轴向拉伸和压缩课件.ppt

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1、轴向拉伸和压缩,第二章,2-1 拉压杆的内力,2-4 斜截面的应力,2-3 横截面上的应力,2-5 拉压杆的变形和位移,2-10 拉压超静定问题,2-11 装配应力和温度应力,2-6 应变能,2-9 强度计算,2-7 材料在拉压时的力学性能,2-8 应力集中,目 录,2-1 概述,2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例,轴向拉压的受力特点,作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。,轴向拉压的变形特点,杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。,拉绳,课堂练习：图示各杆BC段为轴向拉伸（压缩）的是（ ）,2-2 拉(压)杆的内力,内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分 布内力系的合力。（

2、附加内力）,研究内力方法：截面法,1. 内力的概念,FN 称为轴力,2. 轴力和轴力图,取左：,取右：,得,得,轴力正负号规定：,上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：, 截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。,代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）,平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。,轴力图：为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用图线的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系。这样的图线称为轴力图。,x轴表示横截面位置，FN轴表示对应该位置的轴力大小。,例 2-1 （书例2-1） 一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试作轴力图,几点说

3、明：（1）荷载将杆件分成几段，就取几段截面来研究,（2）轴力大小与截面面积无关,（3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力,解：1-1截面,2-2截面,3-3截面,例 2-2 试作轴力图,例2- 3 （书例2-2） 一受力如图所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的荷载。试作轴力图。,解：首先求出A端反力FR,由截面法可得AB、CD段轴力：,课堂练习：,1. 若将图（a）中的F力由D截面移到C截面（图b），则有（ ）,2. 横截面面积为A，长度为l，材料比重为 的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（ ）。,l,l/2,l/2,3. 作图示杆的轴力图,解：设坐标原点在自

4、由端，x 轴向右为正。取左侧x段为研究对象，内力FN(x)为：,思考题.图示杆长为l，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,l,q(x),单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，则细杆一定先强度不足而破坏。,1. 应力的概念,2.3 横截面上的正应力,从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为应力。,这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺寸有关。,应力的一般性定义 (书26页）,应力分量,应力：分布内力在一点处的集度,与强度密切相关,应力单位：,2. 横截面

5、上的正应力,为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解分布内力在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设，再利用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面上的分布规律。,平面假设：杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为平面，且仍垂直于轴线。,根据平面假设，相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的。再根据材料是均匀连续的假设，可以得出横截面上的分布内力是均匀分布的。,结论：正应力为常量,根据静力学求合力的概念,得,适用条件：（1）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）,（2）符合平面假设,Saint-Venant原理：,

6、当杆端以均匀分布的方式加力时，（2-1）式对任何横截面都是适用的。,当采用集中力或其他非均布的加载方式时，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，（2-1）式不再适用，然而影响的长度不超过杆的横向尺寸。,例 2-4 （书例2-3） 设例2-1中的等直杆为实心圆截面，直径d=20mm。试求此杆的最大工作应力。,FN，max=35kN （BC段）,危险截面：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面。,例2-5（书例2-4） 一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34

7、104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）,解：首先作出立柱的轴力图，如右图所示,由于立柱是变截面，必须求出各段的工作应力，经过比较才能确定最大正应力。,（压应力）,结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力（中段）,例2-5 （书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）,（压应力）,（压应力）,课堂练习： 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22

8、a型工字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重）,求应力, 局部平衡求轴力,查书附录的型钢表：NO.22a工字钢,A42cm2,2-4 斜截面上的应力,规定：从横截面按逆时针转到斜截面的a角为正，反之为负。,由平衡方程：FaF,则：,Aa：斜截面面积, 为斜截面上任一点的总（全）应力,仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程，可得到 斜截面上的应力也是均匀分布的，用p表示,为横截面上的正应力,斜截面上总应力：,将p 沿着斜截面的法线和切线分解：,切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。,正应力:,切应力:,（2-2）,2.5 拉(压)的变形和位移,一、轴向

9、变形,轴向伸长：,引入比例常数E，并注意到FN=F，得到,实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，不仅变形是弹性的，而且伸长量l与拉力F和杆长l成正比，即,E称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因而它是材料的一种力学性能，单位为Pa，工程中常用GPa。1GPa109Pa。其值与材料有关，由实验测定。例如Q235钢：E=200210GPa。EA称为杆件的拉伸（压缩）刚度。,纵向线应变：,上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。,胡克定律成立条件：正应力不超过材料的比例极限,二、横向变形、泊松比,横向线应变：,横向尺寸缩短量：,故 与 符号相反,实验表明,在材料正应力没

10、有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为,或写成,称为横向变形因数或泊松比,例2- 6 （书例2-5）,已知： AB段:A1 400mm2 BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa,求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。,（1） 变形：物体受力以后发生尺寸和形状的改变。,解：,杆的总伸长量,（伸长）,（伸长）,（伸长）,显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长（或缩短）。,因此，C截面与B 截面的相对位移是,因A截面固定，所以C截面的位移就等于AC杆的伸长,例2- 6 （书例2-

11、5）,已知： AB段:A1 400mm2 BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa,求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移(相对位移）和C截面的绝对位移。,（2） 位移：指物体上的一些点、 线、面在空间位置上的改变。,解：,课堂练习,1. 已知： AAB =500mm2 ABC =200mm2 ,E=210GPa,求：杆的总变形量。,解：,（1）作轴力图,（2）计算变形,计算结果为负，说明整根杆发生了缩短,（缩短）,2. 求AB杆的伸长量lAB,所以：,已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200GPa，l1=1m ；BC为正方形木杆a

12、=150mm ， E2=10GPa， F=30kN 。,求：B结点的位移。,解：,取节点B为研究对象,例2- 7 （书例2-6）,（1）受力分析并求1、2杆轴力,解得：,例2- 7 （书例2-6）,已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200GPa，l1=1m ；BC为正方形木杆a=150mm ， E2=10GPa， F=30kN 。,求：B结点的位移。,（2）求1、2杆变形,（3）求B结点位移,作位移图,例2-8 （书例2-7） 三杆的横截面面积均为A1000mm2，弹性模量均为E200GPa ， l=1m ； AB为刚性杆。求A、B两点的位移。,解：（1）受力分析：取AB为研

13、究对象,（拉力）,（伸长）,（2）变形计算,B,A,l,1,2,3,A2,B1,（3）求A、B点位移,课堂练习,3. 已知AB杆为刚性杆，P1=5kN，P2=10kN，l=1mm。CD杆的E=72GPa，A=440mm2，求A截面铅垂位移。,解（1）取AB杆，求CD杆的轴力,（压）,（2）计算CD杆的缩短量,（缩短）,（3）作位移图,几何关系：,2.6 应变能,所以，拉力F所做的功：,1. 应变能V,变形固体在外力作用下发生弹性变形的同时，内部将积蓄能量。外力撤去后，变形随之消失，弹性体内积蓄的能量也同时释放出来。弹性体伴随其弹性变形而积蓄的能量称为应变能（变形能）,利用功能原理求拉（压）杆的

14、应变能，略去能量损失,（外力功）W,V(应变能）,荷载F1在位移增量d(l1)上作元功:,（阴影图形面积）,A,B,故变形能为：,应变能国际单位：焦耳,2. 应变能密度v,应变能密度的国际单位：焦耳/米3（J/m3）,关于应变能的一些讨论：,（1）FN和A改变情况,（2）FN（x）或A（x）情况,用积分方法,（3）同种基本变形时不能用叠加法计算V,（4）有时利用应变能的概念可计算节点位移,例2-9 （书例2-8） 试计算书例2-6三角架内的应变能，并求节点B的铅垂位移。,解:,由前面可知：FN1=60kN， FN2=52kN,l1=1m， l2=0.866m,三角架内的应变能为,节点B的铅垂位

15、移与荷载F的方向相同，由弹性体的功能原理，荷载F所作的功在数值上应等于三角架内的应变能，即,于是节点B的铅垂位移为,2.7 材料在拉伸、压缩时的力学性能,杆件在外力作用下是否会破坏，除计算工作应力外，还需知道所用材料的强度，才能作出判断；前面提到的E、p等都是材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能，均属于材料的力学性能。,材料的力学性能取决于材料的内部条件和外部条件。内部条件指的是材料组成的化学成分、组织结构等。外部条件则包括构件的受力状态、环境温度、周围介质和加载方式。材料不同，环境不同，材料的力学性能也就不同。材料的力学性能必须用实验的方法测定。,本节主要介绍：低碳钢和铸铁在室温(20

16、。C)、静载下，通过轴向拉伸和压缩得到的力学性能。（材料最基本的力学性能）,一、低碳钢材料拉伸时的力学性能,碳钢的分类,低碳钢：含碳量0.25%的碳素钢中碳钢: 含碳量 0.250.55%的碳素钢高碳钢: 含碳量 0.552.0%的碳素钢,实验条件：,室温(20左右)、静载(载荷从零开始缓慢增加到力F),标准试件,万能试验机,电子试验机,试验设备,(1)弹性阶段Ob,整个拉伸过程分为四个阶段：,拉伸图,应力应变曲线,O a 段为直线，应力与应变成正比,(Oa直线的斜率),(2)屈服阶段bc,(3)强化阶段cd,是低碳钢的重要强度指标,是低碳钢的重要强度指标,(4)颈缩阶段de,伸长率：,断面收

17、缩率：,是低碳钢的塑性指标,卸载后，重新加载，加载路线基本沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做冷作硬化,二、其它材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁拉伸时的特点：,1.应力-应变曲线是一微弯的线段，无屈服和颈缩现象。,2.变形很小时，试件就断了，伸长率很小，是典型的脆性材料。只有一个强度指标 。沿横截面拉断，断口平齐。,三、材料在压缩时的力学性能,2. 低碳钢压缩时的E、ss与拉伸时基本相同。,3. 屈服以后，试件逐渐被压成鼓状，其横截面面积不断增大。,4.由于试件压缩时不会发生断裂，因此无法测定其强度极限。故像低碳钢一类塑性材料的力学性能通常由拉伸实验测定。,1. 低

18、碳钢压缩试样采用圆柱体，且h=d。,低碳钢压缩实验,铸铁压缩实验,2. 应力-应变曲线直线段很短，近似符合胡克定律。,3.压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多，即b,c=(3.55) b,t,4. 材料逐渐被压成鼓状,后来沿与轴线大约350方向断裂,主要是被剪断的。,1. 铸铁压缩试样也采用圆柱体，且h=2d。,2.8 应力集中,由前面可知，受轴向拉伸（压缩）的等直杆，其横截面上的正应力是均匀分布的。但是工程上有些拉压杆，由于实际的需要而有切口，切槽、圆孔等，以致这些部位的横截面尺寸发生突然的改变。光弹性实验和弹性理论的分析都表明，在横截面尺寸急剧变化的区域，横截面上的正应力已不再均匀分布。,

19、1、应力集中的概念,应力集中：由于截面尺寸突然改变而使应 力局部增大的现象,2、理论应力集中因数,3、生活中的例子包装袋上的小口、边缘做成锯齿状等,4、在静荷载作用下，由塑性材料制成的杆件可以不考虑应力集中的影响；质地均匀的脆性材料要考虑应力集中的影响；铸铁可以不考虑由于外形改变而引起的应力集中的影响。 在动荷载作用下，不论是塑性材料还是脆性材料均应考虑应力集中的影响。（十四章）,2.9 强度计算,由前面的分析可知，由塑性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的屈服极限s时，杆件将出现显著的塑性变形；由脆性材料制成的拉（压）杆的工作正应力达到材料的强度极限b时，杆件将发生断裂破坏。因此，把屈

20、服极限s 和强度极限b分别作为塑性材料和脆性材料的强度指标，统称为材料的极限应力，以u 表示，即,一.安全因数和许用应力,为了保证构件能够正常工作并具有必要的安全储备，不能用极限应力作为拉（压）杆最大工作正应力的限值，一般将极限应力除以大于1的因数n，作为工作正应力的最大许用值，称为材料的许用应力，以表示，即,二.强度条件,为了保证拉（压）杆具有足够的强度，必须使杆件的最大工作正应力不超过材料拉伸（压缩）时的许用应力，即,上式称为拉（压）杆的强度条件。,1.强度校核,已知荷载、杆件的截面尺寸和材料的许用应力，即可计算杆件的最大工作正应力，并检查是否满足强度条件的要求。这称为强度校核。,对于等直

21、杆，（2-15）式可改写成,应用强度条件可以进行三类计算：,考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工作正应力也可略大于材料的许用应力，一般认为以不超过许用应力的5%为宜。,3.确定结构的许用载荷,已知结构承受的荷载和材料的许用应力，即可算出杆件的最大轴力，并由此确定杆件的横截面面积。,已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可根据强度条件计算出该杆所能承受的最大轴力，亦称许用轴力,2.选择杆件的横截面尺寸,然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。,例2-10 （书例2-9）阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=9

22、00mm2。杆的材料为Q235钢，=170MPa。试校核该杆的强度。,解：,（1）作轴力图,（2）校核强度,由轴力图和各段杆的横截面面积可知，危险截面可能在BC段或CD段。,（压应力）,BC段：,CD段：,（拉应力）,故该杆满足强度条件。,结果表明，杆的最大正应力发生在CD段,相对误差：,例2-11（书例2-10） 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆材料为Q235钢，=170MPa，试选择钢拉杆的直径。（不计钢拉杆的自重）,1.42m,q,A,C,B,8.5m,钢拉杆,0.4m,0.4m, 局部平衡求轴力, 由强度条件求直径,为了经济起见

23、，选用钢拉杆的直径为14mm。其值略小于计算结果，但是其工作正应力超过许用应力不到5%。,例2-12（书例2-11） 如图所示的简易起重设备，AB杆用两根70mm70mm4mm等边角钢组成，BC杆用两根10号槽钢焊成一整体。材料均为Q235钢， =170MPa。试求设备所许用的起重量W。,解：,(1) 分别取滑轮和B结点为研究对象，求出两杆的轴力。,解得：,(2) 求两杆的许用轴力,例2-12（书例2-11） 如图所示的简易起重设备，AB杆用两根70mm70mm4mm等边角钢组成，BC杆用两根10号槽钢焊成一整体。材料均为Q235钢， =170MPa。试求设备所许用的起重量W。,查型钢表，得到

24、AB杆和BC杆的横截面面积分别为：,由拉（压）杆的强度条件计算各杆的许用轴力,(3) 求许用荷载W,例2-12（书例2-11） 如图所示的简易起重设备，AB杆用两根70mm70mm4mm等边角钢组成，BC杆用两根10号槽钢焊成一整体。材料均为Q235钢， =170MPa。试求设备所许用的起重量W。,由AB杆强度条件计算许用荷载:,由BC杆强度条件计算许用荷载:,所以结构的许用起重量是,课堂练习 1. 已知：q=40kN/m， s=160MPa,试选择等边角钢的型号。,解： (1)计算拉杆的轴力,（2）选择等边角钢型号,3.54cm2,查型钢表,取A3.791cm2，即等边角钢型号为40mm5m

25、m,也可以取A3.486cm2，即等边角钢型号为45mm4mm,如果取面积比计算的面积小，则必须满足5的要求。,2. 图示杆系中BC、AC杆的直径分别为d1=12mm，d2=18mm，两杆材料均为Q235钢，许用应力s = 170MPa，试按强度条件确定容许F值。,解：,取C节点为研究对象,例2-13（书例2-11）一高为l的等直混凝土柱如图所示，材料的密度为，弹性模量为E，许用压应力为，在顶端受一集中力F。在考虑自重的情况下，试求该立柱所需的横截面面积和顶端B截面的位移。,解：,（1）绘出立柱的轴力图,（压力）,（2）求立柱的横截面面积,由立柱的强度条件,得：,例2-13（书例2-11）一高为l的等直混凝土柱如图所示，材料的密度为，弹性模量为E，许用压应力为，在顶端受一集中力F。在考虑自重的情况下，试求该立柱所需的横截面面积和顶端B截面的位移。,解：,（3）求B截面的位移,（压）,所以：,