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1、第十二章 全等三角形 总复习,全等形,全等三角形,性质,应用,全等三角形对应边（高线、中线）相等,全等三角形对应角（对应角的平分线）相等,全等三角形的面积相等,SSS,SAS,ASA,AAS,HL,解决问题,角的平分线的性质,角平分线上的一点到角的两边距离相等,到角的两边的距离相等的点在角平分线上,判定,判定三角形全等必须有一组对应边相等.,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,全等三角形的判定方法,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF
2、（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中, ABCDEF（ASA）,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法3,三角形全等判定方法4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。,在ABC和DEF中, ABCDEF（AAS）,三角形全等判定方法5,有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）。,在RtABC和RtDEF中, ABCDEF（HL）,
3、A,B,C,D,E,F,1.全等三角形的性质:,对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。,2.全等三角形的判定:,知识点,一般三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS,直角三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS、HL,知识点,3.三角形全等的证题思路：,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）,二.角的平分线：1.角平
4、分线的性质：,2.角平分线的判定：,2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB于D，PEBC于E,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGF
5、M（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.,FGFH（等量代换）,点F在DAE的平分线上,二、全等三角形识别思路复习,如图，已知ABC和DCB中，AB=DC，请补充一个条件-，使ABC DCB。,思路1：,找夹角,找第三边,找直角,已知两边：, ABC=DCB （SAS）,AC=DB （SSS）, A=D=90（HL）,如图，已知C= D，要识别ABC ABD，需要添加的一个条件是-。,思路2：,找任一角,已知一边一角（边与角相对）,（AAS）,CAB=DAB或者 CBA=DBA,A,C,
6、B,D,如图，已知1= 2，要识别ABC CDA，需要添加的一个条件是-,思路3：,已知一边一角（边与角相邻）：,A,B,C,D,2,1,找夹这个角的另一边,找夹这条边的另一角,找边的对角,AD=CB,ACD=CAB,D=B,（SAS）,（ASA）,（AAS）,如图，已知B= E，要识别ABC AED，需要添加的一个条件是-,思路4：,已知两角：,找夹边,找一角的对边,AB=AE,AC=AD,或 DE=BC,(ASA),(AAS),例题选析,例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DA
7、B=AC,B,例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对,D,例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=AB,C,例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。,BE=EH,例7、如图，ABC中，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果BF
8、AC，那么ABC的度数是 （ ）A、400B、450C、500D、600,B,F,D,E,B,C,A,例8. 如图，在ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若BOC=1200，那么A的度数是 .,600,例9、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,10.如图，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。,1.已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DEDF,证明：ABDACD（ ） EBD
9、FCD（ ）又DEAE，DFAF（已知） EF900（ ）在DEB和DFC中 DEBDFC（ ） DEDF（ ）,全等三角形的对应边相等,AAS,垂直的定义,等角的补角相等,已知,2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。,证明：,3. 如图CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且12，求证OBOC。,证明：12CDAB，BEACODOE(角平分线的性质定理)在OBD与OCE中,OBDOCE(ASA) OBOC,28,4. 如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，证明DM=DN，,5.已知，ABC和ECD都是
10、等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,6. 如图A、B、C在一直线上，ABD，BCE都是等边三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BFBG。,证明：ABD，BCE是等边三角形。DBAEBC60 A、B、C共线DBE60ABEDBC在ABE与DBC中,ABEDBC(SAS)21,在BEF与BCG中,BEFBCG(ASA)BFBG(全等三角形对应边相等),7：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,32,8.已知：ABC和BDE是等边三角形, 点D在AE的延长线上。 求证：BD + DC = AD,分析：AD = AE + E
11、D 只需证：BD + DC = AE + ED BD = ED 只需证DC = AE即可。,9.如图AB/CD,B=90,E是BC的中点,DE平分ADC,求证:AE平分DAB,C,D,B,A,E,F,证明:作EFAD,垂足为FDE平分ADCAB/CD,C=B又B=90C=90,又EFADEF=CE又E是BC的中点EB=ECEF=EBB=90EBABAE平分DAB,BCDC,34,10. 如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，试说明：BFCE,E,证明：,12.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与
12、一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,13.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF,14.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,15.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证： ADG 为等腰直角三角形。,16.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=
13、900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,14、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，试说明ABAC与2AD之间的大小关系。,解：延长AD至E，使DEAD,在ABD与ECD中,BDDC（中线的定义）ADBEDC（对顶角相等）ADDE,ABDECD（SAS）,根据全等三角形对应边相等ABEC,在AEC中:ACECAE,又AE2AD,ABAC2AD,小结：对于三角形的中线，我们可以通过延长中线的1倍，来构造全等三角形。,联想：对于三角形的角平分线，有时我们也可进行翻折构造全等三角形。,15、已知在ABC中，AD是角平分线
14、，且ACABBD,试说明：B2C,解：在AC上截取AEAB，连结DE,在AED与ABD中,AEABEADBAD（角平分线的定义）ADAD（公共边）,AEDABD(SAS),根据全等三角形对应边、对应角相等EDBD，AEDB,又AC=AB+BD,CE=DE,根据等腰三角形的两个底角相等CEDC,又AEDCEDC,AED2C,B2C,E,C,A,B,D,四、小结：,找夹角（SAS）,找第三边（SSS）,找直角（HL）,已知两边,找任一角（AAS）,已知一边一角,（边与角相邻）,找夹这个角的另一边（SAS）,找夹这条边的另一角（ASA）,找边的对角（AAS）,已知两角,找夹边（ASA）,找一角的对边（AAS）,1、全等三角形识别思路：,3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。,（边与角相对）,2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。,注意：、“分别对应相等”是关键；、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。,
