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1、第1章 代数实用知识,财经应用数学,1.2 代数式的运算,学习目标,内容提要,代数式的运算,整 式,因式分解,分 式,二次根式,1.2.1 整式,1整式的概念,由数与字母的乘积组成的代数式，叫做单项式,单独一个数或一个字母也是单项式,1整式的概念,单项式中的数字因数叫做它的系数。,单项式中的所有字母的指数的和叫做它的次数,的系数是1，次数是2；,的系数是1，次数是3；,4的系数是4，次数是0,1.2.1 整式,1整式的概念,几个单项式的和叫做多项式。,每个单项式叫做多项式的项其中不含字母的项叫做常数项次数最高项的次数，就是这个多项式的次数,如：,是四次三项式,是一次二项式； 是二次三项式,1.
2、2.1 整式,1整式的概念,单项式和多项式统叫做整式,在一个多项式里所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。,如：,是同类项,不是同类项,把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 。,1.2.1 整式,举例,例 先标出多项式 中的同类项，再合并同类项。,解：,是同类项，,是同类项，,是同类项。,合并同类项的法则是：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变,1.2.1 整式,2乘法公式,平方差公式：,完全平方公式：,立方和公式：,立方差公式：,1.2.1 整式,3整式的运算,（1）加减运算,整式的加减运算就是合并同类项，若有括号，应先去括号；再合并
3、同类项。,例2 化简,解：,1.2.1 整式,3整式的运算,（2）乘法与乘方,单项式乘以单项式：把系数相乘作为积的系数，并把同底数的幂相乘。,1.2.1 整式,例3 计算：,（2）,（1）,（1）,解：,（2）,1.2.1 整式,举例,例4 计算,解：,1.2.1 整式,举例,（2）乘法与乘方,单项式乘以多项式把单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加即：,m(abc)mambmc,1.2.1 整式,3整式的运算,例5 计算：,解：,1.2.1 整式,举例,3整式的运算,（3）整式的除法：,单项式除以单项式：将它们的系数及同底数 幂分别相除 。,1.2.1 整式,例6计算：,（1）,（2）
4、,解：,（1）,（2）,1.2.1 整式,举例,（3）整式的除法：,多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。,1.2.1 整式,3整式的运算,例7 计算,解：,1.2.1 整式,举例,计算：,（1）（4m24mn3n2）（2m24mnn2）；,（2）,1.2.1 整式,计算：,（3）,（4）,1.2.1 整式,1.2.2 因式分解,1.基本概念,把一个多项式分成几个整式的乘积形式，叫做因式分解 。,如：,2.因式分解的方法,（1）提公因式法,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 。,1.2
5、.2 因式分解,例1 把下列各式分解因式：,（1）,（2）,解：,（1）,（2）,1.2.2 因式分解,举例,把下列各式分解因式：,（1）,（2）,1.2.2 因式分解,2x(a2)3y(2a),14abx8abx4ax,（2）十字相乘法,且它们交叉乘积的和等于一次项 的系数（即,则,对于二次三项式,1.2.2 因式分解,例2 把下列各式分解因式：,（1）,（2）,解：,（1）,（2）,1.2.2 因式分解,举例,把下列各式分解因式：,（1）,（2）,1.2.2 因式分解,（3）运用公式法,利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法 。,1.2.2 因式分解,（3）运用公式
6、法,平方差公式：,完全平方公式：,立方和公式：,立方差公式：,1.2.2 因式分解,例3 把下列各式分解因式：,（1）,（2）,（3）,解：,（1）,（2）,（3）,1.2.2 因式分解,举例,把下列各式分解因式：,（1）,（2）,1.2.2 因式分解,p327,x24xy4y21,课堂小结,谢谢观赏！,1.2.3 分式,1.分式的概念,形如 的式子叫做分式。,其中 、 是整式且 中含有字母，,例如：,等都是分式。,1.分式的概念,注意：分式与整式的区别在于分式的分母中含有字母，整式中有时有分母但不含字母。分式运算的最后结果应为最简分式或整式。,例如：,都不是分式而是整式,整式和分式统称有理式
7、,1.2.3 分式,拓展延伸,在分式中，分母的值不能为0，分母的值为0时，分式没有意义,如：在分式 中， ；,在分式 中， 。,分式的概念,1.2.3 分式,例* 当x取什么值时，下列分式有意义？,解：,（1）由分母,，得,（2）由分母,，得,1.2.3 分式,举例,1.2.2 因式分解,当x取什么值时，下列分式有意义？,(1),(4),(3),(2),2.分式的运算,(1)分式的基本性质,分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变这个性质叫做分式的基本性质。,（其中M是不等于零的整式）,1.2.3 分式,例1 约分：,解：,分式 的分子、分母中都有相同的因式,这个相同
8、的因式我们称它为公因式。,所以,1.2.3 分式,举例,2.分式的运算,(2)分式的加减法,同分母的分式加减法的运算公式：,异分母的分式加减法的运算公式：,1.2.3 分式,例2 计算,解：,1.2.3 分式,举例,例3 计算,解：,先找出两个分式的最简公分母。,最简公分母是(n+4)(n4),1.2.3 分式,举例,例4 计算,解：,最简公分母是 a2,1.2.3 分式,举例,(3)分式的乘法,分式乘以分式的运算方法：用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。,用式子表示：,1.2.3 分式,2.分式的运算,(3)分式的除法,分式除以分式的运算方法：把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘
9、。,用式子表示：,1.2.3 分式,2.分式的运算,例5 计算,（1）,（2）,（1）,注意：分式运算的最后结果应为最简分式或整式,解：,（2）,1.2.3 分式,举例,计算:,1.2.3 分式,1.2.3 分式,1.二次根式的概念,形如 的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数,如：,等都是二次根式,1.2.4 二次根式,例1 当x是什么实数时，式子 在实数范围内有意义？,解：,由 知，得 ，,所以当 ，式子 在实数范围内有意义。,1.2.4 二次根式,举例,当x是什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？,(2),(1),(3),(4),1.2.4 二次根式,.二次根式的性质,(1),(2),
10、例如：,1.2.4 二次根式,3.二次根式的乘除法,乘法：,除法：,分母有理化：分子、分母同乘以分母的有理化 因式，化去分母中的根号.,1.2.4 二次根式,例2 化简,解：,1.2.4 二次根式,举例,例3计算:,解:,1.2.4 二次根式,举例,(1),(2),(3),计算,1.2.4 二次根式,例4 把下列各式的分母有理化,解：,1.2.4 二次根式,举例,把下列各式的分母有理化,(1),(2),1.2.4 二次根式,4.最简二次根式,满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式,开方数的因数是整数，因式是整式；,被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。,1.2.4 二次根式,例5把下列各
11、式化成最简二次根式：,解：,1.2.4 二次根式,举例,把下列各式化成最简二次根式：,(1),(2),(3),1.2.4 二次根式,5.二次根式的加减,几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式,如： ；,因此， 是同类二次根式。,1.2.4 二次根式,例6 计算,解：,1.2.4 二次根式,举例,先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。,1.2.4 二次根式,小结,6.二次根式的混合运算,两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代数式叫做互为有理化因式。,如:,互为有理化因式。,1.2.4 二次根式,例7 计算：,解：,1.2.4 二次根式,举例,计算,(1),(2),(3),1.2.4 二次根式,作业,习题1.2,
