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1、寿 险 精 算,1,第四章 人寿保险的精算现值,人寿保险精算现值概述一、什么是人寿保险？狭义是以被保险人在保障期内是否死亡作为保险事故的一种保险广义是以被保险人的生命作为保险事故的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为保险事故的生存保险和两全保险本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值,寿 险 精 算,2,二、人寿保险的分类,1.受益金额是否恒定定额受益保险和变额受益保险2.保障期是否有限定期寿险和终身寿险3.保单签约日与保障期起始日是否同时进行非延期寿险和延期寿险4.保险事故不同死亡保险、生存保险和两全保险,寿 险 精 算,3,三、人寿保险的性
2、质,保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素保险赔付时间与赔付金额的不确定性人寿保险的赔付金额与赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡是一个随机变量，这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计原理计算出平均赔付并可预测将来的风险,寿 险 精 算,4,四、人寿保险精算现值的概念,也称为趸缴纯保费，是指在保单生效日被保险人或投保人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。就是投保人或被保险人在保单签发之日一次性交付的纯保险费。精算现值毛保费附加保费,寿 险 精 算,5,
3、五、厘定原理保费净均衡原则,保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金，即保费收入的期望现值正好等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实质是在统计意义下的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现值等于支出期望现值对于保险公司来说，各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应遵循这条基本原则。,寿 险 精 算,6,保费净均衡原理的思想很好理解，但在保险经营过程中要落实这条原理，保险公司必须要解决以下几个问题：1.什么时候会发生索赔事件？2.发生索赔的概率有多大？3.发生的索赔额等于多少？4.钱的时间价值如何测量？,寿 险 精 算,7,为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给出了以下
4、三条假设：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合假定三：保险人可以预测将来的投资收益这三条假定将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故,寿 险 精 算,8,六、基本符号约定,在以上三个假定条件满足的情况下，趸缴净保费是这样厘定的：假定风险事故会在t时刻发生（t为余命），则 给付额 折现因子或贴现因子 给付额在保单签发之日的现值那么给付额的现值函数为：t取不同的值，现值函数有不同的表达式,寿 险 精 算,9,余命有两种形式，所以已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概率，就可以得出期望给付额,寿 险 精 算
5、,10,这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费也就是精算现值，即 精算现值净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给付金额。它的实质是把相同风险的人视作一个总体，这个总体在统计意义上的收支平衡,寿 险 精 算,11,4.1 死亡即付的人寿保险,死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。连续型寿险,寿 险 精
6、 算,12,主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定1.n年定期保险2.终身保险3.生存保险4.n年期两全保险5.延期寿险 延期m年的终身保险 延期m年的n年定期保险 延期m年的n年期两全保险,寿 险 精 算,13,一、n年定期保险的精算现值1.定义什么是定期保险2.基础模型假定条件1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期限n年，则2）按年度实际贴现率复利计息，则3.赔付现值变量,寿 险 精 算,14,4.趸缴纯保费的厘定记 为n年定期保险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 所以,寿 险 精 算,15,5.赔付现值变量的方差记，则,寿
7、 险 精 算,16,例,设计算,寿 险 精 算,17,寿 险 精 算,18,二、终身寿险的精算现值1.定义什么是终身寿险2.基础模型假定条件1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则2）按年度实际贴现率复利计息，则3.赔付现值变量,寿 险 精 算,19,4.趸缴纯保费的厘定记 为终身寿险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 所以,寿 险 精 算,20,5.赔付现值变量的方差记，则,寿 险 精 算,21,例,设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算,寿 险 精 算,22,寿 险 精 算,
8、23,寿 险 精 算,24,例,假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保险人都投了保险金额10元的终身保险，随机变量T的概率密度是 保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项基金中按利息强度为 计息支付。试计算这项基金在最初（即t=0)时的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95%?,寿 险 精 算,25,三、延期终身寿险,定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系,寿 险 精 算,26,延期寿险趸缴纯保费的厘定,符号：厘定：,寿 险 精 算,27,现值随机变
9、量的方差,方差公式记所以方差等价于,寿 险 精 算,28,延期m年的n年定期寿险：,寿 险 精 算,29,例,假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：,寿 险 精 算,30,寿 险 精 算,31,四、n年期纯生存保险的精算现值1.定义什么是纯生存保险2.基础模型假定条件1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期限n年，则2）按年度实际贴现率复利计息，则3.赔付现值变量,寿 险 精 算,32,4.趸缴纯保费的厘定记 为n年期生存保险的趸缴纯保费 在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率 则,寿 险 精 算,33,5.赔付现值
10、变量的方差记，则,寿 险 精 算,34,五、两全保险的精算现值1.定义什么是两全保险2.基础模型假定条件1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期限n年，则2）按年度实际贴现率复利计息，则3.赔付现值变量,寿 险 精 算,35,4.趸缴纯保费的厘定记 为即刻赔付n年两全保险的趸缴纯保费 n年两全保险是n年定期死亡保险与n年纯生存保险的组合产品 即：,寿 险 精 算,36,5.赔付现值变量的方差则：,寿 险 精 算,37,例,设计算,寿 险 精 算,38,寿 险 精 算,39,寿 险 精 算,40,4.2 死亡年末给付的人寿保险,死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保
11、险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。离散型寿险,寿 险 精 算,41,主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定1.n年定期保险2.终身保险3.n年期两全保险4.延期寿险 延期m年的终身保险 延期m年的n年定期保险 延期m年的n年期两全保险,寿 险 精 算,42,一、n年定期寿险的精算现值1.定义2.基础模型假定条件
12、1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期限n年，k为被保险人的整值剩余寿命，则2）按年度实际贴现率复利计息，则3.赔付现值变量,寿 险 精 算,43,4.趸缴纯保费的厘定记 为离散型n年定期保险的趸缴纯保费 所以,寿 险 精 算,44,上式两边同乘得：特别地：当n1时，称为自然保费，记为,寿 险 精 算,45,5.赔付现值变量的方差其中：例P57：4.2.1,寿 险 精 算,46,55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险业经验生命表（20002003年）非养老金业务男表和利率6%计算趸缴纯保费。,寿 险 精 算,47,二、终身寿险的精算现值
13、1.趸缴纯保费的厘定记 为离散型终身寿险的趸缴纯保费，则,寿 险 精 算,48,2.赔付现值变量的方差其中：,寿 险 精 算,49,三、两全保险的精算现值1.趸缴纯保费的厘定记 为离散型两全保险的趸缴纯保费，则,寿 险 精 算,50,2.赔付现值变量的方差,寿 险 精 算,51,例,设（35）投保五年期两全保险，保险金额10000元，保险金在死亡的保单年度末给付。按中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表，年利率i=6%，计算其趸缴纯保费。,寿 险 精 算,52,课堂练习P67：3,寿 险 精 算,53,四、延期保险的精算现值（一）延期m年的n年定期寿险1.趸缴纯保费的厘定记 为延期m年的n年
14、定期寿险趸缴纯保费，则,寿 险 精 算,54,其他表示方法：,寿 险 精 算,55,（二）延期m年的终身寿险1.趸缴纯保费的厘定记 为延期m年的终身寿险的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,56,对（x）的1单位元延期m年的n年期定期寿险是从x+m岁到x+m+n岁的定期寿险，其现值随机变量为：,（二）延期m年的终身寿险,寿 险 精 算,57,其他表示方法：,课堂练习P67：3,寿 险 精 算,58,（三）延期m年的n年期两全保险1.趸缴纯保费的厘定记 为延期m年的n年期两全保险的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,59,其他表示方法：,寿 险 精 算,60,死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳,寿 险
15、精 算,61,课堂练习,设死亡给付发生在保单年度末，计算保险金额为5000元的下列保单，在30岁时签发的趸缴纯保费：1）终身寿险2）30年定期寿险3）35年两全保险4）延期10年的终身寿险5）延期5年的20年定期寿险6）延期10年的15年两全保险,寿 险 精 算,62,课堂练习,P68：5,寿 险 精 算,63,4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保险的精算现值的关系,讨论前提：假设死亡服从均匀分布（UDD）以终身寿险为例来推导：,寿 险 精 算,64,三种假定,均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值),寿 险 精 算,65,三种假定下的生命表函数
16、,寿 险 精 算,66,寿 险 精 算,67,tk+s，则上式等于：,寿 险 精 算,68,同理可推导出：延期保险也适用此关系,寿 险 精 算,69,例,设（35）投保25年期两全保险，保险金额为200000元，在死亡或期满时立即给付。用中国人寿养老金业务男表及年利率i=6%,在死亡服从均匀分布（UDD)的假设下，计算其趸缴纯保费.（设）,寿 险 精 算,70,寿 险 精 算,71,4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险,一、递增型寿险是变额受益保险的一种特殊情况，受益金额为剩余寿命的递增函数以递增终身寿险为例：假设x岁签单,寿 险 精 算,72,（一）递增终身寿险,死亡时立即给付1.一年递增
17、一次1）基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数:,寿 险 精 算,73,2)趸缴纯保费的厘定记 为一年递增一次终身寿险死亡即刻赔付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,74,（一）递增终身寿险,死亡时立即给付2.一年递增m次，每次增加1/m1）基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数:,寿 险 精 算,75,2)趸缴纯保费的厘定记 为一年递增m次终身寿险死亡即刻赔付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,76,（一）递增终身寿险,死亡时立即给付3.年内连续递增1）基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数:,寿 险 精 算,77,2)趸缴纯保费的厘定记 为年内连续递增终身寿险死亡即刻赔付
18、的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,78,（一）递增终身寿险,死亡年度末给付（一年递增一次）1.基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数：,寿 险 精 算,79,2)趸缴纯保费的厘定记 为一年递增一次终身寿险死亡年末赔付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,80,例,设年龄为30岁的人，投保终身寿险，保险利益如下：被保险人在第一个保单年度内死亡，在该保单年度末给付保险金3000元，在第二个保单年度内死亡，在该保单年度末给付保险金3100元；在第三个保单年度内死亡，在该保单年度末给付保险金3200元，以此类推，试求该保单的趸缴纯保费。课堂练习：P68：12,寿 险 精 算,81,（二）递增定期
19、寿险（一年递增一次）死亡时立即给付记 为一年递增一次的n年定期寿险死亡时立即给付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,82,（二）递增定期寿险（一年递增一次）死亡年末给付记 为一年递增一次的n年定期寿险死亡年末给付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,83,二、递减型寿险是变额受益保险的一种特殊情况，受益金额为剩余寿命的递减函数以n年定期递减寿险为例：假设x岁签单，保险期限n年，一年递减一次,寿 险 精 算,84,死亡时立即给付1.基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数:,寿 险 精 算,85,2)趸缴纯保费的厘定记 为一年递减一次的n年定期寿险死亡即刻赔付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算
20、,86,死亡年度末给付1.基础模型假定给付金额：贴现函数：给付现值函数：,寿 险 精 算,87,2)趸缴纯保费的厘定记 为一年递减一次的定期寿险死亡年末赔付的趸缴纯保费，则：,寿 险 精 算,88,练习：设年龄35岁的人，投保25年的定期寿险，保险利益为：若被保险人在第一个保单年度内死亡，在该年年末给付保险金50000元，在第2个保单年度内死亡，给付保险金49900元，在第3个保单年度内死亡，给付保险金49800元，依此类推，试求该保单的趸缴纯保费。,寿 险 精 算,89,三、两类精算现值的换算,在死亡服从均匀分布假设条件下,寿 险 精 算,90,憨宝1895：【天大宝鉴】。早晨想去拍刚刚睡醒的海棠，没有几张成功的。但却发现很多同学趁着东风在认真读书，拍了几张。向这些用功读书的同学表示敬意!,
