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1、确定粒子的哈密顿量；,在全空间写出粒子的能量本征方程；,利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。,步骤：,处理的问题：,势阱中的粒子粒子被束缚在某势场中；,势垒对粒子的散射自由粒子入射到某势场中。,一 一维无限深势阱中的粒子,金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在一个有限的空间范围内运动。,称为一维无限深方势阱。,如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子。势能函数为：,在势阱内，定态薛定谔方程,得,解为：,待定常数C 和解由波函数的自然条件确定。,令,波函数在阱壁上的连续条件、本征能量,该方程的解只能是：,在势阱外，定态薛定谔
2、方程,由式（3）可得,由式（4）可得,思考：为什么n不取零和负整数？,1) 粒子的能量：,其中,能量取分立值（能级），能量是量子化的。,能量间隔为：,能级增大，能级间隔递增,阱变宽，能级间隔下降,大质量粒子的能级间隔小,L 很大或 m 很大，能级几乎连续,最低能量(零点能), 波动性,2) 势阱中粒子的动量和波长,阱宽为半波长的整数倍,定态波函数为,归一化常数C 和定态波函数,3) 定态波函数和粒子在阱内的几率分布,粒子在阱内的波函数为,每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波（两个单色波的叠加）。,波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加形成驻波。,粒子在
3、势阱中的几率分布：,例 已知质量为 m 的一维粒子的波函数为：,（1）求基态和第4激发态的能量；,（2）求粒子的几率密度分布函数；（3）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。,解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波函数代入薛定谔方程,中，可得粒子的能级,（1）当n=1时，对应基态的能量为,当n=5时为第4激发态，对应的能量为,（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为,（3）最可几位置对应几率密度的极值位置，几率密度的一阶导数应为零。因为基态几率密度为,令,得,由此可解出最可几位置为,在这三个位置中，可以验证只有x=L/2时几率密度最大。,第二激发态的几率密度为,由,可解出最可几位置为
4、,同样可以验证只有 三个位置粒子的几率密度最大。,二 隧道效应（势垒贯穿）,自由粒子遇到的势是有限高和有限宽的势垒：,透射波,利用薛定谔方程可以求得波函数：,入射波+反射波,指数衰减波,其中,待定常数 B、C、D、F由下列边界条件确定：,反射系数,透射系数,表明：粒子入射到势垒上时，有被反射的几率，亦有穿过势垒透射几率隧道效应（势垒贯穿）,可以证明：,可见：m、a、( U0 E ) 越小，则穿透率 T 越大。,当 ka 1 时 m(U0-E)很小,*例：向墙壁上扔一经典球，球被墙壁反弹回来（当m很大时，T 可能很小）；,*例: 电子 a=210-10 m, (U0-E) = 1 eV,但按量子力学小球有可能进入墙壁中,51%,隧道效应只在一定的条件下才明显，例V0-E=1MeV时，粒子穿过势垒的的穿透率与势垒宽度的关系为,a-10-14米，T=10-2,a-10-14米，T=10-19,
