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1、2.1 平面汇交力系的合成和平衡,汇交力系各力作用线汇交于同一点的力系；平面汇交力系若汇交力系中各力作用线在同一平面内。,2.1.1 平面汇交力系的合成,1. 力多边形,矢量关系的数学表达式为,力的可传递性和力的三角形法则,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,2、力在平面直角坐标轴上的投影,PS：投影是代数量，有正负之分。,根据力的投影求出该力的大小和方向,力F 在直角坐标轴x、y上的投影，记作Fx 、 Fy,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,PS：力的投影和分力的区别：力的投影是代数量，它只有大小和正负；而力的分量是矢量，不仅有大小和方向，还有作用点，二者不可混淆。只有当x、y轴相垂直的时候，
2、分力的大小是投影的绝对值。,x,y,30,60,45,F1=100N,F2=200N,F3=300N,F4=400N,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,【例2-1】如图所示，分别求各力在x轴和y轴上的投影。,A1,A2,A3,A4,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,3.合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。,FR,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,4.平面汇交力系的合成当平面汇交力系为已知时，可先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力在x、y轴上的投影，即可求得合力。,式中 合力FR与x轴正向夹角，单位为； 合力FR与y
3、轴正向夹角，单位为。,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,【例2-2】如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知F1=10kN， F2=20kN， F3=25kN，三力均通过圆心O，试求此力系的合力的大小和方向。,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,2.1.2 平面汇交力系的平衡条件,充要条件：其合力等于零， FR =0,平面汇交力系的平衡方程,建立方程时，要求x、y轴不平行，即这两个平衡方程相互独立，可求解两个未知量。利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的力的方向就是实际指向；反之，表示假设的力的方向与实际方向相反。,2.1 平面汇交力
4、系的合成和平衡,【例2-3】一物体重为30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于图示平衡位置，设柔索重量不计， AB和铅垂线的夹角=30，BC水平。求柔索AB和BC的拉力。,2.1 平面汇交力系的合成和平衡,【例2-4】图示重物G=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。若两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,G,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.1 力矩,力矩的概念将Fd作为力F对物体绕O转动效应的度量，并称为力F对矩心O的矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即力矩的定义为,
5、式中：F是力的数值大小，d 是力臂，逆时针转取正号。常用单位是 kNm、Nm。力矩用带箭头的弧线段表示。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.1 力矩,2. 力矩的性质1）力的作用点沿作用线移动，不改变力对点的矩。2）当力通过矩心时，此力对矩心的力矩等于零。3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.2 力偶,力偶的概念两手操纵方向盘和用丝锥攻螺丝时，都有这样一对大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力使物体转动，这一作用效应是和这两力的大小及两力间的垂直距离d（称力偶臂）成正比。通常称这对特殊的力为力偶，用力与力臂的乘积Fd来度量其转动效应，并
6、称其为力偶矩，用符号M来表示，即力偶矩的定义是,PS：逆时针转向的取正号，反之取负号。平面力偶矩为代数量。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.2 力偶,2. 力偶的性质1）力偶中的两个力，既不平衡，也不可能合成为一个力，即力偶没有合力。2）力偶只能用另一个力偶来平衡。3）力偶中的两个力对其作用平面内任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，与矩心O的位置无关。4）只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小，力偶可在其作用平面内(包括在其平行平面内)任意移动和转动，并可任意改变其力和力偶臂的大小，而不会改变它对刚体的转动效应。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.2 力偶,3. 平面力偶的等效定理若作用
7、于刚体上的力系，由一系列力偶组成，该力系称为力偶系；若力偶系中各力偶作用在同一平面内（或各力偶作用面平行），则称为平面力偶系。研究平面力偶系的基础是平面力偶的等效定理。作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。如果两个力偶的力偶矩相等，总可以适当地改变两个力偶中任意一个力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不变），使两个力偶的力偶臂和力的大小相等且转向相同，所以两个力偶等效。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.2 力偶,4. 力对点的矩与力偶矩的区别不同之处：力对点的矩（力矩）可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩（力偶矩）是常量。相同之处：力矩与力偶矩
8、的量纲相同。关联之处：力偶中的两个力对任意一点的矩（两个力矩）之和是常量，等于力偶矩。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.3 平面力偶系的合成,2.2 平面力偶系的合成和平衡,2.2.4 平面力偶系的平衡条件,平面力偶系平衡的充分必要条件是: 合力偶矩等于零，亦即各分力偶矩的代数和等于零。,平面力偶系的平衡方程,2.2 平面力偶系的合成和平衡,【例2-6】图示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1=M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺柱A和B的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的力。,FA,FB,2.2 平面力偶系的合成和平衡,【例2-7】在梁AB的两端各作用一力偶，
9、其力偶矩分别为：M1=120kNm，M2=360kNm，转向如图。梁长l=6m，重量不计。求A、B处的支座反力。,2.2 平面力偶系的合成和平衡,【例2-8】M1=2kNm，OA=r=0.5m，图示位置时OA与OB垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M2，以及铰链O、B处的约束反力。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,任意力系也称一般力系，是指各力作用线既不汇交于同一点，又不完全相互平行的力系。如果任意力系中各力作用线都在同一个平面内，则该力系称为平面任意力系。2.3.1 力的平移定理作用在刚体上A点的力F可以平行移动到刚体内任意一点B，同时需要附加一个力偶，此附加力偶的矩等于
10、原来的力F对点B的矩。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,此定理的逆过程：由作用在B点的力F和一个力偶Mo组成的平面力系，可以等效为作用于另一点A的一个力F 。等效条件为合力F与力F大小相等，方向相同，合力F对点B的矩等于M，合力F与F作用线的距离为,2.3 平面任意力系的简化和平衡,2.3.2 平面任意力系向作用面内任一点简化 1. 平面任意力系向作用面内任一点简化的主矢与主矩 应用力的平移定理，将平面任意力系中的各个力（以三个力为例）全部平行移到作用面 内某一定点O 。从而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。 这种等效变换的方法称为力系向定点O 的简化。点O 称为简化中心。 平
11、面汇交力系，可以合成为一个力，力的作用线通过简化中心O点，此力称为原力系的主矢。 平面力偶系，可以合成一个力偶，其矩为此力偶的矩称为原力偶系的主矩。,M1,O,M2,M3,=,=,2.3 平面任意力系的简化和平衡,主矩一般与简化中心的选择有关，必须指明是相对于哪一个点的。其中，主矢的大小和方向余弦可按下式求解：,2.3 平面任意力系的简化和平衡,2. 固定端约束的简化固定端工程中物体的一端完全插入到另一个物体内部的（又称为插入端）。固定端对物体的约束作用，是在物体和固定端的接触面上作用有一群力，在平面问题中，这些力组成一平面任意力系。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,3. 平面任意力系简化结
12、果的讨论（1） FR =0，MO0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。（2）FR0，MO=0，则作用于简化中心的力FR 就是原力系的合力，作用线通过简化中心。（3）FR 0，MO0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力FR ，经过新的简化中心O。平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于其各分力对同一点的矩的代数和。（4）FR =0，MO=0，此时力系处于平衡状态。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,2.3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。,平面任意力系的平衡
13、方程：（1）基本形式 最多可解三个未知力（2）二力矩式 x轴不能与A、B连线垂直（3）三力矩式 A、B、C三点不共线,2.3 平面任意力系的简化和平衡,【例2-11】水平梁AB，A端为固定铰支座，B端为滚动支座，受力及几何尺寸如图所示，已知M=qa2，试求A、B端的约束力。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,【例2-12】如图所示的刚架，已知：q0=3kN/m，F=62 kN，M=10kNm，不计刚架的自重，试求固定端A的约束力。,2.3 平面任意力系的简化和平衡,【例2-13】如图所示的起重机平面简图，A端为止推轴承，B端为向心轴承，其自重为G1=40kN，起吊重物的重量为G2=100kN，几何尺寸如图，试求A、B端的约束力。,
