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1、多维随机变量函数的数字特征,多维随机变量函数的数字特征,复习1：期望,复习1：期望,多维随机变量函数的数学期望,定理 3.3.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则,E(Z) = Eg(X, Y) =,多维随机变量函数的数学期望定理 3.3.1 设 (X,若X , Y 独立，则 E(X Y)=EX EY一般地，若X1,Xn相互独立,则E(X1 Xn)=EX1 EXn,数学期望的性质,若X , Y 独立，则 E(X Y)=EX EY数学期望的性,复习2：方差,复习2：方差,证：,第三章 随机变量的数字特征-2 方差,方差的性质,证：第三章 随机变量的数字特征-2 方差
2、方差的性质,1、协方差和相关系数,定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0,称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. 为随机变量X,Y的相关系数。,1、协方差和相关系数定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 称,2、协方差的性质,注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则X，Y一定相关，且X，Y一定不独
3、立。,D(aX+bY)=,2、协方差的性质注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0,3、相关系数的性质,证明：,令：,3、相关系数的性质证明：令：,多维随机变量函数的数字特征,多维随机变量函数的数字特征,说 明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,说 明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,例 1,例 1,多维随机变量函数的数字特征,例2,例2,多维随机变量函数的数字特征,例3,例3,多维随机变量函数的数字特征,多维随机变量函数的数字特征,X，Y独立 = 0 X，Y不相关。P152注：此结果仅对正态分布成立，对其它分布不成立.,X，Y独立 = 0 ,矩与协方差矩阵,两维
4、随机变量的数字特征 2.矩、协方差矩阵,矩与协方差矩阵两维随机变量的数字特征,1、基本定义,矩与协方差矩阵,若 E(X k)存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。,1、基本定义矩与协方差矩阵若 E(X k)存在，称之为 X,2、n维随机变量的协方差阵,定义：设是 n 维随机列向量，并且其中任意两个 分量的协方差都存在，则称 n 阶矩阵,为 n 维随机列向量 的协方差阵,2、n维随机变量的协方差阵定义：设为 n 维随机列向量,由协方差矩阵的定义及协方差的性质，我们可以得到以下几条结论：,由协方差矩阵的定义及协方差的性质，我们可以得到以下几条结论：, .n 维随机向量 的协方差阵是 n 阶对称矩阵.
5、, .n 维随机向量 的分量若相互独立，则其协方差阵是 n 阶对角矩阵., .n 维随机向量, .若二维随机向量,则二维正态随机向量 的协方差阵为,若记此时二维正态分布的密度函数可变形为, .若二维随机向量则二维正态随机向量 的协方,由上述思想，我们可以给出n 维正态随机向量 的定义.首先，我们给出以下符号：,则n 维正态随机向量 的密度函数可定义为：,3、n维正态分布,其中 C 为 的协方差阵.,由上述思想，我们可以给出n 维正态随机向量,例1,解：,例1解：,求随机变量 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数(2)问 和 是否独立？为什么？,解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都
6、是正态密度函数，因此有,求随机变量 和 的密度函数,随机变量 和 的相关系数,第三章 随机变量的数字特征-4 矩与协方差矩阵,随机变量 和 的相关系数第三章 随机,（2）由题设,（2）由题设,多维随机变量函数的数字特征,1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。4 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。5 给出了矩与协方差矩阵。,第三章 小 结,1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握第三章 小,
