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1、第四章平面任意力系,4 平面任意力系,平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算,力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,4.1 平面任意力系向作用面内一点简化,F=F=F,说明：,MO,4.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,4.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面力 偶 系力偶，MO(主矩，作用在该平面上),平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,
2、其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面汇交力系力，(主矢，作用在简化中心),平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,4.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。,4.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定
3、端或插入端支座。,补充内容：平面固定端约束,MA,FAy,FAx,FA,MA,说明,认为Fi这群力在同一平面内;将Fi向A点简化得一力和一力偶;FA方向不定，可用正交分力FAx,FAy表示;FAx,FAy,MA为固定端约束反力;FAx,FAy限制物体平动，MA为限制转动。,4.3 平面任意力系简化结果分析,四种情况：(1)FR0，MO0;(2)FR 0，MO 0;(3)FR 0，MO0;(4)FR0，MO0,(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形,原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。,四个力是否平衡？,FR0，MO0,4.3 平面任意力系简化
4、结果分析,(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。,如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图,d,FR,FR,MO,结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。,4.3 平面任意力系简化结果分析,FR,从图中可以看出,所以,由主矩的定义知：,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,补充：平行分布线荷载的简化,简化中心：A点
5、,主矢,三角形分布载荷的简化问题,主矩,简化最终结果,结论：1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,补充：平行分布线荷载的简化,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,例 图示力系，已知：P1=100N,P2=50N,P3=200N,图中距离 单位cm。求：1、力系主矢及对A点之矩？2、力系简化最后结果。,解：,1、建立坐标系,x,y,2、X=Fx=P3=200N,Y=Fy=P1+P2=100+50=150N,主矢,=36.9,A,B,C,x,y,2、简化最终结果,LA=
6、,mA,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向:=36.9,位置图示：,方向：,=36.9,在A点左还是右？,课堂练习 P62 41 42,4.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即,平衡方程,即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。,由于,所以,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例2,
7、例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,(1)二矩式,其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。,平衡方程的其它形式,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴(或y 轴），则力系必平衡。,(2)三矩式,其中A、B、C三点不能在同一条直线上。,注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一
8、直线上，则力系必平衡。,作业 P63 44 45 46(a)(b)作业 P64 48 49 410 411作业 P65 413 416 417,例3,例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。,例3,解：取横梁AB为研究对象。,P,Q,FT,FAy,FAx,a,a,从(3)式解出,代入(1)式解出,代入(2)式解出,例3,C,如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得,有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5；3,4,5,力的作用线在同一
9、平面且相互平行的力系称平面平行力系。,平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：,其中AB连线不能与各力的作用线平行。,4.5 平面平行力系的平衡方程,F2,F1,F3,Fn,限制条件：,解：首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：,空载时，W=0,由,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：,解得:,求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,在静力学中求解物体系统的平衡问
10、题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。,4.6 静定和超静定问题,静不定问题将在其它力学课程（材力,结力,弹力）中用位移协调条件来求解。,静定（未知数三个）静不定（未知数四个）,判断各图的超静定次数,4.7 物体系统的平衡问题,由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系
11、统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。,例5,例5 求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,可解得：,FAx,FAy,FBx,FBy,例5,再以AC为研究对象，受力如图。,解得：,FAx,FAy,FCx,FCy,例6,例6求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以CD为研究对象，受力如图。,再以整体为研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FD,q,F,FAx,FAy,FD,FB,q,解得,例7,例7 求图示结构固定端的约束反力。,解：先以BC为研究对象，受
12、力如图。,再以AB部分为研究对象，受力如图。,求得,FB,M,FC,FB,FAy,q,F,MA,FAx,例4,例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解之得：,FD,FAx,FAy,F1,F2,F3,C,x,y,45,例4,再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,例8,例9 结构的荷载和尺寸如图，CEED，试求固定端A和铰支座B的约束反力。,解：先以BD为研究对象，受力如图。,再以CDB局部为研究对象，受力如图。,M,FBy,FBx,FDx,FDy,M,FBy,FBx,FCx,FCy,F,例8,最后以整体为研究对象，受力如图。,解之得：,q0
13、,F,M,FBy,FBx,FAy,MA,FAx,例9,例10 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P1,P2,FAx,FAy,FB,例9,再以DF为研究对象，受力如图。,解得：,最后以杆BG为研究对象，受力如图。,解得：,P2,FEy,FFy,FFx,FEx,FGy,FB,FGx,FFy,FFx,例12,例11 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F
14、6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。,M,FBy,FBx,FCx,FCy,解:(1)取BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,(2)取CD分析,F,FCx,FCy,FDx,FDy,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,M,q0,FCx,FCy,FAy,MA,FAx,(3)取ABC进行分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。,4.8 平面简单桁架,平面简单桁架的内力分析,工程中的桁架结构,桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。为简化桁架计算
15、，工程实际中采用以下几个假设：(1)桁架的杆件都是直杆；(2)杆件用光滑铰链连接；(3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内；(4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。其中的每根杆件都只是在两端受力,所以所有的杆件都是二力杆。,桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。,节点法,例12 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载F=10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,节点法,2m,F,2m,A,B,C,D,30,
16、1,3,4,F,FBy,FAy,FAx,再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。,节点A,节点C,节点D,解上述5个方程得,其中1，4杆受压。,三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。,四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值。,两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。,特殊杆件的内力判断,例13 已知 P d,求：四杆的内力？,解：由零杆判式,研究A点：,用假想的截面（截面可以是平面，也可以是曲面）将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。,截面法,例15,FAy,FAx,A,B,C,
17、D,E,F,G,FE,FG,FF,1,2,3,FBy,例14 图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E，G，F上分别作用荷载FE10 kN，FG7 kN，FF5 kN。试求杆1、2、3的内力。,解：取整体分析,解得,A,B,C,D,E,F,G,FE,FG,FF,1,2,3,解得,为求1、2、3杆的内力，可作一截面m n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。,求得1杆受力为负值，说明1杆受压。,例15,F1,FAy,FAx,F2,F3,例15截面法思考题,思考题：求下列各桁架指定杆件的轴力。,截面法与节点法的综合应用,例15 悬臂式桁架如图所示，试求杆件GH，HJ和HK的内力。,解:取mm截面把桁架分为两部分，取右半桁架为研究对象画受力图。,m,m,mI(Fi)=0,3SHK-6P=0,SHK=2P,再取nn截面截断桁架并取右半桁架为研究对象画受力图。,mF(Fi)=0,3SEH-4P=0,取节点H为研究对象画受力图。,Fx=0,cos=0.8,sin=0.6,SHE-SHK+SHG cos=0,Fy=0,-SHJ-SHG sin=0,SHK=2P,本章结束,
