层流边界层的流动与换热ppt课件.ppt

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1、高等传热学内容,第一章 导热理论和导热微分方程第二章 稳态导热 第三章 非稳态导热 第四章 凝固和熔化时的导热 第五章 导热问题的数值解 第六章 对流换热基本方程 第七章 层流边界层的流动与换热 第八章 槽道内层流流动与换热 第九章 湍流流动与换热 第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热,第七章 层流边界层的流动与换热,上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个别的问题采用经典方法得到了分析解。本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基于守恒原理的数学

2、近似，为求解实际问题大大简化了数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 相似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积分方程的方法进行介绍。,7-1 对流换热中的根本问题,工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所示，流体以均匀的速度u和温度T流过温度为Tc的平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需要了解以下两个问题：(1) 介质中平板的受力情况。(2) 平板与介质的换热情况。对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)，也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二个问题的

3、回答，可以预测平板与介质之间的传热速率，这是传热学的根本问题。,7-1 对流换热中的根本问题,图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别,7-1 对流换热中的根本问题,可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中的基本方程得到：,边界条件为：壁面处u = 0，非滑移界面v = 0，无渗透表面T = Tc，常壁温远离壁面处uU，均匀流v = 0，均匀流T = T，均匀温度求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以得到壁面处的热流密度。

4、,7-1 对流换热中的根本问题,上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程间题得到了有效的解决。7-2-1 速度边界层通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。,7-2 边界层分析,7-2 边界层分析,图7-2 外掠平板的速度边界层,通常定

5、义边界层的外缘为速度达到主流速度的99处，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y以外区域，粘性的影响由于速度梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影响区，其边界应在无限远处。因此，边界层

6、是一种人为引进的理想化概念。边界层的另一重要特点是其厚度远远小于平壁的长度L ，即占L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分析中不难得到此结论。此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。,7-2 边界层分析,7-2-2 温度边界层与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边界层。热边界层厚度用t表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在垂直于流动方向流体温差tt 等于0.99(ttw)处，t表示

7、主流温度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的热物性。,7-2 边界层分析,7-2 边界层分析,图7-3 外掠平板的温度边界层,7-2-3 边界层微分方程组在主流区 (7-2-1)用表示速度u由壁面处的u= 0 变化到接近主流速度U的距离的数量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系：x L ，y，uU (7-2-2)在包含边界层的L区域，考虑连续性方程 (7-2-3)可知 (7-2-4),7-2 边界层分析,

8、考虑边界层内x 方向的动量方程在上式中，惯性力项均为 ，不能忽略任一项。但在边界层区 域， L，对于粘性力项，与 相比， 可以忽略不计，于是x方向的动量方程即式(7-l-2 )简化为 (7-2-5),7-2 边界层分析,类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程 (7-2-6) 通过数量级分析可以得到 (7-2-7) 因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6) ，但它对边界层内的压力分析提供了帮助。也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l 所示的边界层内任一点的压力的全微分 (7-2-8) 除以dx，得到 (7-2-9),7-2 边界层分析,从动量力程的数量级分析考虑压力项

9、与摩擦项平衡，如方程(7-2-5) 有 (7-2-10) 类似地，由方程(7-2-6)得 (7-2-11)现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级 (7-2-12 ) 比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到,7-2 边界层分析,与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处，边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即 (7-2-14)将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得 (7-2-15) 类似地分析可以得到边界层能量方程 (7-2-16)式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、 v、t三个未知量， 可由主流伯努利

10、方程得到。与粘性流体的微分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。,7-2 边界层分析,7-2 边界层分析,7-2-4 边界层流动与传热分析流动摩擦阻力 (7-2-17) 对于具有均匀压力的自由流， ，根据边界层的动量方程(7-2-15)有惯性力项摩擦力项 (7-2-18) 式(7-2-18)要求 (7-2-19) 即 (7-2-20) 式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。,7-2 边界层分析,式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 的情形，边界层理论才有效。例如，在边界层的前缘， 不会远小于1，故边界层理论不适用。式(7-2-17)可改写为 (7-2-21) 无量纲摩擦系数 取决于雷诺

11、数，即 (7-2-22) 分析基于热边界层厚度的换热方程，有 (7-2-23) 式中， 表示边界层的温度变化。,7-2 边界层分析,考虑边界层能量方程各项的数量级：对流项导热项 (7-2-24) 若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，t ，则速度边界层外的速度u 等于主流速度U，得到该区域的速度 。 将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即 (7-2-25)进一步可以得到 (7-2-26),7-2 边界层分析,其中 是贝克来数。比较式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特数，即 (7-2-27) 低普朗特数(P

12、r1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为 ，Pr 1 (7-2-28)或表示为努塞尔数的形式： (7-2-29)若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度, 则温度边界层内的速度可认为 (7-2-30),7-2 边界层分析,将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到 (7-2-31) 与式(7-2-20 )比较，可知 (7-2-32) 类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变化规律： ，Pr1 (7-2-33) ，Pr1 (7-2-34) 在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值见式(7-2 - 20 )。,

13、7-3 层流边界层流动和换热的相似解,7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解1. 布劳修斯解上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示，边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u = U。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围是相同的, 即速度分布被伸展。,7-2 边界层分析,图7-4 平壁上的速度边界层,7-3

14、 层流边界层流动和换热的相似解,引入无量纲速度 和相似变量： ( 7-3-1 ) 相似变量与坐标y 成正比，比例系数与x有关。令 (7-3-2) 可见，边界层内不同x处 与的关系是相同的，对于的无量纲速度分布亦是相同的。将速度用流函数表示： (7-3-3) 则 (7-3-4),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,引入前面定义的相似变量，得到 (7-3-5) 令 ，称无量纲流函数，则有了 (7-3-6) 考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程(7-1-1)和动量方程(7-2-14) ： (1) (2),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,对应的边界条件是y = 0, u =

15、 v = 0 (7-3-7)y , u U (7-3-8) 应用流函数，连续性方程得到满足, 动量方程的形式为 (7-3-9)对应的边界条件是 y=0, =0, (7-3-10) y, (7-3-11),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,将式(7-3-6)代人式(7-3-9)(7-3-11) ，可以得到相似变换后的常微分方程，并简化为 (7-3-12) 边界条件 (7-3-13) (7-3-14)方程(7-3-12 )称为布劳修斯方程。布劳修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线性方程。将f()取的泰勒级数得 (7-3-15) 上式取导数得 (7-3-16),7-3 层流边界层流动和换热的

16、相似解,由边界条件可得， 。进一步求出 和 ，将所得结果代入方程(7-3-12 ) ，得到 (7-3-17) 为保证在0 范围内上式均成立，则常数项和相似变量前的系数必须为零，即 和所有不为零的系数 等均可表示成c2的关联式。于是得到 (7 -3 -18),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,由 时 ，得 ，等等。赛比西(Cebeci ) 等采用龙格-库塔法求解了同样问题，霍沃思(Howarth)给出了更高精度的数值解，表7-l 是其部分结果。由表7-1可知， =5.0时 ，通常边界层外缘处速度取，即 (7-3-19) (7-3-20),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,7-3 层流边界

17、层流动和换热的相似解,获得速度分布后，可以进一步得到壁面处的粘性剪应力w： (7-3-21)由表7-1 知， ，故 (7-3-22) 引入局部摩擦系数 (7-3-23) 对应于整个平板长度L 的平均摩擦系数为 (7-3-24),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,2. 波尔豪森解常物性流体以均匀流速U和均匀温度t外掠平壁，平壁壁面温度为tw，流体与壁面间的换热使得在壁面上形成温度边界层。根据前面的边界层分析，对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的二维稳态流动，其边界层能量方程即式( 7-3-20 )为y = 0, t = tw (7-3-25) y, t = tw (7-3-26) 引入无量

18、纲温度 (7-3-27) 上述边界层能量方程变为 (7-3-28),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,与动量方程相似解方法类似，引入相似变量 有 (7-3-29) (7-3-30) (7-3-31),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,将式(7-3-29) (7-3-31)和流函数表示的速度代入边界层能量方程(7-3-28) ，可以得到 (7-3-32) 相应的边界条件是 (7-3-33)波尔豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分离变量积分方法，由式(7-3-32 )可得 (7-3-34)进一步积分得 (7-3-35),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,由边界条件式(7-3-33)

19、得 (7-3-36)显然，局部对流表面传热系数为 (7-3-37) 因此 (7-3-38) 式(7-3-36)已表明 是Pr数的函数，波尔豪森给出了一系列 的数值。表7-2 给出了不同Pr数时外掠平壁的 的数值。可以发现，在Pr = 0.6 15的范围内， 可以十分精确地用 表示，即得,7-3 层流边界层流动和换热的相似解,7-3 层流边界层流动和换热的相似解,(7-3-38)对于Pr 0.6的低普朗数流体，其导热性能很好，前面边界层分析已说明，当 1时速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可以近似认为温度边界层内速度为主流速度U，即 , f = 。代入方程(7-3-32)得 (7-3-40)当

20、Pr 0时，上式的解为 (7-3-41) (7-3-42)则 (7-3-43),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,整个平板长度L的平均对流表面传热系数可以由下式计算获得：得到 (7-3-44) (7-3-45) 在整个Pr数范围内，可以整理出 (7-3-46) 需要注意的是，在边界层前缘(x0)，边界层的基本假设不再成立，因此边界层微分方程不适用。否则，此处的局部对流表面传热系数将无限大，与实际不符。因此，边界层分析主要用于高Re数范围。,7-3 层流边界层流动和换热的相似解,7-3-2 外掠楔状体层流边界层流动与换热的相似解不仅外掠平壁层流边界层流动与换热可以获得相似解，法尔克钠( Fa

21、lkner)等发现了一系列存在相似解的情况。主流速度U沿固体表面不随距离x变化的情形只能出现在平板或管流中，通常主流速度U, 与流动方向的坐标x有关。作为相似解的另一个例子是，边界层外主流速度U与流动方向坐标x 的幂函数成正比，即 U = cxm (7-3-47) 流体流过一个楔形物的速度变化满足式(7-3-47) ，如图7-5 所示。若表面与流动方向成/2角，指数m与夹角的关系是 (7-3- 48),7-3 层流边界层流动和换热的相似解,图7-5 流过楔形物,7-3 层流边界层流动和换热的相似解,引入伯努利方程，可以得到 (7-3-49) 代入边界层动量微分方程，得到 (7-3-50) 采用

22、与前面类似的相似变换，得到 (7-3-51)局部摩擦系数为 (7-3-52) 的数值与有关。,7-3 层流边界层流动和换热的相似解,传热相似解与波尔豪森解类似，得到常微分方程 (7-3-53) 从哈里斯用数值方法得到的结果分析可知：( l ) =0，即m =0，对应的是U=常数，即前面讨论的外掠平壁的层流边界层流动。(2 ) 0，即m0,是外掠楔形物的边界层层流流动，在x=0处主流速度为零，沿流动方向速度加速，在壁面上边界层内速度分布的斜率较外掠平壁时大。随的增大，速度分布的斜率更大，边界层愈薄。(3 ) 描述的是面对平壁的流动，称为滞止流动。( 4 ) 0 表明，边界层主流速度在x=0处为无

23、穷大，沿流动方向减少，夹角是负值。通过在平壁吸气使边界层消失，保证主流速度恒定，进入扩充段，主流速度将沿流动方向减少。在0.1988 时，速度分布呈S形，在壁面处(y=0)速度梯度为零。当 0.1988时，流动边界层从壁面脱离并在贴壁处产生回流，因而0.1988称为脱体的临界角。,7-4 层流边界层的积分方程,7-4-1 边界层动量积分方程如果边界层外主流速度不遵循式(7-3-47)的规律，即U = cxm (m不是常数)，则不能获得相似解，边界层方程不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解边界层方程。边界层积分方程方法是一种近似方法。边界层积分方程可以通过质量、动量和能量守恒应用于包含边

24、界层的控制体获得，也可以对边界层微分方程直接积分得到。考虑二维常物性不可压缩流体边界层稳态流动，连续性方程和动量方程，即 (1) (2),7-4 层流边界层的积分方程,连续性方程乘以u并与动量方程相加，得到 (7-4-l) 考虑U只是x的函数，与y 无关，连续性方程可演变为 (7-4-2) 式(7-4-2)减式(7-4-l)，得到 (7-4-3),7-4 层流边界层的积分方程,将上式在y方向对整个边界层厚度积分，可得 (7-4-4) 其中速度u(x , y )是x、y 的函数，只是x 的函数。利用微分法则可知 (7-4-5)因壁面处y=0，v=0；边界层外缘处y=，u= U， ，式(7-4-4

25、)可简化为 (7-4-6) 上式称为边界层动量积分方程。,7-4 层流边界层的积分方程,1. 边界层位移厚度1 (7-4-7) 因壁面对粘性流体的阻力，边界层内速度由边界层外缘主流速度U逐步减少到壁面处为零，流体不断被排挤出边界层，流线被抬高的距离称为边界层位移(或排挤)厚度1。2. 边界层动量损失厚度2 (7-4-8) 由于边界层内流体速度和流量的减少，导致边界层动量损失，2是动量减少的尺度，称为边界层动量损失厚度。边界层动量积分方程也可以用边界层位移厚度1和动量损失厚度2表示： (7-4-9),7-4 层流边界层的积分方程,7-4-2 边界层能量积分方程用得到边界层动量积分方程类似的方法，

26、可以导出边界层能量积分方程。考虑常物性不可压缩流体，忽略粘性耗散，二维的边界层能量微分方程可表示为同样，上式在y 方向上对整个温度边界层厚度积分，得 (7-4-10)进一步可写为 (7-4-11),7-4 层流边界层的积分方程,由连续性方程知 ， 代入式(7-4-11)，得 (7-4-12) 整理得 (7-4-13) 取过余温度，上式变为 (7-4-14) 式(7-4-14 )称为边界层能量积分方程。,7-4 层流边界层的积分方程,1. 边界层能量损失厚度3 (7-4-15) 它反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于通过厚度为3的主流区流体具有的动能。2. 焓厚度2为简化积分方程的表达

27、式，定义边界层的焓厚度为 (7-4-16) 式中：h是流体流过控制体时热流量的净变化率，即相对滞止焓；hw指通过壁面导热参加换热的结果，即壁面处的相对滞止焓。在无相变的常物性流体低速流动的情况下，有,7-4 层流边界层的积分方程,将以上焓的表达式代入式(7-4-16)得到 (7-4-17) 焓厚度是壁面参与换热的量度。3. 换热厚度4边界层换热厚度是指流体的导热系数和对流表面传热系数之比，即 (7-4-18) 它是温差twt与壁面处温度梯度的比值。一些著作中采用焓厚度2和换热厚度4讨论边界层能量积分方程。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,7-5-l 具有未加热初始段的对流换热1. 动量积分

28、方程式以外掠平板的流动和换热为例，设边界层外主流速度U = 常数，壁面处无喷注，法向速度为零。通常的办法是假设边界层内速度分布为三次方多项式，即 (7-5-1) 代入式(7-4-7)、(7-4-8)，得到边界层位移厚度和动量损失厚度 (7-5-2) (7-5-3) 以及壁面处摩擦力 (7-5-4),7-5 层流边界层积分方程的近似解,这样，动量积分方程(7-4-10 )变形为 (7-5-5)由式(7-5-4)、(7-5-5) (7-5-6) 得到 (7-5-7a)边界层厚度与流动距离x的平方根成正比。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,由壁面局部阻力系数 得到 ( 7-5-7b) 沿平板长度

29、，壁面切应力逐渐减少，因边界层厚度的增加，减小了壁面处的速度梯度。与相似解相比，积分方程方法是十分简便的，其精度只相差3左右。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,2. 能量积分方程式与动量积分方程的求解方法类似，根据能量积分方程式可以得到壁面处的温度梯度(进而可得到热流密度)和对流表面传热系数。温度边界层内的温度分布与动量边界层内的速度分布类似，取为三次方多项式，由边界条件得到 (7-5-8) 考虑温度边界层外10，代入焓厚度，积分得 (7-5-9) 若假设 ，略去高阶项3，有 (7-5-10) (7-5-11),7-5 层流边界层积分方程的近似解,壁面处热流密度为 (7-5-12) 即 (

30、7-5-13) 由上式可知 (7-5-14),7-5 层流边界层积分方程的近似解,整理式(7-5-13 )、(7-5-14 )得 (7-5-15) 若温度边界层从x0处开始形成(xx0段为未加热段)，对式(7-5-15)积分得到 (7-5-16) x0 = 0时，上式简化为 (7-5-17) 只要已知动量边界层厚度，就可以得到温度边界层厚度t。由式(7-5-17)不难看出，Pr1时速度边界层厚度与温度边界层厚度十分接近。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,只要已知动量边界层厚度，就可以得到温度边界层厚度t。由式(7-5-17)不难看出，Pr1时速度边界层厚度与温度边界层厚度十分接近。对于高P

31、r数的介质，如油类，温度边界层的厚度很小，若Pr = 1000，则温度边界层的厚度只是速度边界层的十分之一。t时，与前面推导的基本假设不一致，因而式(7-5-16 )、(7-5-17 )不适用于低Pr数的液态金属。然而，对于Pr = 0.51范围内的介质， 时可得t 。x0 = 0时，积分方程的解与相似解十分接近，因而前面的公式也可用于气体。由牛顿冷却公式可得壁面处的对流换热表面传热系数 (7-5-18) 则局部Nu数为 (7-5-19)若无初始加热段，x0=0，则与精确解完全一致。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,7-5-2 Pr 1 的边界层能量方程的近似解若流体的Pr 1，则其温度边

32、界层的厚度t，远大于速度边界层厚度。温度边界层的速度分布将分为两部分：在速度边界层内，与前面假设的三次方多项式相同；在速度边界层外、温度边界层内，即yt，根据边界层的定义，速度为主流速度，uU，而温度边界层内的温度分布为 (7-5-20) 将速度分布和温度分布代人能量积分方程式，得 (7-5-21)简化得到 (7-5-22),7-5 层流边界层积分方程的近似解,因 ，代入上式有 (7-5-23) 因流体的Pr1 ，1/ 1，可以近似简化为 (7-5-24) (7-5-25) 进一步可得局部数为 (7-5-26)与精确解相差5左右。,7-5 层流边界层积分方程的近似解,7-5-3 U任意变化的边

33、界层积分方程的近似解1. 动量积分方程式把边界层位移厚度和动量厚度代入动量积分方程，得到 (7-5-27),7-5 层流边界层积分方程的近似解,两侧同乘以 ，得到 (7-5-28) 定义边界层剪切厚度 (7-5-29) 取无量纲形状参数 ， ，代入式( 7-5-29 )，有 (7-5-30),7-5 层流边界层积分方程的近似解,其中除物性参数外其它参数U、2和H、T 均与坐标x有关，因而可以将影响归属于一个当地参数 (7-5-31) 边界层内速度分布取为 (7-5-32a) 其中根据以上速度分布，可以求出边界层厚度1、2和4以及H 、T 和w，并都是的函数。式(7-5-30)的左端可以表示为

34、(7-5-32b),7-5 层流边界层积分方程的近似解,对于楔状流(Ucxm)，速度分布的解前面已经给出。许多研究者指出，楔状流的积分方程解与精确解十分接近。塞邦(Sebang )建议可以用直线表示()函数，即 (7-5-33) 其中a = 0.44，b = 5.68。 将式(7-5-33 )代入式(7-5-32 ) ，得 (7-5-34) (7-5-35),7-5 层流边界层积分方程的近似解,2. 能量积分方程式二维层流无喷注的能量积分方程可以写为 (7-5-36) 考虑换热厚度的定义，有 (7-5-37) 式(7-5-36 )两侧同乘以 ，得到 (7-5-38),7-5 层流边界层积分方程的近似解,引入边界层内三次方温度分布和速度分布，经整理可以得到与动量方程类似的描述： (7-5-39) 对于Pr = 0.7的情况，可以用直线来近似，建议的直线方程为 (7-5-40) 积分上式，经整理得(Pr = 0.7) (7-5-41) (7-5-42),7-5 层流边界层积分方程的近似解,若U = 常数，平板流动，上式简化为 (7-5-43) (7-5-44) 与精确解十分接近。,