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1、7.4基本不等式及其应用,7.4基本不等式及其应用,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引,基础知识自主学习,基础知识自主学习,(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.,知识梳理,a0，b0,ab,2.几个重要的不等式,(1)a2b2 (a，bR).,2ab,2,(1)基本不等式成立的条件： .,(3)ab (a，bR).,以上不等式等号成立的条件均为ab.,(3)ab (a，bR).以上不等式等号,设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不
2、小于它们的几何平均数.,3.算术平均数与几何平均数,4.利用基本不等式求最值问题,已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：积定和最小),xy,小,(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：和定积最大),xy,大,设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几,不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立 ；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立 ；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立 .,f(x)m
3、inA(xD),f(x)maxB(xD),f(x)maxA(xD),f(x)minB(xD),(3)恰成立问题：不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.,不等式的恒成立、能成立、恰成立问题知识拓展f(x)minA,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)思考辨析,1.(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为A.80 B.77 C.81 D.82,考点自测,答案,解析,答案,解析,3.若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是,答案,解析,4.若实数x，y满
4、足xy1，则x22y2的最小值为_.,答案,解析,4.若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_,5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.,答案,解析,25,5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则,题型分类深度剖析,题型分类深度剖析,题型一利用基本不等式求最值,命题点1通过配凑法利用基本不等式,答案,解析,题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等,1,答案,解析,1答案解析因为x0，,答案,解析,答案解析,例2已知a0，b0，ab1，则 的最小值为_.,命题点2通过常数代换法利用基本不等式,答案,解析
5、,4,例2已知a0，b0，ab1，则 的,引申探究,解答,引申探究解答当且仅当ab 时，取等号.,解答,解答,解答,解答a2b3，,思维升华,(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或
6、积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.,思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正,跟踪训练1 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.,答案,解析,5,跟踪训练1 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x,3x4y的最小值是5.,3x4y的最小值是5.,当且仅当y 时等号成立，(3x4y)min5.,当且仅当y 时等号成立，(3x4y)min5.,(2)已知x，y(0，)，2x3( )y，若 (m0)的最小值为3，则m_.,答案,解析,4,(2)已知x，y(0，)，2x3( )y，若,由2x3( )y得xy3，,解得m4.,由2x3( )y得xy
7、3，解得m4.,题型二基本不等式的实际应用,例3某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3 (k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；,解答,题型二基本不等式的实际应用例3某厂家拟在2016年举行促,由题意知，当m0时，x1(万件)，,13kk2，x3 ，
8、,由题意知，13kk2，x3,(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？,y82921，,解答,故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.,(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大,思维升华,(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.,思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函,跟踪训练2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为80
9、0元.若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件.,答案,解析,80,跟踪训练2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用,(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.,8,答案,解析,(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的,当且仅当x ，即x5时，取等号.,题型三基本不等式的综合应用,命题点1基本不等式与
10、其他知识交汇的最值问题,例4(1)(2016菏泽一模)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则 的最小值是A.9 B.8 C.4 D.2,答案,解析,圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.,因为b，c0，,圆x2y22y50化成标准方程，因为b，c0，,(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则 的最小值是_.,答案,解析,(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an,命题点2求参数值或取值范围,答
11、案,解析,m12，m的最大值为12.,m12，m的最大值为12.,答案,解析,答案解析,设g(x)x ，xN*，则g(2)6，g(3) .,对任意xN*，f(x)3恒成立，即 3恒成立，即知a(x )3.,设g(x)x ，xN*，则g(2)6，g(3),思维升华,(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.,思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式,跟踪训练3(1)(
12、2016福建四地六校联考)已知函数f(x)x 2的值域为(，04，)，则a的值是,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去).,因为 4a1，所以qmn216，,所以2mn224，所以mn6.,由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得,又mn6，解得m2，n4，符合题意.,又mn6，解得m2，n4，符合题意.,利用基本不等式求最值,现场纠错系列9,利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.,错解展示,现场纠错,纠错心得,利
13、用基本不等式求最值现场纠错系列9利用基本不等式求最值时要,返回,返回,解析(1)x0，y0，,返回,解析(1)x0，y0，返回,课时作业,课时作业,1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是123,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，,A.充分不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
14、11,12,13,14,答案,解析,1234567891011121314答案解析,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，,答案解析1234567891011121314因为lg 2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.若2x2y1，则xy的取值范围是A.0,2 B.2,0C.2，) D.(，2,答案,解析,12345678910111213145.若2x2y1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy
15、的最小值为,答案,解析,12345678910111213146.已知x0，y0,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案解析1234567891011121314,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，,1234567891011121314当且仅当a5c0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016唐山一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.,答案,解析,4,12,1234567891011121
16、3148.(2016唐山一,9.(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则 的取值范围是_.,答案,解析,(0，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,xya0与圆(xb)2(y1)22相切，,ab12，即ab1，,又a，b为正实数，,1234567891011121314xya0与圆(,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4,答案,解析,1234567891011121
17、3144答案解析由题意知3a,*11.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则 的最小值为_.,答案,解析,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1,12.已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知x0，y0，且2x5y20.解答12345,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,x0，y0，
18、2x5y20，当且仅当2x5y时，,此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,此时xy有最大值10.1234567891011121314,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答1234567891011121314,x0，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,x0，y0，1234567891011121314,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1234
19、567891011121314,13.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4 ，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求该城市旅游日收益的最小值.,解答,1234567891011121314(2)
20、求该城市旅游日收,14.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2 )升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,设所用时间为t (h)，,14.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通,(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值,
