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1、概率论与数理统计,概率论与数理统计,第二节 常用统计分布,一、常见分布,二、概率分布 的分位数,第二节 常用统计分布一、常见分布二、概率分布,一、常见分布,在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有,本节介绍一些最常见的统计分布.,例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号,通常需要求出Y的概率分布.,关随机变量的函数的概率分布.,这个信号通过平方示波器，则,是一个随机变量X ，若我们把,输出的信号为,一、常见分布 在实际中我们往往会遇到这样的问题,正态分布是自然界中最常见的一类概率,例如在统计物理中，若气体分子速度是随,的分布规律.,各分量相互独立，且均服,从,机向量,要求该分子运动动能,的概率分
2、布问题.,是关于这些正态随机变量的平方以及平方和,高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题,分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身,1. 2 分布,正态分布是自然界中最常见的一类概率例如在统计物理中，若气体分,要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量,的概率分布.,对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方,和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方,分布就是在类似的实际背景下提出的.,要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量的概率分布.,(1) 定义,自由度：,定义5.6,(1) 定义自由度：定义5.6,证,定理5.4,证定理5.4,常用统计分布课件,性质1,(此性质可以推广到多个随机变
3、量的情形),(3),性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形)(3),性质2,证,性质2证,常用统计分布课件,性质3,证,性质3证,常用统计分布课件,解,例1,解例1,例2,解,例2解,相互独立.,相互独立.,历史上，正态分布由于其广泛的应用背景,增大而接近正态分布,样本均值的分布将随样本量,识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，,数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认,的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验,在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻,和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”，,2. t 分布,历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正,但是Cosse
4、t在实验中遇到的样本容量仅有56,个，在其中他发现实际数据的分布情况与,正态分布有着较大的差异.,于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的,其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，,并在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，,后人称此分布为“t 分布”或“学生氏”分布.,但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有56个，在其中他,t 分布又称学生氏 (Student)分布.,(1) 定义,定义5.7,t 分布又称学生氏(1) 定义定义5.7,Oxy,(3) T的数字特征,(3) T的数字特征,例3,求统计量T的分布，其中,解,例3 求统计量T的分布，其中解,由可加性知,于是由t
5、的定义有,即,由可加性知于是由t 的定义有即,3.,(1) 定义,定义5.8,3.(1) 定义定义5.8,常用统计分布课件,1),2),3),这说明F分布极限分布也是正态分布.,1)2)3)这说明F分布极限分布也是正态分布.,例4,证,例4证,例5,解,由F分布的性质知,所以得,例5解 由F分布的性质知所以得,二、概率分布的分位数,1. 定义,2. 常用分布的上侧分位数记号,定义5.9,二、概率分布的分位数1. 定义2. 常用分布的上侧分位数记号,3. 查表法,(1) 若X的分布密度关于y轴对称，则,特例：,3. 查表法(1) 若X的分布密度关于y轴对称，则xyO特例,常用统计分布课件,根据正
6、态分布的对称性知,0.95,0.975,根据正态分布的对称性知0.950.975Oxy,由分布的对称性知,由分布的对称性知Oxy,常用统计分布课件,(2) X的分布密度无对称性的情形,(2) X的分布密度无对称性的情形Oxy,(表4只详列到 n=60 为止).,(表4只详列到 n=60 为止).,例如：,费歇(R.A.Fisher)公式：,例如：费歇资料费歇(R.A.Fisher)公式：,此外，还可利用关系,此外，还可利用关系,证,证,常用统计分布课件,内容小结,1.三大抽样分布:,的定义,性质.,2.概率分布的分位数概念.,内容小结1.三大抽样分布: 的定义,性质.2.概率分布的分位,再见,
7、再见,解,例1-1,备用题,解例1-1备用题,例1-2,解,所以Y的分布函数为,例1-2解所以Y的分布函数为,相应的由公式法可得，密度函数为,相应的由公式法可得，密度函数为密度变换公式,例2-1,个样本，,分别为样本均值与方差，则,解,设总体为标准正态分布，从中抽取n,例2-1个样本，分别为样本均值与方差，则解设总体为标准正态分,综上可得,正确答案为C.,综上可得,正确答案为C.,例3-1,解,由定义5.7,例3-1解由定义5.7,例3-2,的概率分布.,解,例3-2 的概率分布.解,常用统计分布课件,例3-3,解,例3-3解,例3-4,的概率分布.,解,例3-4的概率分布.解,由于独立正态变
8、量的线性组合仍是正态变量,整理得,故,由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量整理得故,且它们相互独立,再利用伽玛分布的可加性知,由卡方分布的定义知,且它们相互独立,再利用伽玛分布的可加性知由卡方分布的定义知,注 本例要求两个正态总体的方差相同!,从而, 由t分布的定义有,注 本例要求两个正态总体的方差相同!从而, 由t分布的定,例3-5,解,故由t 的定义有,因而T 的分布密度为,例3-5解故由t 的定义有因而T 的分布密度为,例4-1,解,例4-1解,所以,所以,例4-2,的概率分布.,解,由卡方分布的定义有,例4-2的概率分布.解由卡方分布的定义有,常用统计分布课件,辛钦定理,辛钦定理,费歇资料,Ronald Aylmer Fisher,Born: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia,费歇资料Ronald Aylmer FisherBorn:,学生氏资料,Born: 13 June 1876 in Canterbury, EnglandDied: 16 Oct 1937 in Beaconsfield, England,William Sealey Cosset,学生氏资料Born: 13 June 1876 in Can,
