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1、抽象函数问题的求解策略探究湖南省 黄爱民 赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。一、具体模型策略例1已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)0，f(x
2、+y)=f(x)(y),且当x0时，f(x)1,则当x0时f(x)的取值范围是 。解析：令f(x)=ax(0a1)易得0f（x）1。评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。二、类比联想策略例2已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x2)1f(x)=1f(x)，f(2)=1,则f(2006)=（ ） 分析：由条件知，f(x+2)= （*），又f(1)2 ，逐步推出f(2006)，显然比较繁锁，若将（*）式与进行类比，则结构形式类似，而y=tanx的周期为=4 .于是便产生一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为428.于是猜想成立。f(2006)
3、f(82506)f(6)f(28)从而应选B。评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽象函数的解题思路。三、运用函数性质策略例3定义在上的单调函数满足，且对任意的、都有（1）求证：为奇函数（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围。解：令,代入 得: 令代入上式得：，又 即 对任意成立，是奇函数(2), 又在R上单调且， 故是上的增函数，又由（1）知为奇函数恒成立，只需评析：函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此只有充分挖掘和利用题设条
4、件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：利用奇偶性整体思考；利用单调性等价转化；利用周期性回归已知，利用对称性数形结合；借助特殊点，列方程（组）等四、赋值换元策略 例4是否存在函数同时满足下列三个条件：（1）；（2）；（3）？若存在，求的表达式；若不存在，请说明理由。分析：条件(1)中、的任意性，隐含着、既可“换元”，又可“赋值”，结合条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。令， 得 令， 得 令， 得 将+-得，故存在符合题意。评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效
5、果。方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程（组），化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将x 换成-x或将x 换成等； (2)在求函数值时，可用特殊值（如0或1或一1)代人”； (3)研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和考法，或反证、逆推诸法共用五、分类讨论策略 例5设f（x）是定义在（-，+）上的增函数，问是否存在实数k，使不等式f（k+sin2x）f（k-4）（sinx+cosx）对任意xR恒成立？并说明理由。 分析：令sinx
6、+cosx =t，则sin2x = t2-1 ，原不等式对一切xR恒成立，等价于不等式（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）0对任意t恒成立，下列分三种情况讨论： （1）当0时，（t）0，对t恒成立，由=-4（k-1）=（k-2）（k-10）0得2k10；（2）当=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2 -（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t= -1或t=3，（t）0对任意t恒成立；（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）0 （3）当0时，（t）0对任意t恒成立的充要条件是： 综上所述得k的取值范围是. 评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是
7、解题的常用方法.六、整体求解策略例6、已知f(x)，g(x)为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+3（a，b为常数）若F(4)=4,则F(4)=_ 。解:设(x)=af(x)+bg(x),则(x)=F(x)3，由题设可知(x)为奇函数，(4)=(4)即F(4)3=F(4)3，故F(4)=10评析：运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。七、正难则反策略例7已知f(x)在实集上是增函数，a，b都是实数，若f(a)+f(b)f(a)+f(b),求证：a+b0。分析：本题若用直接证法显然无从下手，但考虑用反证法则问题可以很快解决。证明：假设a+b0，则ab,ba,因为f
8、(x)是上的增函数，故f(a)f(b),f(b)f(a)，两式相加：f(a)+f(b)f(a)+f(b),这与条件f(a)+f(b)f(a)+f(b)矛盾，故假设不成立，于是a+b0。八、数形转化策略例8已知f(x)是上的奇函数，在区间（，）上是增函数，又f(3)，那么xf(x)0的解集是（ ）、x|3x0或x3 、x|x或x3 、x|x或x3 、x|3x0或x3解：根据题设条件可画出函数y=f(x)的示意草图，如上图f(3)=f(3)=0, 而xf(x)0 x与f(x)异号，由图象知3x0或0x3， 从而正确的答案为()评析：对于抽象函数，若能依据条件所给出的函数性质，画出相应的草图，就可化无形为有形,增强解题的直观性。总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但我们若能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。4
