《误差分布》PPT课件.ppt

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1、误差理论与数据处理,【院 系】光电工程学院,第二章 误差分布,本章教学目标与重点难点,第一节 测量误差的统计特性,测量值点列图,一、某钢球工件直径重复测量150次的测量点列图,单峰性：数据集中在7.335附近，如不存在系统误差，其约定真值即为7.335,有界性：数据分布在7.085至7.585之间，即可确定误差分布的大致范围,对称性：正负误差的数目大致相同；,抵偿性：误差的总和大致趋于零，它是判定随机误差最本质的一个统计特征。,统计直方图和概率密度分布图,二、统计直方图,（1）分组数=11，组距=0.05mm；（2）依次定各组的频数、频率和频率密度；（3）以数据为横坐标，频率/频率密度为纵坐标

2、，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,绘制统计直方图注意事项,（1）样本大小：确定误差的分布范围时，取 n=50200 确定误差分布规律时，最好取 n=2001000,()子区间个数、间距：当n=50100时，个数=610当n=100200时，个数=912当n=200500时，个数=1217当n=500以上时，个数=20,可用下列两个公式之一来计算分组数 或间距,或,统计直方图和概率密度分布图,统计直方图和概率密度分布图,三、概率密度（分布）图,把各直方柱顶部中点用直线连接起

3、来，便得到一条由许多折线连接起来的曲线。当测量样本数n无限增加，分组间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光滑的曲线，即测量总体的概率（分布）密度曲线，记为。这就是用实验方法由样本得到的概率密度分布曲线。,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,统计直方图和概率密度分布图,概率密度曲线完好的描述了随机误差的统计规律。,概率密度函数的几何意义,置信区间,显著性水平（又称显著度或危险率）,置信概率（或置信水平），简记为符号,概率密度的性质,有两个性质,统计直方图和概率密度分布图,误差分布的统计方法小结,测量样本 点列图,测量样本 统计直方图,测量总体 概率密

4、度函数图,测量误差统计分布的特征值,尽管误差分布反映了该误差的全貌，但在实际使用中更关心代表该误差分布的若干数字特征量。,测量误差统计分布的特征值,数学期望,定义,一阶原点矩，它表示随机变量分布的位置特征。它与真值之差即为系统误差，如果系统误差可以忽略，则 就是被测量的真值.,三条测量值分布曲线的精密度相同，但正确度不同。,数学期望代表了测量的最佳估计值，或相对真值的系统误差大小,测量误差统计分布的特征值,离散随机变量的一切可能值与对应的概率P的乘积之和的平均值（加权平均值）称为数学期望,记为E。,描述随机变量概率分布的宏观特性的一类常用的量。设X为一随机变量，F(x)是它的分布函数。对于任一

5、正整数k，xk的数学期望E（Xk）称为X 的k阶原点矩。一阶原点矩 就是数学期望E（X）。E(X-E（X）)k 称为 X 的 k阶中心矩。,一阶中心矩永远等于零，二阶中心矩就是方差，由于各种矩在描述和确定概率分布时常起重要作用，因而它们在概率论与数理统计中有广泛运用。,测量误差统计分布的特征值,方差（二阶中心矩）,1.定义：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用s2 或 D(x)或 表示。2.计算方法：3.统计意义：方差描述了一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小、越整齐、越稳定。,测量误差统计分布的特征值,方差的平方根称为X的标准（偏）差，的大小

6、表征了随机误差的分散程度，即大部分分布在 范围内，可作为随机误差的评定尺度,定义,三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同,标准差代表了该测量条件下的测量结果分散性的大小，或是该测量分布的随机误差大小,标准偏差,测量误差统计分布的特征值,偏态系数（三阶中心矩）,定义,三阶中心矩，将 无量纲化，称为偏态系数，描述了测量总体及其误差分布的非对称程度,曲线具有正(右)偏态，曲线具有负(左)偏态,测量误差统计分布的特征值,峰态系数(四阶中心矩),定义,表征了测量总体及其误差分布的峰凸程度。是将 无量纲化，也称峰度，而 是按标准正态分布归零，即对于正态分布超越系数 视为零,较尖峭的分布有，较平坦的分布

7、有,测量误差统计分布的特征值,协方差,定义,式中,协方差 表示了两变量间的相关程度,测量误差统计分布的特征值,相关系数,定义,表示了两个变量间线性相关的程度,越小，X，Y之间线性相关程度越小，取值越大，X，Y之间线性相关程度越大,当，X与Y正相关，当，X与Y负相关,线性相关,正相关,负相关,线性不相关,测量误差统计分布的特征值,数学期望,名称,定义,方差,几何意义,误差意义,偏态系数,峰态系数,协方差,位置特征,实际值正确度,分散,分散性，精密度,不对称,误差分布不对称性,尖峭,误差分布尖峭程度,两误差关联程度,统计分布常用的特征值,第二节 常见误差分布,本节介绍几种常见的误差分布，包括正态分

8、布、均匀分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。,正态分布,服从正态分布的条件,误差因素多而小，无一个占优，彼此相互独立（中心极限定理）。,一般认为，当影响测量的因素在15个以上，且相互独立，其影响程度相当，可以认为测量值服从正态分布；若要求不高，影响因素则应在5个（至少3个）以上，也可视为正态分布。,概率密度函数,正态分布的密度函数,为测量总体的数学期望，如不计系统误差，则 即为随机误差,为测量总体的标准差，也是 随机误差的标准差,正态分布,正态分布,（1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大。（2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。（3）抵偿性：随测量次

9、数增加，算术平均值趋于零。,分布的误差特性,正态分布的这三个特点与误差大样本下的统计特性相符。但在理论上，正态分布无界，这也是正态分布与实际误差有界性不相符之处。,正态分布,正态分布的置信概率,误差在分布区间 的置信概率,式中,68.26%,95.45%,99.73%,置信概率,正态积分函数，已制成正态积分表,置信因子,正态分布,正态分布的某些k值的置信概率,3.3,3.0,2.58,2.0,1.96,1.645,1.0,0.6745,0.999,0.9973,0.99,0.954,0.95,0.90,0.683,0.5,0.001,0.0027,0.01,0.046,0.05,0.10,0.

10、317,0.5,正态分布,(1)经典误差理论都是建立在正态分布的基础上。凡是有3、5个以上的、差不多微小的、独立影响的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。,正态分布在误差理论和实践中的地位,(2)许多非正态分布可以用正态分布来表示。,(3)正态分布的概率密度函数具有简单的数学形式和优良的性质。,(4)也有不少的误差分布并不能简单地用正态分布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要进一步研究非正态分布的问题。,其他常见误差分布,一、均匀分布,若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。,概率密度函数,数学期望,方差,标准差,置信因

11、子,o,-a,a,其他常见误差分布,服从均匀分布的可能情形,(1)数据切尾引起的舍入误差;(2)数字显示末位的截断误差(3)瞄准误差;(4)数字仪器的量化误差;(5)齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差；(6)多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。,其他常见误差分布,概率密度函数,数学期望,标准差,当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差就是三角分布。,二、三角分布,置信因子,其他常见误差分布,概率密度函数,数学期望,标准差,a,-a,o,三、反正弦分布,置信因子,其他常见误差分布,服从反正弦分布的可能情形,度盘偏心引起的测角误差；,正弦（或余弦）振动引起的位移误差；,无线电中失

12、配引起的误差。,其他常见误差分布,四、瑞利分布,概率密度函数,数学期望,标准差,其他常见误差分布,置信因子 查附表A表获取,其他常见误差分布,服从瑞利分布的可能情形,偏心值,在非负值的单向误差中，由于偏心因素所引起的轴的径向跳动,刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差,齿轮和分度盘的最大齿距累积误差,其他常见误差分布,五、贝塔分布,概率密度函数,数学期望,标准差,其他常见误差分布,在给定分布界限下通过参数取不同值，贝塔分布可呈对称分布、非对称分布、单峰分布、递增或递减分布等，可逼近常见的正态、三角、均匀、反正弦、瑞利等各种典型分布。贝塔分布具有可逼近各种实际误差分布的多态性。,贝塔分布在理论上就是有界

13、的。不像正态、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合误差的基本特性即有界性。,贝塔分布的性质与密度函数图,其他常见误差分布,常见分布的数字特征量,名称,正态分布,区间半宽度,标准差,期望,等价,均匀分布,三角分布,反正弦分布,瑞利分布,常用的统计量分布,介绍常用的统计量分布，包括t分布 F分布，分布。,常用的统计量分布,1、分布,定义,若为独立服从同分布 的随机误差，则,称服从为自由度为的分布。,概率密度函数,数学期望,标准差,2、t分布,定义,若随机误差，随机误差，且和相互独立，则,服从的分布称为自由度为的t分布。,概率密度函数,数学期望,标准差,o,常用的统计量分布,当自由度足够大时，t分布趋近于正

14、态分布。,t分布在误差理论和实践中的应用,t分布在研究正态小子样（测量次数较少时），是一个严密而有效的理论分布。,正态样本的算术平均值构成的如下统计量,服从自由度为 的t分布。,其测量算术平均值满足,t分布的临界值，满足,常用的统计量分布,3、F 分布,定义,若，则,称服从自由度为 的F 分布。,概率密度函数,数学期望,标准差,常用的统计量分布,第三节 误差分布的分析与检验,物理来源判断法,44,根据测量误差产生的来源，可以判断其属于何种类型,如其测量受到至少有三个以上独立的、微小而大小相近的因素的影响，则可认为它服从或接近正态分布。,测量值在某范围内各处出现的机会相等，则可认为它服从均匀分布

15、。,误差分布的分析判断,45,函数关系法,利用随机变量的函数关系，来判断误差属于何种分布。,若与都在-a，a内服从均匀分布，则服从三角分布,若与都服从正态分布，则 服从偏心分布(瑞利分布),若服从均匀分布，则 服从反正弦分布,误差分布的分析判断,46,图形判断法,对重复测量获得的样本数据绘出频率密度直方图，并与各种常见的概率密度分布曲线相比较，判断它与何种分布相接近。,误差分布的分析判断,什么是统计检验？,1、概念,事先对分布形式作出某种假设,然后利用样本信息来判断原假设是否成立,2、类型,正态分布统计检验,一般分布检验,夏皮罗-威尔克检验,偏态系数检验,峰态系数检验,皮尔逊检验,误差分布的统

16、计检验,皮尔逊 检验(),1、提出原假设,总体 的分布函数 未知,某个已知的分布函数,2、计算统计量,总体中抽取出一个容量为 的样本,把整个数轴分成 个区间,频数，样本的观察值落在第 个区间的个数,由 计算出总体 在各区间内取值的概率,误差分布的统计检验,检验(续),3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值。,4、作出决策。,若，拒绝，则认为。反之，,误差分布的统计检验,皮尔逊检验(分布中含有参数),1、提出原假设,总体 的分布函数 未知,某个已知形式的分布函数，未知参数,2、计算统计量,总体中抽取出一个容量为 的样本,误差分布的统计检验,在 下利用样本给出 的极大似然估计,把整个数轴分成

17、 个区间,频数，样本的观察值落在第 个区间的个数,由 计算出总体 在各区间内取值的概率,3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值。,4、作出决策。,若，拒绝,皮尔逊检验(续),误差分布的统计检验,【例2-1】,用阿贝比较仪测量某轴承直径 100次，依次测得，的数据见下所列，的单位0.1。检验 是否服从正态分布。,0-5 11-10 17-3-13 6 4 7 1-5-6-3 13-1-1 5 9 7-3 9-8 3-2-24-30-2 1-2 4 2-5-13 1-7-1 0-4-7 0 7 17 5 10 0-2 6 3 8 6-3-3-10 0 5 2-8 0 4 2 2 6-11 5

18、 2 7-1 12 0-19 10-1 7 9 2-5 14-6-5 8 3 8-9 4-5-8 8-8 4-13-9-10-10 2 13 2-4 6-7,误差分布的统计检验,计算步骤,53,【解】,检验,由于 中含有未知参数，故需先进行参数估计。在正态分布下，和 的极大似然估计为,将 取值分成8组，然后计算概率,误差分布的统计检验,计算结果,频数,7,0.107,10.75,-3.75,1.31,15,0.160,16.01,-1.01,0.06,13,0.133,13.37,-0.37,0.08,9,0.098,9.87,-0.87,0.08,10,0.098,9.87,0.13,0,1

19、6,0.133,13.37,2.63,0.52,21,0.160,16.01,4.99,1.56,9,0.107,10.75,-1.75,0.28,100,3.82,误差分布的统计检验,结论,给定显著性水平，自由度8-2-1=5,由 分布表查得临界值,因为,所以，接受，故可认为这些测量服从正态分布,误差分布的统计检验,夏皮罗威尔克检验,夏皮罗-威尔克检验又称W检验,时检验效果最佳，并且计算简便。,只能用于正态性检验,误差分布的统计检验,W检验的实施步骤,从总体中抽取出一个容量为 的样本,(1)将样本的观测值按由小到大排列成为其次序统计量,(2)计算检验统计量,(3)查表。由夏皮罗-威尔克值表查

20、出，为给定的显著性水平；,(4)判断。若，则拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,【例2-2】,用夏皮罗-威尔克法检验该组数据是否来自正态分布。,将某量独立测得结果按从小到大排列成（n=10）,108，109，110，110，110，112，112，116，119，124,【解】,查夏皮罗-威尔克系数 表得出,误差分布的统计检验,计算结果,计算,给定显著性水平，查表得,因为，故拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,偏态系数检验,(1)给出备择假设（正偏）或（负偏）,(2)计算检验统计量,(3)查表。根据显著性水平 和样本容量，由偏态统计量的分位数表查出,(4)判断。当备择假设为 时，若，则拒绝正态

21、性假设；当备择假设为 时，若，则拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,【例2-3】,有下列一组测量数据，确定这批数据是否来自正态分布,-0.40-1.80-2.14 0.40-1.40 0.67-1.40-1.51 1.40-1.40-1.38-1.40 1.20-2.14-0.60-2.33 1.24-0.40-0.32-0.22-1.60-1.40-0.51-0.20-1.40-1.72-1.60-1.20-1.80 1.20-1.40-0.80-1.72-0.71-1.40-1.20-1.91-0.69-1.60-1.39-2.20-1.40-0.40 0.40-1.80-1.80-1.6

22、0 0-1.95 1.20,误差分布的统计检验,计算结果,计算统计量,由,得,因此,选择备择假设,给定显著性水平，当n=50时，查表得,因为，故拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,峰态系数检验,(1)给出备择假设（正偏）或（负偏）,(2)计算检验统计量,(3)查表。根据显著性水平 和样本容量，由峰态统计量的分位数表查出 或,(4)判断。当备择假设为 时，若，则拒绝正态性假设；当备择假设为 时，若，则拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,【例2-4】,利用某测量仪器进行40次测量，测得与理论值的如下一系列偏差数据,确定这批数据是否来自正态分布,0.038 0.240 0.124 0.054-0.061-0.004-0.004-0.006 0.007 0.001 0.061 0.043 0.035 0.163-0.008-0.010 0.006-0.008-0.024 0.007 0.028 0.108 0.155-0.159-0.032 0.003-0.007-0.018-0.008-0.011 0.060 0.067-0.025-0.096-0.223 0.004-0.007-0.007-0.010 0.014,误差分布的统计检验,计算结果,计算统计量,由,得,因此,选择备择假设,给定显著性水平，当n=40时，查表得,因为，故拒绝正态性假设,误差分布的统计检验,