不可压缩粘性流体的运动微分方程.ppt

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1、第八章 粘性流体绕过物体的流动,第八章 粘性流体绕过物体的流动,不可压缩粘性流体的运动微分方程及其解析解边界层理论圆柱体绕流物体的阻力,不可压缩粘性流体的运动微分方程及其解析解,（纳维-斯托克斯方程）,第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程,第一个下标表示应力所在平面的法线方向第二个下标表示应力本身的方向。,根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有,再略去四阶无穷小量，又因，故得同理可得（8-2）这样，在式（8-1）中九个应力只有六个是独立的。,假若流体的粘度在个方向上都是相

2、同的可得,广义牛顿内摩擦定律,其意义为：切向应力等于动力粘度和角变形速度的乘积。,在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也发生线变形。,现将切向应力和法向应力的关系式代入式(8-1),化简可得不可压缩粘性流体的运动微分方程：,纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程,如果是没有粘性的理想流体，则 为零，于是纳维-斯托克斯方程变成理想流体的欧拉运动微分方程。,如果没有加速度，则 都为零，于是上述方程变成欧拉平衡微分方程。,所以说，上述纳维-斯托克斯方程式不可压缩流体的最普遍的运动微分方程。,以上三式加上不可压缩流体的连续方程 或 共有四个方程，原则上可以求解不可压缩

3、粘性流体运动问题中的四个未知数 和p。但是，实际上由于流体流动现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。,边界层的基本概念,现在来研究粘性流体在大雷诺数下平滑地绕流某静止物体（例如机翼的翼型，图8-9）的情况。在紧靠物体表面的薄层内，流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与来流速度 同数量级的大小，这种在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。在边界层内，流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大，即使粘度很小的流体，表现出的粘滞力也较大，决不能忽略。所以，边

4、界层内的流体有相当大的涡通量。当边界层内的有旋流离开物体而流入下游时，在物体后形成尾涡区域。在边界层外，速度梯度很小，即使粘度较大的流体，粘滞力也很小，可以忽略不计。所以可以认为，在边界层外的流动是无旋的势流。,由此可见，当粘性流体绕过物体流动时，可以将物体外面的流场划分为两个区域：在边界层和尾涡区域内，必须考虑流体的粘滞力，它应当被看作是粘性流体的有旋流动；在边界层和尾涡区以外的区域内，粘滞力很小，可以看作是理想流体的无旋流动。实际上，边界层内、外区域并没有一个明显的分界面，一般在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到势流速度的99%处距离为边界层的厚度，以 表示，见图8-9。解决大雷诺

5、数下绕过物体流动的近似方法是以边界层理论为基础的。用微型测速管直接测量紧靠机翼表面附近的流速得知，实际上边界层很薄，通常边界层的厚度仅为弦长的几百分之一。例如在汽轮机叶片出汽边上，最大边界层厚度一般为零点几毫米。从图8-9中可以看出，流体在前驻点O处速度为零，所以边界层的厚度在前驻点处等于零，然后沿着流动方向逐渐增加。为了清晰起见，在图8-9上将边界层的尺寸放大了。另外，边界层的外边界和流线并不重合，流线伸入,边界层内，这是由于层外的流体质点不断地穿入到边界层里去的缘故。总结上面所述，边界层的基本特征有：与物体的长度相比，边界层的厚度很小；边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大

6、；边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；由于边界层很薄，因而可近似地认为，边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流两种流动状态。,对平板而言，层流转变为紊流的临界雷诺数为 边界层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因素，如前方来流的紊流度、物体壁面的粗糙度等。实验证明，增加紊流度或增加粗糙度都会使临界雷诺数值降低，即提早使层流转变为紊流。如机翼前端的边界层很薄，不大的粗糙度凸出就会透过边界层，导致层流变为紊流。,层流边界层的微分方程,现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体的运动

7、微分方程来研究边界层内流体的运动规律。为简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与壁面相重合，如图8-11所示。假定边界层内的流动全是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常流动的微分方程和连续方程为（8-36）,图8-11 推导层流边界层的微分方程用图,可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程组（8-36）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这样便可大大简化该方程组。边界层的厚度 与平板的长度 相比较是很小的，即，而y的数值限制在边界层内，并满足不等式为了把方程组（8-36）变换成无量纲的，引入坐标与平板长度、分速度与来流速度，压强与 之比，即引入无量纲物理量：,将它

8、们代入方程组（8-36），整理后得,（8-37）,式中。很显然，在边界层内，以及y与 是同一数量级，于是可取（符号表示数量级相同），所以得到如下一些数量级：,然后，再来求出其它各量的数量级，由连续方程,因此，于是又得到以下数量级：,为了便于讨论，将各项的数量级记载方程组（8-37）相应项的下面。现在来分析方程组（8-37）各项的数量级，以达到简化方程的目的。,惯性项 和 具有相同的数量级1，而惯性项和 也具有另一个相同的数量级，比较这两个惯性项的数量级，方程组（8-37）中第二式中各惯性项可以忽略掉。另外，比较各粘性项的数量级，可知 与 比较，可以略去；又 与 比较，可以略去；最后，比较 和

9、的数量级，也可以略去。于是在方程组（8-37）的粘性项中只剩第一式中的一项,根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有同样的数量级，由方程组（8-37）可知，必须使 和 同数量级，所以，即 反比于。这表明，雷诺数越大，边界层相对厚度越小。,这样，将式（8-37）中的某些项略去，再变换成有量纲量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方程）：,（8-38）,其边界条件为,（8-39）,式中 是边界层外边界上势流的速度分布，可由势流理论来决定。对于沿平板流动，从方程组（8-38）第二式得到一个很重要的结论：在边界层内压强p与y无关，即边界层横截面上各点的压强相等，,。而在边界层外边界上

10、，边界层内的流动与外部有势流动相合。所以压强 可以根据势流的速度 由伯努力方程来决定，即,因为，即，这就是说，压强项和惯性项 具有同一个数量级。对于在壁面上的各点，由式（8-38）的第一式可得,（8-40）,方程组（8-38）是在物体壁面为平面的假设下得到的，但是，对于曲面物体，只要壁面上任何点的曲率半径与该处边界层厚度相比很大时（机翼翼型和叶片叶型即如此），该方程组仍然是适用的，并具有足够的精确度。这时，应用曲线坐标，x轴沿着物体的曲面，y轴垂直于曲面。虽然层流边界层的微分方程（8-38）比一般的粘性流体运动微分方程要简单些，但是，即使对最简单的物体外形，这方程的求解仍是很复杂的。由于这个缘

11、故，解决边界层问题的近似法便具有很大的实际意义。边界层的动量积分关系式为近似揭发提供了基础。,边界层的动量积分关系式,在定常流动的流体中，沿边界层划出一个单位宽度的微小控制体，它的投影面ABDC（图8-12）由作为x轴的物体壁面上的一微元距离BD、边界层的外边界AC和彼此相距dx的两直线AB和CD所围成。现在应用动量方程来研究该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。,图8-12 推导边界层的动量积分关系式用图,单位时间经过AB面流入的质量和带入的动量分别为单位时间经过CD面流出的质量和带出的动量分别为,对于不可压缩流体，根据连续方程从边界层外边界AC面流入的质量和带入的

12、动量必分别为,式中 为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间沿 方向经控制面的动量通量为,现在求作用在该控制体上沿x方向的一切外力。作用在AB、CD和AC诸面上的总压力沿x方向的分量分别为,式中 是A与C之间的平均压强。壁面BD作用在流体上的切向应力的合力为,于是，作用在该控制体上沿x方向诸外力之和为,其中略去了二阶微量。根据动量方程，即单位时间经控制面流体动量的通量等于外力之和，就可得到定常流动条件下卡门的边界层动量积分关系式：,（8-41）,由本章第四节已知，在边界层内p=p(x)；从以后的计算中可知，在给定截面上。所以，上式两个积分都只x的函数，因此式中的偏导数可改写为全导数，上式成为

13、,在推导中对壁面上的切向应力 未作任何本质的假设，所以，式（8-41）对层流和紊流边界层都适用。边界层外边界上的速度 可以用实验或解势流问题的,办法求得，并可根据伯努力方程求出 的数值。所以，在边界层的动量积分关系式（8-41）中，实际可以把 和 看作已知数，而未知数只有 和 三个。因此，要解这个关系式，还需要两个补充关系式。通常把沿边界层厚度的速度分布 以及切向应力与边界层厚度的关系式 作为两个补充关系式。一般在应用边界层的动量积分关系式（8-41）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按已有的经验来假定的。假定的 愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以，选择边界层内的速度分布函数 是求解

14、边界层问题的重要关键。,平板的层流边界层的近似计算,在实际应用中，大都采用边界层的动量积分关系式（8-41）对边界层进行近似计算。这方法比较简单，所得的结果也有足够的精确度。现在以纵向流动中的平板层流边界层为例加以说明。均匀来流速度为 的不可压缩粘性流体纵向流过一块极薄的平板，在平板上下形成边界层。取平板的前缘点o为,坐标原点，x轴沿着平板（即平行于），y轴垂直于平板，如图8-15所示。因为顺来流方向放置的是极薄的平板，可以认为不引起流动的改变。所以，在边界层外边界,图8-15 平板上的层流边界层,上 根据伯努力方程,可知，在边界层外边界上的压强也保持常数，所以，在整个边界层内每一点的压强都是

15、相同的，即，这样，边界层的动量积分关系式（8-41）变成,由于在上式中由三个未知数，所以需要再补充两个关系式。第一个补充关系式：假定层流边界层内的速度分布以 的幂级数表示为根据下列边界条件来确定待定系数,于是，层流边界层中速度的分布规律为（8-47）第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（8-47）得出：（c）为了便于计算边界层厚度，先求下列两个积分式：,（d）,（e）,将式（c）、式（d）和式（e)代入边界层动量积分关系式（a），得,因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为零，即，所以积分常数C=0。于是得边界层厚度为,将式（d）和式（e）代入式（8-43）和式（8-44），得,（8-48）,（

16、8-49）,（8-50）,将式（8-48）代入式（c），得切向应力为,在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力为,摩擦阻力系数为,（8-51）,（8-52）,（8-53）,平板的紊流边界层的近似计算,现在研究不可压缩粘性流体纵向流过平板的紊流边界层的近似计算。人们对流体在圆管中作紊流流动的规律已完整地研究过，普朗特曾经作过这样的假设：沿平板边界层内的紊流流动与管内紊流流动相同。于是，就借用管内紊流流动的理论结果去找积分关系式的两个补充关系式。这时，圆管中心线上的最大速度 相当于平板的来流速度，圆管的半径r相当于边界层的厚度，并且假定平板边界层从前缘开始就是紊流。,与圆管内一样，紊流边界层内速度

17、分布的规律也假定是1/7指数规律，这与实验测得的结果很符合，于是有,（a）,与式（a）相应的切向应力公式为式（5-14），即,（b）,其中沿程损失系数 在 的范围内用勃拉休斯公式计算：,将此式代入式（b），得,在以上雷诺数范围内，平均流速 约等于，将 代入上式，得,现在将圆管中心线上的 和r 用边界层外边界上的和 代替，则得,（c）,在边界层内沿平板壁面的压强是不变的，,据此，将式（a）和式（c）代入边界层的动量积分关系式（8-41），并化简整理可得：,（8-54）,（8-56）,（8-55）,将式（8-54）代入式（c），得切向应力为,（8-57）,在平板一个壁面上，粘滞力引起的总摩擦阻力为

18、,（8-58）,摩擦阻力系数为,（8-59）,根据实验测量，式中比较精确的系数数值是0.074，即,（8-60）,在推导平板紊流边界层的公式时，借用了圆管中紊流速度分布的1/7指数规律和切向应力公式，所以，以上所得结果只适用于一定的范围。实验证明，式（8-60）适用于；当 时，这个公式就不准确了，因为这时紊流边界层内的速度分布符合对数规律：,式中，为切向应力速度。由式（8-61）计算所得的平板紊流边界层的摩擦阻力系数 与 之间的关系画成如图8-16中的曲线3，普朗特和施利希廷（H.Schlichting）根据这条曲线写成如下的经验公式：,这公式的适用范围可以达到。后来，舒尔兹-格鲁诺（Schu

19、ltz-Grunow）对平板紊流边界进行了极其细致的测量，发现在边界层内靠外侧部分的速度分布有规则地偏离于圆管内对数规律的速度分布。他根据大量实测结果提出，平板紊流边界层的摩擦阻力系数的内插公式为其相应曲线如图8-16中曲线4所示，比曲线3的偏离小。,表81 边界层的近似计算公式,现将平板层流边界层和紊流边界层的各近似计算公式列于表8-1。,从表中可以看出，平板的层流边界层和紊流边界层的重大差别有：1）紊流边界层内沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快，也就是说，紊流边界层的速度分布曲线要饱满得多，这与圆管中的情况相似。2）沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快，因

20、为紊流的 与 成比例，而层流的 则与 成比例，在紊流边界层内流体微团发生横向运动，容易促使厚度迅速增长。3）在其他条件相同的情况下，平板壁面上紊流边界层中的切向应力 沿着壁面的减小要层流边界层中的减小慢些。4）在同一 下，紊流边界层的摩擦阻力系数比层流边界层的大得多，这是因为层流中的摩擦组力只是由不同流层之间发生相对运动而引起的，紊流中还有流体微团得很强烈的横向掺混，因而产生更大的摩擦阻力。,平板的混合边界层的近似计算,边界层内的流动状态主要由雷诺数决定。当雷诺数增大到某一临界值时，边界层由层流转变为紊流，成为混合边界层，即平板前端是层流边界层，后部是紊流边界层，在层流转变为紊流边界层之间有一

21、个过渡区。在大雷诺数下可以看成在某一截面上层流突然转变为紊流。由于混合边界层内的流动情况十分复杂，所以在研究平板混合边界层的摩擦阻力时，为了简化计算，作了以下两个假设（图8-17）：1）在平板的A点层流边界层突然转变为紊流边界层；2）紊流边界层的厚度变化、层流速度和切向应力分布都从前缘点O开始计算。,根据这两个假设，用下列方法计算平板的混合边界层的总摩擦阻力。令 代表混合边界层的总摩擦阻力，代表层流边界层的总摩擦阻力，代表紊流边界层的总摩擦阻力，则,式中，为转变点A至前缘点O的距离，和 各为层流边界层和紊流边界层的摩擦阻力系数。从上式可得到混合边界层的摩擦阻力系数为,式中，取决于层流边界层,表

22、82 A值与临界雷诺数 的关系,转变为紊流边界层的临界雷诺数，见表8-2。,这样，平板的混合边界层的摩擦阻力系数可按以下二式计算：,当 相当于A=1700时，式（8-65）在图8-16中以曲线5表示。综上所述，层流边界层的摩擦阻力系数比紊流边界层的摩擦阻力系数要小得多，所以层流边界层段越长，即层流边界层的转变点A离平板前缘越远，平板的摩擦阻力就越小。,曲面边界层的分离现象,如前所述，当不可压缩粘性流体纵向流过平板时，在边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的，而且整个流场和边界层内的压强都保持不变。当粘性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的速度 是改变的，所以曲面边界层内的压强也将同样

23、发生变化，对边界层内的流动将产生影响。曲面边界层的计算是很复杂的，这里不准备讨论它。这一节将着重说明曲面边界层的分离现象。,图818 机翼翼型上的边界层,边界层外边界,M,流体经过机翼翼型（或叶片叶型）的流动如图8-18所示，以 和 表示无穷远处流体流动所具有的速度和压强。流体绕过翼型前驻点后，沿上表面的流速先增加，直增加到曲面上某一点M，然后降低。由伯努利方程可知，相应的压强先降低（dp/dx0)。M点处边界层外边界上的速度最大，而压强最低。沿曲面各点法向的速度剖面和压强变化曲线的示意如图8-19所示。图中实线表示流线，虚线表示边界层的外边界。,图819 曲面边界层分离的形成示意图,首先从流

24、体在边界层内流动的物理过程来说明曲面边界层的分离现象。当粘性流体流经曲面时，边界层内的流体微团被粘滞力阻滞，动能损耗越大，减速也越甚。在曲面的降压加速段中，由于流体的部分压强势能转变为流体的动能，故流体微团虽然受到粘滞力的阻滞作用，但仍有足够的动能使它继续前进。但是，在曲面的升压减速段中，流体的部分动能不仅要转变为压强势能，而且粘滞力的阻滞作用也要继续损耗它的动能，这就使流体微团的动能损耗加大，流速迅速降低，其边界层不断增厚。当流体流到曲面的某一点S时，靠近物体壁面的流体微团的动能已被消耗尽，这部分流体微团便停滞不前。跟着而来的流体微团也将同样停滞下来，以致越来越多的被停滞的流体微团在物体壁面

25、和主流之间堆积起来。与此同时，在S点之后，压强的继续升高将使部分流体微团被迫反向逆流，并迅速向外扩展，造成边界层的分离。在ST线上一系列流体微团的切向速度等,于零，S点称为边界层的分离点。分离时形成的漩涡，不断地被主流带走，在物体后部形成尾涡区。在渐缩渐扩管的渐扩段中，或其他形式的渐扩管中，也同样有可能出现边界层的分离现象。,从以上的分析可得如下结论：粘性流体在压强降低区内流动（加速流动）时，不会出现边界层分离，只有在压强升高区内流动（减速流动）时，才有可能出现分离，形成漩涡。尤其在主流的减速足够大的情况下，边界层的分离就一定会发生。例如，在圆柱体和球体这样的钝头体的后半部分，当流速足够大时，

26、便会发生边界层的分离，这是由于在钝头体的后半部分有急剧的压强升高区，主流减速加剧的缘故。若将钝头体的后半部分改为充分细长形的尾部，成为圆头尖尾的所谓流线型物体（如叶片叶型和机翼翼型），就可使主流的减速大为降低，防止边界层内逆流的发生，避免边界层的分离。,绕过圆柱体的流动 卡门涡街,为了进一步说明边界层分离这一重要现象，可考察粘性流体绕过圆柱体的流动情况。把一个圆柱体放在静止的流体中，然后流体以相当于几个雷诺数（）的很低的速度 绕流它。在开始瞬间与理想流体绕流圆柱体一样，流体在前驻点速度为零，而后沿圆柱体左右两侧流动，流动在圆柱体的前半部分是降压，速度逐渐增大到最大值，在后半部分是升压，速度逐渐

27、下降，到后驻点重新等于零（图8-21，a）。以后逐渐增大来流速度，也即增大雷诺数，使圆柱体后半部分的压强梯度增加，以致引起边界层的分离（图8-21，b）。随着来流雷诺数的不断增加，圆柱体后半部分边界层中的流体微团受到更大的阻滞，分离点S一直向前移动。,当雷诺数增加到大约40时，在圆柱体的后面便产生一对旋转方向相反的对称漩涡（图8-21，c）。雷诺数超过40后，对称漩涡不断增长并出现摆动，直到 时，这对不稳定的对称漩涡分裂，最后形成几乎稳定的、非对称性的、多少有些规则的、旋转方向相反的交替漩涡，称为卡门涡街（图8-21，d）。它以比来流速度 小得多的速度 运动。图8-22所示为流体以不同雷诺数绕

28、过圆柱体的流动情况，从中可以清楚地看出圆柱体后面的尾流中一对漩涡的形成过程。图8-23所示为在椭圆柱体后形成的卡门涡街。对有规则的卡门涡街，只能在 的范围内观察到，而且在大多数情况下涡街是不稳定的。卡门证明，当 时，圆柱体后的卡门涡街只有在两列漩涡之间的距离h与同列中相邻漩涡的间距l之比为0.2806的情况下才是稳定的。,图8-24所示为卡门涡街的流谱。根据动量定理对如图8-24所示的卡门涡街进行理论计算，得到作用在单位长度圆柱体上的阻力为,式中的速度比 可通过实验测得。,（8-66）,圆柱体后尾流的流动状态在小雷诺数下是层流，在较大雷诺数时形成卡门涡街。随着雷诺数的增加（150Re300），

29、在尾流中出现流体微团的横向运动，层流状态过渡为紊流状态。到 时，整个尾流区成为紊流，漩涡不断消失在紊流中。,在圆柱体后尾流的卡门涡街中，两列旋转方向相反的漩涡周期性地均匀交替脱落，有一定的脱落频率。漩涡的脱落频率f 与流体的来流速度v 成正比，而与圆柱体的直径d成反比，即,式中的Sr就是斯特劳哈尔数，它只与雷诺数有关。根据罗斯柯（A.Roshko）1954年的实验结果，Sr与Re之间的关系如图8-25中实线所示。在大雷诺数（Re1000）下，斯特劳哈尔数近似地等于常数，即Sr=0.21。,（8-67）,根据卡门涡街的上述性质可制成卡门涡街流量计。在管道内以与流体流动相垂直的方向插入一根圆柱体验

30、测杆，在验测杆下游产生卡门涡街。在 范围内，斯特劳哈尔数基本上等于常数，测得了漩涡的脱落频率，便可由式（8-67）求得流速，从而可确定管道内流体的流量。这里，测定流量的问题归结为测定卡门涡街脱落频率的问题，而频率的测量方法有热敏电阻丝法、超声波速法等，这里不作介绍。漩涡自圆柱体后周期性地交替脱落，会形成对圆柱体的横向交变作用力，这是由于漩涡脱落的一侧柱面的绕流情况改善，侧面总压力降低，而漩涡形成中的一侧柱面的绕流情况恶化，侧面总压力升高。交变作用力的方向总是自漩涡形成中的一侧指向漩涡脱落的一侧，它交变的频率与漩涡交替脱落,的频率相同，它的作用将在圆柱体内引起交变应力。如果它的交变频率与圆柱系统

31、的共振频率相等，便会引起圆柱体的共振，产生很大的振动和内应力，影响圆柱体的正常工作，甚至会使圆柱体破坏。漩涡的交替脱落会使空气振动，发生声响效应，风吹电线发出的嘘嘘声便是常见的例子。在管式空气预热器中，空气横向绕流管束，卡门涡街的交替脱落会引起管箱中气柱的振动。特别是当漩涡的脱落频率与管箱的声学驻波振动频率相等时，便会引起强烈的声学振动，产生很大的噪声，甚至将管箱振鼓、破裂，破坏性很大，这要从合理设计管箱去解决。,相关的卡门涡街,物体的阻力 阻力系数,在讨论不可压缩理想流体的平行流绕过圆柱体无环流的平面流体时,曾经得出结论:流体作用在圆柱体上的压强的合力等于零。倘若无分离地绕流任一无限长的物体

32、，也可得到同样的结论。显然，这结论是和实际不相符的。事实上，即使粘性很小的流体绕流物体时，物体总是受到压强和切向应力的作用。这些力的合力F可分解为两个分力：与来流方向一致的作用力 以及垂直于来流方向的升力。与物体运动的方向相反，起着阻碍物体运动的作用，称为阻力。阻力是由流体绕过物体流动所引起的切向应力和压强差造成的，故阻力可分为摩擦阻力和压差阻力两种。,摩擦阻力是粘性直接作用的结果。当粘性流体绕过物体流动时，流体对物体表面作用有切向应力，由切向应力产生摩擦阻力，所以，摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来流方向上的分力的总和。压差阻力是粘性流体间接作用的结果。当粘性流体绕过物体流动，比如说绕过

33、圆柱体流动时，如果边界层在压强升高的区域内发生分离，形成漩涡，则在从分离点开始的圆柱体后部的流体压强大致接近于分离点的压强，这里的压强不能恢复到理想流体绕过圆柱体流动时应有的压强数值（见图7-33），这样，就破坏了作用在圆柱体上的前后压强的对称性，从而产生了圆柱体前后的压强差，形成压差阻力。而漩涡所携带的能量也将在整个尾涡区中被消耗而变成热，最后散逸掉。所以，压差阻力是作用在物体表面的压强在来流方向上的分力的总和。,压差阻力的大小与物体的形状有很大的关系，所以又称形状阻力。摩擦阻力与压差阻力之和称为物体阻力。对物体阻力的形成过程，虽然从物理观点看完全清楚，但是要从理论上来确定一个任意形状物体的

34、阻力，至今还是十分困难的。物体阻力目前都是用实验测得的。,层流边界层产生的物体表面上的切向应力比紊流的要小得多。为了减小摩擦阻力，应该使物体上的层流边界层尽可能长，也就是使层流边界层转变为紊流的转变点尽可能往后推移。流体绕流物体的最大速度（也就是最小压强）点位置对层流向紊流的转变点位置起着决定性的作用。我们知道，加速流动比减速流动容易使边界层保持层流，因此，为了减,小高速飞机机翼上的摩擦阻力，在航空工业上采用一种“层流型”的翼型，就是将翼型的最大速度点尽可能向后移，这可以通过将翼型的最大厚度点尽可能向后移来实现。但是，对这种翼型机翼表面的光滑度要求很高，否则粗糙度表面会使边界层保持不了层流。,

35、要减小压差阻力，必须采用产生尽可能小的尾涡区的物体外形，也就是使边界层的分离点尽量向后推移。由于边界层分离点的位置与边界层内压强升高区的压强梯度直接有关，所以物体的外形应使流经物体表面压强升高区的流体压强梯度尽可能的小些。圆头尖尾流线型的物体就具有这种外形，例如涡轮机的叶片叶型和机翼翼型都是这样。对具有流线型外形物体的绕流，在小冲角大雷诺数的情况下，实际上可以认为它不发生边界层分离，其阻力主要是摩擦阻力。,对于某些理论翼型，例如儒可夫斯基翼型，可以计算出作用在翼型上的阻力。任意的实际翼型的阻力目前还只能在风洞中用实验方法测定。为了便于比较，工程上习惯用无量纲的阻力系数 来代替阻力，即,式中，A

36、是机翼面积，对每单位机翼长度（单位翼展）而言，是弦长。对于任何形状物体的阻力系数，同样可用式（8-68），其中A是物体在垂直于运动方向或来流方向的截面积。,（8-68）,物体阻力的大小与雷诺数有密切关系。按相似定律已知，对于不同的不可压缩流体中的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同。例如平板的层流和紊流边界层的摩擦阻力系数公式（8-53）、公式（8-59）都指出，无量纲摩擦阻力系数只与雷诺数有关。因此，在不可压缩粘性流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体，其阻力系数为,图8-26和图8-27给出了圆球和圆盘以及无限长圆柱体的阻力系数与雷诺数的关系曲线。图中指出，对于

37、直径不同的圆球或圆柱体，在不同的雷诺数下测得的阻力系数点都排在各自的一条曲线上。在小雷诺数情况下，边界层是层流，边界层的分离点在物体最大截面的附近，并且在物体后面,形成较宽的尾涡区，从而产生很大的压差阻力。当雷诺数增加到在边界层分离以前、边界层已由层流变为紊流时，由于在紊流中流体微团相互掺混，发生强烈的动量交换，分离点将向后移动一大段，尾涡区大大变窄，从而使阻力系数显著降低。这现象把流动划分为所谓亚临界流动和超临界流动。对于圆球（图8-26），在 时，阻力系数从大约0.4突然急剧下降到0.1以下。对于圆柱体（图8-27），从 开始，到，阻力系数从大约1.2急剧下降到0.3。这种阻力的突然降低确

38、实是由于边界层内层流转变为紊流的结果。普朗特曾下面的实验证实了这一现象。他在紧靠圆球上层流分离点的稍前面套一圈金属丝，人工地把层流边界层转变为紊流边界层，结果在雷诺数小于,的亚临界时，阻力显著降低。这时，分离点从原来在圆球前驻点后约 处向后移到约。在超临界范围内，由于阻力大大减小，物体表面上的压强分布更加接近于理想流体的压强分布，如图7-33所示。下面讨论绕流儒可夫斯基翼型的升力系数与阻力系数。图8-28中的虚线代表由式（7-116）表示的理论升力系数曲线（斜率为 的直线）。图中的实线是（为翼弦长）时，对该翼型实测的升力系数和阻力系数曲线。实测的升力系数比理论上的略低些，在前面一段小冲角部分（

39、）接近斜率为 的直线。随着 角的增加，斜率逐渐减小，到了临界冲角（）升力系数达到最大值。以后，冲角继续增加，升力系数反而减小。这时，,流体在翼型的上表面形成较大的扩压区，以致引起边界层的分离。随着冲角的增大，分离点向前移动，在翼上表面的大部分及其后面形成很大的尾涡区，使翼型上、下表面的压差减小，因此升力和升力系数都急剧下降。最大升力系数的相应点称为失速点，因为超过该点飞机和涡轮机的性能均将恶化。再看翼型的阻力系数 与冲角 的关系。当冲角较小时，翼型前后的压差很小，总的阻力中摩擦阻力是主要的，阻力,和阻力系数变化不大。当冲角增大到接近失速点时，阻力系数才迅速上升，这是由于边界层分离，产生很大的尾

40、涡区，翼型前后的压强差急剧增加，产生了很大的压差阻力。在风洞中可以测定任何实际翼型在不同冲角下的升力和阻力，也可绘出与图8-28相似的升力系数和阻力系数与冲角的关系曲线。,边界层的控制,上节讨论了由于边界层的存在，当粘性流体绕过物体流动时，物体必然要受到阻力的情况。物体阻力是由摩擦阻力和压差阻力组成的。摩擦阻力的大小取决于边界层的性质：是层流还是紊流。压差阻力形式是边界层发生分离的结果，这时物体将受到更大的阻力。因此，为了减小物体阻力，并获得较大的升力，在实际应用中，常采取边界层控制的措施，以防止或延缓边界层的分离。,控制边界层的方法有两大类：1、改善边界层以外主流的外部条件来控制边界层的发展

41、，可防止分离的发生。例如在设计中采用流线型的物体、层流型翼型，对渐扩管选择适当的扩张角等。根据尼古拉兹在1929年的实测，渐扩管的半扩张角在 以上才出现分离。2、改善边界层的性质，有以下两种情况：（1）向边界层内减速的流体增加能量，提高速度，可防止或推迟边界层分离。有两种方法：一是用特殊的压缩机从物体内部射出流体，如图8-29（a）所示,接到后缘点D都不发生分离。用这种方法机翼可以在相当大的冲角下不发生边界层分离，并可获得很大的升力。（2）在边界层将发生分离以前，利用缝式抽吸把边界层内减速的流体吸入机翼内，如图8-29（c）所示。这样，在缝口后的机翼上表面形成新的边界层，可克服一定的压强升高，

42、避免边界层分离。采取适当的缝口结构，可以完全防止边界层分离，从而大大减小压差阻力。另外，适当布置抽吸缝口的位置，还可使边界层由层流向紊流的转变点向下游推移，以扩大层流区，减小摩擦阻力。,本章小结,不可压缩粘性流体的运动微分方程及其解析解边界层理论圆柱体绕流物体的阻力,思考题,什么是边界层？边界层有哪些基本特征？什么是边界层的分离现象？边界层的分离条件是什么？试推导边界层动量积分关系式。平板的层流边界层和紊流边界层有何区别？什么是卡门涡街？其频率与流速有何关系？粘性流体绕过物体流动时，其阻力一般分为哪几类？减小压差阻力和摩擦阻力各有什么办法？控制边界层分离的方法有哪些？,几个大家关心的问题,教材中不要求掌握的内容考试形式：概念（填空，简答）计算（含推导）答疑时间：考试前两天 地点：教IIIC209课件问题：密码:rn02123,谢谢大家！请多提宝贵意见！,