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1、,必修五数列复习,数列,定义、数列的分类、通项公式、递推公式、,等差数列,等比数列,数列的应用,一、数列的概念与简单的表示法：,1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。,2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列.,如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差（比）等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差（比）数列。,等差（比）数列的判定方法,1、定义法：对于数列 ，若 (常数)， 则数列 是等差（比）数列。 2等差（比）中项：对于数列 ，若 则数列 是等差（比）数列。,3.通项公式法:,4.前n项和公式法:,二、等差
2、（比）数列的定义：,三、等差等比相关知识回顾,仍成等差,仍成等比,等 差 数 列,等 比 数 列,定 义,通 项,通项推广,中 项,性 质,求和公式,关系式,适用所有数列,等比中项2个,题型一、求数列的通项公式。,方法一：观察法：,方法二：公式法：,方法三：累加法：,方法四：累乘法：,方法七： 两边取倒数法：,方法五： Sn法：,方法六： 构造法：,题型一、求数列的通项公式。,例1.写出下面数列的一个通项公式， 使它的前几项分别是下列各数：,2),方法一：观察法：,题型一、求数列的通项公式。,方法二：公式法：,例2：在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .,这是一
3、个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,这个数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5,题型一、求数列的通项公式。,方法三：累加法：,例3：已知数列的通项公式,题型一、求数列的通项公式。,方法四：累乘法：,例4：已知数列的通项公式,题型一、求数列的通项公式。,方法五： Sn法：,（1）利用Sn与n的关系求an,（2）利用Sn与an的关系求an,例5：已知数列的前n项和Sn=n2+1,求an通项公式,例6：已知数列的前n项和Sn=3+2an,求an通项公式,题型一、求数列的通项公式。,方法六： 构造法：,（1）,设,（2）,题型一、求数列的通项公式。,方法七： 两
4、边取倒数法：,变式：,方法一：公式法（方程思想）,方法二：错位相减求和法,方法三：裂项求和法,方法四：分组求和法,题型二、数列求和。,方法五：合并求和,方法六：倒序相加,题型二、数列求和。,方法一：公式法（方程思想）,等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 ,例10 求和：,题型二、数列求和。,方法一：公式法（方程思想）,设等差数列 an 的公差为d,等比数列 bn 的公比为 ，则由题意得,解析：,通项特征：,由等差数列通项与等比数列通项相乘而得,求和方法：,错位相减法错项法,例11 已知数列an是等差数列，d0,数列bn是等比数列，又a1b1,(1) 求数列an及数列bn的通项公式；
5、(2) 设cn=anbn求数列cn的前n项和Sn,1 ，a2b22，a3 b3 = ,题型二、数列求和。,方法二：错位相减求和法,两式相减：,错位相减法,题型二、数列求和。,方法三：裂项求和法,题型二、数列求和。,常见的拆项公式有：,方法四：分组求和法,题型二、数列求和。,题型二、数列求和。,方法五：合并求和,方法六：倒序相加,综合例题：已知数列an的前n项和Sn,对任意nN+,有 ,bn=n（1）求数列an的通项公式（2）求数列bn*an的前n项和,变式1：求数列an(an+1)的前n项和变式2：求数列bn(bn+1)的前n项和变式3：求数列 的前n项和变式4：求数列bn+an)的前n项和变
6、式5：求数列an+2n的前n项和变式6：求数列bn+(bn+1)的前n项和,等差*等比,等比*等比,等差*等差,等差*等差倒数,等差+等比,等比+等比,等差+等差,1.求最大项2.求前n项和的最值,题型三、最值问题,例16.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,例16.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,题型三、最值问题,例16.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时
7、,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,n,11,3,Sn,题型三、最值问题,a7+a8=0,例16.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又a1=130,若d0，则an0恒成立，不满足，则da8,a70,a80,n7均有an0,n8均有an0,题型三、最,例16.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,d=2,当
8、n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,题型三、最值问题,题型四、等差（比）数列的性质,题型四、等差（比）数列的性质,变式：在等差数列 a n 中，a 1 a 4 a 8 a 12 + a 15 = 2，求 a 3 + a 13 的值。,解：由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8, a 8 = 2,故 a 3 + a 13 = 2a 8 = 4,解：由题 a 32 = a 2a 4， a 52 = a 4a 6，, a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25,即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25,故 a
9、 3 + a 5 = 5, a n 0,变、已知 a n 是等比数列，且 a 2a 4 + 2a 3a 5 + a 4a 6 =25，a n 0，求 a 3 + a 5 的值。,例17、,例18、,题型四、等差（比）数列的性质,例19 . 已知 是两个等差数列，前 项和,分别是 和 且,求,分析：,结论：,解：,题型四、等差（比）数列的性质,例20.已知等差数列an的前m项的和是 10，前2m项的和是30，求前3m项 的和。,变式：,题型四、等差（比）数列的性质,设项技巧：,（1）若有三个数成等差数列，则可设为,（2）若有四个数成等差数列，则可设为,（3）若有五个数成等差数列，则可设为,等差数列,等比数列的设项技巧,1、若连续n个数成等比数列，通常设为,2、若连续奇数个数成等比数列，通常设为,3、若连续偶数个正数（负数）成等比数列，通常设为,例21 (1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,析：设这三个数为,则,所求三个数分别为3，5，7,解得x5，d,或7，5，3.,2.,（2）.,例22已知等差数列an公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=?,例23.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,153,变式1：把上题等比改为等差？,24,变式2.在等比数列an中，已知 ，求an.,
