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1、第三章 年金精算现值,第一节 生存年金的概念和种类,一、生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型,二、生存年金的分类：,1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金,2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金,3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金,4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金,5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金,生存年金与确定性年金的关系,确定性年金支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）生存年金与确定性年金的联系都是间隔一段时间支付一次的系列付款生存年金与确定性年金的区别确定性年金的支付期数确定
2、生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）,生存年金的用途,被保险人保费交付常使用生存年金的方式某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险伤残保险抚恤保险失业保险,三、生存年金精算现值的概念,1、生存年金趸缴纯保费的计算方法：现实支付法和总额支付法,现实支付法将任意时刻t时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的现值相加或积分。,总额支付法先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值，再求现值的期望值。,现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为在生存年金
3、研究中习惯用 表示该保险的精算现值,例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁，可获得10000元。已知i6，计算（1）趸缴纯保费。（2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值（利用附录中的生命表）,解：,连续生存年金的定义在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险连续生存年金的种类终身连续生存年金/定期连续生存年金连续生存年金精算现值的估计方法现实支付法总额支付法,第二节 连续给付型年金,一、连续给付型终身生存年金,假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为,终身生存年金的未来给付现值
4、的随机变量为,步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和,步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值,例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求,解:,解:,二、n年定期生存年金,解:,三、延期生存年金,（x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为,（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为,四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系,证明:,同理可得：,Y的方差,1、终身生存年
5、金,2、n年定期生存年金,3、延期n年的终身生存年金,解:,例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元的生存年金，利率为6，试利用用生命表在UDD假设下的下列生存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3）延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金,解:,五、年金的精算累积值,以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值,第三节 离散型年金,离散生存年金定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 离散生存年金与连续生存年金的关系计算精算现值时理论基础完全相同连续积分离散求和连续场合不存在初付延付问
6、题，离散场合初付、延付要分别考虑离散生存年金的分类期初年金/期末年金终身年金/定期年金延期年金/非延期年金,一、期初付年金及其精算现值,终身生存年金每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。,例已知假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：,解:,定期生存年金每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金。,例：某人在55岁时购买了定期5年的生存年金，这一年金可以保证在他60岁退休时，每年得到10000元的给付，假设年金在每年初给付，i=0.06,以中国人寿保险业经验生命表（19901993）（男女混合）资料计算这一年金在购买时的现值。,解:,延期终身生存年金每个保单年度初给付1元的延期n年的
7、终身生存年金。,延期终身生存年金每个保单年度初给付1元的延期m年的n年定期生存年金。,例：某人为其14岁的子女投保了一定期生命年金，这一保险可以使该儿童在18岁到21岁间，每年初获得4000元作为大学学费（年利率i=0.06),以附表计算该年金的现值。,解:这是延期4年又定期3年的生命年金,二、期初付年金精算现值与趸缴纯保费间的关系,假设K为x岁的人的未来的取整余命的随机变量，Y为年金给付的现值的随机变量。,n年定期生存年金,延期生存年金,三、期末付年金的精算现值,期末付终身生存年金每个保单年度末给付1元的终身生存生存年金。,例2：李丽在55岁时投保了终身生存年金。从56岁开始每年末能得到50
8、00元的生存保险金。假设她在55岁的存活率比标准生命表给出的存活率高出0。005,其余年龄的存活率与生命表存活率一致，当i=0.06时，试给出这一年金现值的简化形式。,解:,年金现值为：,依此类推：,期末付n年定期生存年金每个保单年度末给付1元的n年定期生存年金。,期末付延期n年的终身生存年金每个保单年度末给付1元的延期n年的终身生存年金。,例：某人在55岁时购买了延期10年的生存年金，这一年金可以保证在他65岁退休时，每年得到10000元的给付，假设年金在每年末给付，在死亡力为常数0.01，利息力为常数0.02的假定下，计算这一年金在购买时的现值。,解:,期末付延期m年的n年定期生存年金每个
9、保单年度末给付1元的延期m年的n年定期生存年金。,四、年金的精算累积值,每个保单年度初给付1元的n年定期生存年金：,第四节 每年给付数次的年金,1、期初付终身生存年金每年支付m次，每次支付为期初支付，支付额为1m。,注:当实际利率很小时，可得到一近似公式。,例：某人在30岁时购买了每月给付300元的生存年金,第一给付于契约成立一个月后。i=0.06,在死亡力为常数0.12，利息力为常数0.24的假定下，计算这一年金在购买时的现值。,解:,2、期初付定期生存年金每年支付m次的n年定期生存年金，每次支付为期初支付，支付额为1m。,注:当实际利率很小时，可得到一近似公式。,例：某人在30岁时购买了一
10、份每月初给付、年给付额为120元的10年定期生存年金，已知年利率为0.06,以中国人寿保险业经验生命表（19901993）（男女混合）资料计算这一年金在购买时的现值。,解:,现值:,3、期初付延期生存年金每年支付m次的延期n年的终身生存年金，每次支付为期初支付，支付额为1m。,注:当实际利率很小时，可得到一近似公式。,例：现年35岁的的人欲购买如下生存年金,已知下列年金均于每月初给付,每次给付1000元,设年利率为6%。求延期15年终身年金的精算现值。,解:,五、利用换算函数计算年金精算现值,一、每年给付一次的生存年金,1、终身生存年金,2、延期的终身生存年金,例1：假如某人60岁时得到其他人
11、送的一笔保险金额为20000元的保单，准备以终身年金的方式每年末从保险公司领取保险金直至死亡。问每年可领取到多少保险金（i=0.06),解:设X为每年从保险公司领到的保险金,3、n年定期生存年金,例2：某人现年25岁，欲购买一份10年期每年年初给付10000元的生存年金，求该年金的精算现值（i=0.06),一、每年给付m次的生存年金,1、期初付终身生存年金,例3：现年30岁的人每月初可领取生存年金240元，求下列年金的精算现值（在UDD假设下，i=0.06）(1)终身生存年金（2）延期10年的终身生存年金（3）10年定期生存年金,解:,例4：现年30岁的人每月末可领取生存年金10元，求5年定期生存年金的精算现值（在UDD假设下，i=0.06）,解:,例4：求每次支付1200元给现年30岁的人的按季支付的终身寿险的精算现值（在UDD假设下，i=0.06）,解:,六、期初（期末付）可变额生存年金,1、每年给付1元的期初（期末）付终身生命年金的现值,2、每年给付1元的期初（期末）付n年定期生命年金的现值,
