥电杆去500 m处的地方开始安装，以后每隔50 m放一根，一辆车一次运三根，请计算完成整个任务汽车行程多少公里？,解：,即完成整个任务汽车行程67.5公里,6.2.4 等差数列实际应用举例,第一车运三根，放在500 m，550 m，600 m处返程，汽车行程
10、，以后每车比前一车多行 ，共运18车，则18车的往返行程成等差数列，其a1=1 200，d=300，n=18，故,6.3 等比数列,6.3.1 等比数列的定义,在现实生活中，我们还会遇到下面一组数列，即细胞分裂时每次1个细胞分裂为2个，则每次分裂后细胞的个数依次为2,4,8,16,32，。,观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每一项与其前一项的比都等于2,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示,如果三个数a，G，b成等比数列，则,此时，G就称为a与b的等比中项,等比数列中，从第2项起，
11、每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项,即,6.3.2 等比数列的通项公式,与等差数列类似，下面我们通过观察等比数列各项之间的关系来探求其通项公式,设等比数列an的首项为a1，公比为q，则,依次类推，最终可推导出等比数列的通项公式为,例题解析,例1 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项,解：,设这个等比数列的第1项为a1，公比为q，那么,，得,将q代入式，可得,于是,例题解析,例2 求等比数列11,3.3,0.99，的第4项和第5项,解：,由题意可知，,所以该数列的通项公式为,因此,例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种
12、物质是原来的84%，问这种物质的半衰期是多长？（精确到1年）,解：,设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由已知条件可知，数列an是一个等比数列，其中,设an=0.5，则,即这种物质的半衰期大约为4年,6.3.3 等比数列的前n项和公式,综上所述，等比数列an的前n项和公式为,例题解析,例4 求下列数列前8项的和,解：,（1） （2）,（1）因 ，所以，当n=8时,（2）因 ，所以，当n=8时,例题解析,例5 已知等比数列an的q=3，S5=242，求a3.,解：,（1）因q=3，S5=242，n=5，所以,解得,所以,例6 10年内公司对某企业投资为：第一年100万元，以后每年依
13、次为上一年的90%，求10年内公司对该企业的投资总额,解：,即10年内公司对该企业的投资总额约为651万元,6.3.4 等比数列实际应用举例,10年内各年投资依次是,这是一个首项a1=100，公比q=90%，项数n=10的等比数列由求和公式可知,例7 一个四级火箭，从最上面一级开始，每一级的重量是它下面一级的四分之一，最下面一层的重量为a吨，求这个火箭的总重量,解：,即这个火箭的总重量约为1.111a吨,这个四级火箭的重量从下往上依次为,这是一个首项a1=a，公比q=0.1，项数n=4的等比数列由求和公式可知,例8 某人从银行贷款10 000元，贷款期限为5年，年利率为5.20%，按复利计息法计算利息如果5年后一次性还款，计算到期后，此人应偿还银行多少钱？,解：,贷款一年后的本利和为,第二年后的本利和为,依次类推，从第一年后起，每年后的本利和组成等比数列,其通项公式为,所以,即到期后，此人应偿还银行12 884.83元,谢谢观赏,
