已知产品加速寿命测试模式研究.docx

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1、已知產品壽命之加速壽命測試模式探討以電磁接觸器為例湯 岳 儒國 立 交 通 大 學 機 械 工 程 學 系摘 要 隨著新時代產品的生產週期逐漸的縮短，如何在短時間內了解產品的壽命狀況與其可靠度的變化行為愈趨重要，如何擬定一套方法來縮短產品測試的時間，加速壽命試驗可達此一目的。 本文引用 Jayatilleka 及 Mogilevsky 等學者所提出的加速壽命試驗的理論和觀念，將其實際應用於電磁接觸器的加速壽命測試與可靠度分析研究。本文係透過不同操作頻度條件設定，進行產品的加速壽命測試，且於合理的短時間內取得產品失效數據，並求得產品之各種嚴苛應力下所對應之可靠度分佈的參數值及加速因子。同時推估其

2、正常使用條件的壽命，並與已知產品壽命比對其誤差在可接受的5%範圍內。文中並以圖解方式， 推估產品應用於各種不同應力水準下之壽命狀況，同時加速壽命試驗應用之嚴苛應力種類及水準範圍亦將被探討，期待藉由此研究，有助於對產品的加速壽命試驗相關探討有更清楚的了解。關鍵詞：加速壽命試驗、可靠度分析、嚴苛應力、加速因子Study on the Accelerated Life Test via Existing Product Life ModelA Case Study of ContactorYueh Ju, TangDepartment of Mechanical Engineering of Nat

3、ional Chaio Tung University ABSTRACT Its gradual to shorten production duration of new products had been required . Therefore, it must draft a plan to understand lifetime of product and the tendency of reliability versus time. Accelerated life test can be reached the purpose within the reasonable ti

4、me. In this thesis , the concept and theorem had been offered by scholars Jayatilleka and Mogilevsky etc. will be applied. Meanwhile the known life of a Magnetic Contactor had been acted as a vehicle to explored the accelerated life test procedures and reliability analysis. The different operation r

5、ating had been applied in test vehicles under accelerated life test and the failure data would be gotten at reasonable period. Based on the failure data and various extreme stresses the parameters of the Weibull distribution and the accelerated factors had been evaluated. Therefore the lifetime of t

6、est vehicle will be evaluated by the extreme stresses versus operating stress in accordance with the accelerated factor. The evaluated result error can be accepted within 5%. The graphical method is also applied to elevate the relationship of the product life versus various extreme stresses. At the

7、same time the classify and level range of extreme stresses are also be explored within the process of the study in order to understand clearly the related principle of accelerated life test.Keywords： Accelerated life test, reliability analysis, extreme stresses, accelerated factor.1. 緒論1.1 前言 在這個競爭激

8、烈的時代，時間已成為主宰企業產品成敗的關鍵因素，因此，如何爭取良好產品推出的時效，同時降低開發試驗費用，已成為各企業經營管理的目標之一。近年來，產品的生命週期愈發縮短，因此，誰能在最短時間內推出新產品，誰就會是贏家。在科技日新月異的今天，產品的可靠度也隨著顧客對品質的要求而相對的被重視，然而，可靠度指標必須借助產品的壽命測試數據以獲取結果；但產品壽命數據的取得，不易依正常的使用條件快速地來獲得，尤其對於高壽命的產品而言。因此，欲儘速獲取產品的失效數據以推估產品的可靠度值，一般可利用提高對於產品所施加之應力值方式，進行產品的加速壽命試驗，以期待產品在短時間內產生失效以獲取數據，再依其失效數據分佈

9、情形來作分析，並推估正常應力下之壽命分佈狀況。 加速壽命試驗是應用較正常情況嚴苛的條件，以期待在時間上加速產品的劣化程度，進而推定產品在正常使用狀態下的壽命分佈狀況或其失效率。如影響產品的劣化程度之條件單純，便很容易來擬定加速壽命試驗計畫，然產品的失效模式常因承受之嚴苛應力不適當，而導至失效模式不同於正常使用條件，且常因產品的失效條件複雜，若要對這些影響失效的因子均同時考慮以進行加速壽命實驗，誓必會因失效模式的不同而使得加速性不成立，也可能發生實用性不佳的加速壽命試驗模式；因此，為求擬定一適當的加速壽命試驗計畫，大都可透過事先了解產品的特性，再予以規劃，以免透過加速壽命分析的結果，無法正確推估

10、正常狀況下之結果。 本研究是以一已知壽命之電機產品，施以較正常使用操作條件嚴苛之應力，使其在短時間內產生失效，以獲取產品壽命失效數據之資訊，進而推估正常使用條件下之產品的可靠度與時間的關係，並由已知壽命之產品來驗証所建立之加速壽命推估模式及相關參數的正確性。 1.2 研究動機與目的 為了增快產品的推出的時機， 如何在有限的時間內以正常使用條件取得失效數據以完成產品的可靠度分析，明顯地有所因難，所以如何在短時間內了解產品的壽命分佈及其可靠度狀況是一重要的課題。由相關文獻中可得知加速壽命試驗可達此一目的，但常因推估壽命水準極高，所以無法來驗証所推估之壽命的分佈結果是否正確，故本研究動機乃利用一已知

11、壽命之產品，擬定一適當的加速壽命測試的方法，期望能在短時間內來獲取失效數據，進行分析數據並建立適當模式以推估正常應力使用下之壽命值。並由驗証實驗與廠商所提供之壽命值來相比對，計算其誤差值且判斷是否落於卡方分佈的範圍中。 本研究的目的將利用一符合國際電工規範IEC 400V/4.5Kw 容量20安培額定之市售電磁接觸器為例，配合可靠度與加速壽命試驗相關理論，應用不同種類之嚴苛應力，來規劃一適當的加速壽命試驗計畫。以往文獻中產品壽命測試與其失效數據分析，是以對於產品施以一嚴苛之應力值，觀察並分析其失效數據，並由美軍規範中查得相關參數值，可預估正常使用應力下的產品平均壽命與失效數據的分佈狀況。 本文

12、中對於已知壽命之電機產品施予多種之嚴苛應力，期望找到對於壽命影響程度較大之嚴苛應力種類，並由逐步加嚴試驗來決定應力等級。其中相關參數，如產品之消耗能量、電壓嚴苛應力之權重值等等，將以多水準的嚴苛應力施予產品之中，比較其失效情況可求得相關參數值，並將所估計得之平均壽命值，繪入對數圖紙中，透過相關迴歸分析原理，可在短時間內推得產品壽命與應力間的關係，再與正常使用條件下之壽命值相比較來驗証之。 2. 文獻回顧 為了能縮短所需測試的時間及花費之資源， 欲於短時間內評估產品的可靠度，常對予產品施加較嚴苛之應力，使產品早期發生失效，所進行之試驗稱為加速壽命試驗陳耀茂，2001。一般而言，加速壽命試驗考慮的

13、因素大多包含有3 個要素:分別為環境應力、測試時間及試驗所須之樣本數，如何在3種因素中選一適當值來進行實驗，並依其實驗結果來預估產品可靠度變化情形，實屬一重要課題。2.1 文獻回顧與探討 加速壽命試驗的成敗關鍵是如何掌握加速壽命試驗之加速因子(Accelerated Factor) ， 該加速因子可表示為將高低應力分別施於產品上，其產品失效結果的加速程度，再應用其結果去預估第3種應力試驗下之壽命。一般標準的電機電子類零件其加速壽命參數及可靠度模式，可由美軍軍方標準手 (MIL-HDBK-217D)及其相關規範中查得。也可利用熱應力如溫度來做為產品之嚴苛負苛或環境來加速獲得失效數據，其分析的方式

14、則可採Arrhenius 模式賴耿陽，1988；如為非熱應力如電壓等，則使用反乘幕法則(Inverse Power Law)模式阮光業，1990；如為複合應力模式(Combination Model)則可利用Eyring加速壽命試驗模式來估計壽命與應力間之關係賴耿陽，1988 ；除此之外，也可利用使用者對產品使用累積之經驗，建立零件所適用之加速壽命之模式，其中加速壽命試驗的方法可分為頻率加速，即增多間歇動作的反覆次數，或成連續動作而謀求頻率加速的有效性，另一方面則是加重動作應力或環境應力，短時間內使製品強製故障的方法，又稱強製劣化試驗賴耿陽，1988。在所施加之嚴苛應力中，通常施加一定應力，但

15、也有使用應力隨時間變化的逐步而加嚴的加嚴應力試驗。應力加速法須慎選應力的種類、大小等。所施予嚴苛應力中包含有環境溫度、濕度、產品所承受之應力、電壓及其增多間歇動作的反覆次數等，本章針對過去文獻中所提及實驗環境條件、方法及理論，回顧數篇文獻並歸納如下：2.2加速壽命試驗方法 可靠度試驗的目的在於驗証系統或產品是否能達到所要求的可靠度。因現代科技進步的緣故，產品壽命也逐漸的提升，但在現今社會裡，產品朝多樣化發展且汰換速度甚快，以至產品的生命週期甚短，為達快速地了解產品之壽命狀況，進而了解產品的品質並改善產品之品質達到理想的境界或要求，而欲於短時間內取得產品的失效分佈模式，可使用加速壽命測試來達此一

16、目的。加速壽命試驗是在物理與時間上，加速產品的劣化速度，以較短的時間試驗，獲取必要之壽命分佈數據，進而予以推估產品在正常使用狀態的壽命或失效率柯輝耀，1997。一般所使用的加速測試方式，有2種模式，其一為物理模式，其二為統計模式，在物理模式中是對於產品施予較嚴苛應力，再依其失效情況來推估正常使用應力下之壽命分佈，在所施予嚴苛應力中可分為熱應力、非熱應力與複合應力等； 其二為統計模式，其中若對於產品若已有了一些使用經驗，或是已知產品失效分佈相關公式，則可採用貝氏法則，另一方面則是找尋常態應力和嚴苛應力條件二者累積失機率函數(Cumulative Distribution Function；簡稱為

17、CDF)之間的關係，稱為時間轉換式阮光業，1990。2.2.1熱應力(Thermal Stress) 溫度的變化對於電機產品壽命影響，有十分密切的關係，因為電機元件其內部材質因溫度化學變化的速度是隨著溫度的不同而改變，這種關係在化學上是稱做Arrhenius equation 的關係阮光業，1990。 Kuhara 等討論有關光電二極管多硫亞氨之鈍化薄層(photodiodes passivated with polyimide thin film)之可靠度值，其應力水準分別採用110、130、150 的溫度下進行加速壽命試驗，假設該產品之可靠度服從韋氏分佈，則可利用韋氏機率圖紙來求得其形狀參

18、數約為2.2，其對應之平均壽命值分為為500 、1700、6000 小時， 並利用單邊對數圖紙來推估得活化能為0.8eV，進而推得在室溫條件下平均壽命為 107小時Kuhara, Y. et al.,1986 。 Dammann 等針對高電力流動轉換器(high electron mobility transistor；簡稱為HEMTs)，使用4種熱應力環境溫度(200、215、235、245 )來做加速壽命測試，將所得之平均壽命值為1000、400、50、25 小時，將所得之平均壽命值繪入單邊對數的Arrhenius 加速圖紙，求得其活化能可得為1.8eV，在於常溫下(25 ) 壽命為5x1

19、06小時 Dammann, M. et al.,1999。 Chou 等則是探討一高可靠度的高電力流動轉換器的生產過程，利用了一加速壽命測試條件電壓為1.2 伏特，電流為150 mA/mm，使用了3 個環境溫度分為215、230、250 ，來進行加速測試，將所得之平均壽命值繪至單邊對數的Arrhenius 加速圖紙， 來求得其活化能為2eV，進而推得在溫度使用條件為140，其平均壽命為1x108小時(11.4年) Chou, Y.C. et al.,2001。 Saito 等報告有關高效率的電力轉換器的加速壽命實驗， 之中使用的熱應力溫度為220、235、250 ，等3種不同溫度來進行加速壽命

20、試驗，其失效值可由繪入韋氏機率圖得其平均壽命值，再將所得之平均壽命值繪入Arrhenius 加速圖紙中， 其活化能可推知為1.3eV，可推得在125下，平均壽命值可達2x106小時Saito, Y. et al.,1992。 Young 等討論估定印刷電路板之可靠度， 其失效結果符合韋氏分佈，使用加速壽命試驗來估計其壽命分佈，其中電路板元件組合是多樣化且複雜的，且元件符合美軍軍方標準MIL-HDBK-217D，其中加速壽命試驗之加速因子是利用每一半導體元件其加速因子的權重的平均值來訂定。由於在控制操作條件之下，是由於熱應力所引起的失效，故符合使用Arrhenius 模式來處理，使用加速因子為9

21、0-100、其測試數為30 個試件，嚴苛環境溫度在125，其中活化能被估定為0.75eV，其推測結果可用chi-square 分佈來做檢定，其估計範圍在常溫下，平均壽命可達10 萬小時Young, C.R. et al.,1997。 Kyoung 等利用步階式熱應力的方式來找尋有關金屬半導體的場效轉換器(metal- semiconductor filed-effect transistors；簡稱為METSFET)的壽命值，及適當的嚴苛應力範圍，並決定其活化能，文中分別使用了常數應力加速壽命試驗， 在此中為不使得TiAs 滲入GaAs 塗層中，所施予之嚴苛溫度不可超過350，在此因而利用加速

22、壽命試驗溫度為300、320 、350 下所得之失效數據及平均壽命，分別繪入Arrhenius加速圖紙求得活化能為1.3eV，可推估得在於環境溫度在125 下其壽命值可達2x108 小時Kyoung, J. et al.,1998。 Bray 等討論3M公司所生產之資料卡帶(DC6150)，25 個資料卡帶使用了50、60、70 和90 之溫度應力，做老化加速壽命測試，將失效狀況求得平均壽命值，將之繪入Arrhenius 加速圖紙中，進而得知其活化能為1.92eV，可推得在40 的環境溫度來進而推估20年後的老化情形， 其資料顯示有90%把握可推得其可靠度變化情形Bray, A. V. eta

23、l.,1988。 Yang 等利用一電信系統中的電路板來做為實驗加速的介質，透過加速壽命實驗以了解其可靠度狀況，電路板元件包含了電信元件；微處理機、ROMS、RAMS、邏輯夾、電阻、電容器等等， 對予施加了2種熱應力，溫度為65、135 施予於元件，依其失效情況來估算失效率，列表指出電子元件之測試數據相符於MIL-STD-781，在失效率預估方面也利用了卡方分佈(Chi-square)來討論測試的樣本數為30 組來計算預測壽命之範圍， 其測試結果顯示在溫度25下其平均壽命可達105，加速因子為180Yang, C. R. et al.,1995。 由以上文獻可得知，產品對於熱應力有著良好之加速

24、率時，可使用Arrhenius 方程式來估得溫度負載與壽命間的關係，其中所使用之參數值；如活化能可由美軍軍方標準(MIL-HDBK-217D) 或相關規範(MIL-STD-781)中查得；或是由對於產品施予多水準的嚴苛應力後，將其所得失效數據繪入單邊對數的Arrhenius 加速圖紙中求得其相對關係。所預測壽命的範圍可使用卡方分佈來討論測試的樣本數與其間之關係。可於短時間推得產品於常態應力下的失效情形，以達加速壽命試驗之目的。2.2.2 非熱應力(Non-Thermal Stress)當所欲施加的嚴苛應力為非熱應力時， 且為電子、電機產品及材料疲勞等加速壽命試驗時，其壽命(Life )與環境應

25、力(stress) 的N 次方呈反比的關係王宗華， 1989， 產品之特性壽命(C haracteristic Life ) 通常可由韋氏分佈中求得，將在於不同應力等級下求得之特性壽命繪入雙邊對數圖紙中，可得到應力與壽命之關係， 然而式中之N 值可由圖中直線之負斜率而求得阮光業，1990。Jayatilleka 等根據先前的經驗來決定正常使用下之壽命分佈，討論輸送帶(transmission belt)的設計，此橡膠製的輸送帶主要是因為惰輪所施予之張力而使其損，文中利用了3 種不同的應力60、80、100磅的條件測得產品之失效數據，分別繪入韋氏機率圖紙中，估得形狀參數介於1.93-2.85 之

26、間， 估算其對應之平均壽命值分別為57、225、1750 小時，再配合Inverse Power Law 來估算應力與壽命間之關係，將不同應力下之平均壽命值繪至雙邊對數圖紙中，估算該產品於式中之N值為6.734，由式中可估得在正常操作應力條件為45 磅下之輸送帶壽命值約為12,000 小時Jayatilleka, S. et al.,2003。 Cramer 等討論有關電容器的可靠度，其中由於電容器的可靠度常被估計過高，所以使電容器通過一嚴苛應力為200伏特的測試下，將可在10 伏特應力條件下壽命值可達百小時至數百萬年，其中電容器的在高溫老化測試中並不是很明顯，其溫度對其壽命的影響很小，另一方

27、面也使用了常值電壓與斜率電壓來做加速壽命試驗的負載應力，其中利用5000 個電容器做實驗，使用了3 種電壓斜率為0.4、1.5、.0volt/sec，來預言5700 年的壽命狀況Cramer, H. et al.,1998。RAY 等討論有關石化工業上的圓柱焊接加速壽命測試，使用了不同的嚴苛應力等級為20、26.5、30MPa，其壽命值分別為116270、52031、16267 小時，將其壽命值繪入雙邊對數圖紙中，可推得在於拉應力值為10MPa 下其使用壽命值可達106 小時RAY, A.K. et al.,1998。綜合上述文獻可得知，當熱應力對於產品壽命影響很小，不符合加速壽命試驗之目的時

28、，可考慮改變負載的形式，如電壓、電流、機械應力、振動等，可使用Inverse Power Law 來估算應力與壽命間之關係， 可使用多水準應力下之平均壽命值， 繪至雙邊對數圖紙中，估算該產品於式中之N值，以推得壽命與應力間之關係。2.2.3 複合應力(Combination Stress)在加速壽命試驗中所施予之嚴苛應力中， 若同時使用了熱應力與非熱應力施予產品之中，可利用 Erying 模型來加以討論， Erying 是由Arrhenius 模式的反應速度論，將採用包含溫度應力以外的濕度、電壓、機械應力等應力的影響。一般電燈、液晶表示元件、電容器、絕緣材料等應力與壽命的關係也適用Erying

29、 模型賴耿陽，1988。Confer 等講述有關電容器的高加速壽命實驗(Highly Accelerate Life Test；簡稱HALT)，使用了電壓/溫度來做為加速因子，利用了55個試件，在加速壽命測試條件電壓值為400 伏特、溫度在140 下，加速率可達1735，其中加速壽命試驗之參數值如嚴苛應力為電壓時， 式中之N 值及溫度應力下的活化能皆可由美國軍方手冊217D 中可查得，可在短時間內推估得產品在正常使用應力下可達20年的使用壽命，並可檢驗出產品的早期失效與缺陷Confer, R. et al.,1991。Munikti 等報告有關多層陶瓷電容的加速壽命測試，可由加速壽命實驗來快速

30、地確認其缺陷及決定平均壽命，使用了2 種複合應力的加速壽命測試，使用了電壓應力值為400 及100伏特；熱應力溫度為40、125兩種複合應力值來做比較，文中可由美國軍方標準MIL-C-123A來查得活化能為1.19ev 、電壓加速之權重N 值為2.46， 加速測試可減小測試的時間，而高加速實驗的失效，歸因於製造程序上或是材料本身的缺陷，可由加速實驗快速的確認並決定其平均故障時間 (mean time to failure；MTTF)，可供製造上迅速改正缺陷和材料問題，且改善裝備可靠度Munikti, R. et al.,1988。Chiao 等討論矽晶的封裝(glass- silicon pa

31、ckage )，其失效模式經使用MLE 估計法則，合乎Lognormal 的模式，其中引用Arrhenius equation可得一加速率A 為3000 之加速條件，其中濕度值之N 值為3 是依經驗所得之，其活化能可由實驗中3 種不同溫度之失效率繪至單邊對數的Arrhenius 加速圖紙可得為2.5， 其結論在正常使用條件在35，1atm、95RH%下，平均失效時間可達270年，其平均故障時間在90%的信賴區間下為50-1700 年之間Chiao, M. et al.2002。Mogilevsky 等討論有關多層的陶瓷電容(Multilayer Ceramic Capacitor )，經由多種

32、不同高溫加壓加速條件測試，可繪出其在不同的電壓在200、400、800、1000 伏特下，環境溫度為150、175、200 中等不同的條件下之失效曲線， 利用反乘幕法則，將失效數據繪至雙邊對數圖紙中， 可推得其N 值約為3-5， 活化能Ea值為1.3，其中電壓電加速率約佔80%的失效率， 可推得其正常條件溫度在60，所使用電壓為50 伏特之壽命約為2x1010Mogilevsky, B. M. et al.,1988。由上述文獻中，可得知加速壽命試驗可快速地確認產品的可靠度並了解其失效分佈情形， 在一般所使用之嚴苛應力可略分熱應力，非熱應力及複合應力等，當產品對於熱應力有著良好的加速率時，可使

33、用Arrhenius 模式來討論應力與壽命之關係；但若產品所承受的嚴苛熱應力大小對其壽命值所造成之影響不甚明顯時，一般電子產品常使用電壓負載來進行加速壽命實驗，在所施予之電壓負載中，也有使用電壓隨時間而增加的逐步加嚴試驗，並與定值電壓的加速壽命模式做一比較；另一方面為了尋求更好的加速性，常使用綜合熱應力與非熱應力2 種應力的複合應力模式，文獻中常使用電壓與溫度負載合併使用，來加速產品的劣化程度。在加速壽命試驗中，其相關數學參數值；如活化能、電壓應力之權重值(N 幕次值)等，可利用美軍軍方標準(MIL-HDBK-217D)或相關規範中，查得其參數值，再依其代入相關數學式中，以預估產品在常態應力下

34、之壽命情形；另一方面也有使用多水準的應力等級，分別施予產品之中，觀察其失效情形，並使用了韋氏機率圖紙來判斷其失效行為是否有無異常，進而推得其參數值及壽命分佈狀況。由加速壽命文獻中，可了解到產品壽命對於所施予之嚴苛應力有著一定之關係存在，故本研究是以一已知壽命之產品(交流電壓120伏特接觸器)，來進行加速壽命試驗。因為初始時並不了解產品對於何種負載較為合適，所以分別對產品施予不同種類之嚴苛應力，包含有高溫負載、高低溫衝擊、嚴苛電壓負載、增加產品的使用次數(開關次數)等，以了解產品在何種負載下有著良好的加速性，並對於產品施予逐步加嚴應力測試，期待快速地決定產品應施予之應力等級，再對於產品施予多水準

35、的嚴苛應力，比較其失效情況，以求得相關參數值，推估求得產品於常態應力下之壽命狀況，並透過確認實驗來驗証平均壽命值是否在誤差範圍內，以証實此加速壽命試驗之數學模式，且建立一適當的加速壽命試驗計畫。2.3 研究流程 綜合以上文獻，可了解到加速壽命的方法與步驟，在上述所列之加速方法及應力， 將之整理， 且利用實驗室之資源來訂立加速壽命計畫， 使用應力可為環境溫度、包括了高低溫的熱衝擊、接觸器所承受之電壓及操作頻率等嚴苛應力，觀察其失效行為，並由多水準的應力等級中求得相關參數值，其流程如圖2.1 所示：圖2.1 加速壽命實驗分析流程3.可靠度理論與加速壽命測試探討 現代科技產品可靠度指標逐漸的倍受重視

36、， 在進行可靠度分析中，須依其產品失效狀況來加以評估，但欲獲取產品的失效數據時，常因產品的壽命水準極高，使得測試時間相對增加。在競爭的市場環境下，明顯地有所不足，因此如何在短時間內，了解產品的品質特性，尤其是可靠度的特徵，乃是一重要之課題。 由相關文獻中得知可透過加速壽命測試的方式來處理此一課題。加速壽命試驗一般是利用提高產品所承受之應力水準，可於短時間內迫使產品發生失效或損壞，進而推知產品在正常應力水準下之可靠度退化行為及壽命分佈狀況。 本章可分為2個部分，第1部分介紹有關可靠度的相關理論包括可靠度、失效率函數、常用壽命分佈及其對應參數的估計及檢定方法。第2 部分談到有關加速壽命的假設、使用

37、應力的分類與形式及失效數據分析。3.1 可靠度的相關理論 本節將就可靠度的重要基本理論、產品壽命數據分析過程， 逐一說明如后。3.1.1 可靠度相關名詞之定義 可靠度是以機率的形式來描述系統、產品或裝備在規定的使用環境條件下與特定的時間內，能順利完成預定任務的機率。根據上述定義， 可靠度為時間的函數， 可以機率形式表示如下Kapur K. C.et al.,1977：(J t) = R (t) t 0 (3.1.1)此處J 為一隨機變數，可代表失效時間。因此， R(t) 即為系統在t 時間以內仍可正常操作的機率。換言之，如可靠度被定義為成功的機率，或系統在某一時間t 以內，能順利完成其預定功能

38、的機率，而不可靠度函數則可用（ 3.1.2）式表示：F(t)=1-R(t)=p(Jt)= - = (3.1.2)此處(F(t) 稱為故障時間分佈函數或不可靠函數（ Unreliability function）。如果故障時間用隨機變數J 來代表，而J 的機率密度函數( f(t)與可靠度函數R(t) 之關係如(3.1.3)式R(t)=1- F(t)=1-(3.1.3)系統在一指定時間範圍（ t1 , t2）內發生故障的機率，可用不可靠度函數來表示（ 3.1.4）亦可用可靠度函數來表示為( ) (3.1.5 ）在此時間範圍（ t1 , t2 ）內，考慮兩時間點的可靠度變化比上此時間範圍的可靠度，

39、稱為失效率（ Failure rate ）。依此定義， 係設定產品於時間t1時仍可運轉正常的條件，因此失效率可表示為（ 3.1.6） 式( ) ( )(（ 3.1.6）如將考量的時間範圍令為（t,t+t ）， 則（ 3.1.6）式可改寫成（ 3.1.7）失效率函數（Hazard function） 定義為當失效率所考量時間變化t 接近於零時的極限值。換句話說失效率函數就是瞬間失效率。因此， (失效率函數 h(t) 可寫成 D（ 3.1.8）由此可知f(t)、R(t)、與h(t)三者間的相互關係，只要知道其中一個，即可求得其他兩者的函數Kapur K. C.et al.,1977。3.1.2 常

40、用壽命分佈產品或系統的可靠度，可由其失效數據再配合統計分析技術，來評估產品的可靠度隨時間變化情形。一般產品的失效數據，可應用統計上常用的分佈，快速地求得產品之可靠度函數，再經由數據檢定來加以確認批配於何種假定分佈。以下介紹幾種統計上常應用的函數及其特徵。(1) 指數分佈指數分佈(Exponential d istribution)，無疑是可靠度統計分析中使用最普遍的機率分佈， 因為指數分佈僅有單一參數，且該參數為常數，故具有無記憶（No memory）特性Kapur K. C.et al.,1977，因此產品之壽命數據若滿足該分佈， 則其對應之失效率等於該參數值，亦即該產品之失效率為常數。指數

41、分佈其機率密度函數為 (3.1.9)此處t 代表失效發生時間。至於可靠度函數從(3.1.3)式積分可得， 如（ 3.1.10）式所示 (3.1.10)可得知 MTTF=（ 3.1.11）此項分佈有一個參數，且0 。由（ 3. 1.9 ）與（ 3. 1. 10 ）式兩式相除可得知指數分佈之失效率函數，如（ 3.1.11）式所示 ( 3.1.12)(2) 韋氏分佈由於韋氏分佈的機率密度函數圖形具有多變性， 而且皆能夠適用於描述產品遞增或遞減的失效率，所以在可靠度領域的壽命分析上被廣泛地應用。其兩參數的韋氏分佈（ 2-parameter Weibull distribution），Elsayed,

42、A. E.，1996，其機率密度函數為( ) （ 3.1.13）由（ 3.1.13）式積分可得累積機率分佈率數為 （ 3.1.14）故其可靠度函數與失效率函數分別為 （ 3.1.15） （3.1.16）可得 MTTF= （ 3.1.17）其中， t 代表服從韋伯分佈的隨機變數， 在可靠度的壽命分析上而言， 一般皆為時間單位， 如操作時間、反覆次數、距離、里程等，式中，為尺度參數（ Scale parameter ） 或特徵壽命（ Characteristic life）；為形狀參數（ Shape parameter）。由圖3.1所示， 可知當形狀參數g 等於1 時， 失效率函數成為一常數，也就

43、是常見的指數分佈；倘若形狀參數g 值是介於0與1之間，表示產品的失效率為一遞減函數， 通常這種情形是發生在產品研發到成熟期間； 如果形狀參數 值大於1時，則表示產品的失效率為遞增函數，通常發生在產品磨損嚴重（Wear-out） 的磨耗期； 當形狀參數g 值約為3.63.8時，其特徵將接近於常態分佈柯輝耀，1997。圖3.1 韋氏分佈之機率密度函數、可靠度函數與失效率函數在韋氏機率分佈中可使用韋氏機率圖紙可簡單且快速地來求得已知假定分佈之參數值， 一般來說機率圖紙是將數據描繪在圖形用紙上，以估計所假定之分佈的母數或平均特性壽命值 陳耀茂，2001 。由3.1.14 式中可知( ) （ 3.1.1

44、8）在X軸之值使用ln(t)作為刻度值，透過此一座標的轉換， 將F(t)值與t值以X-Y 對數座標來看時， 可有一線性的關係，此種方式就稱為韋氏機率圖紙法，若失效數據分佈屬於韋氏分佈則繪至韋氏機率圖中之失效點作區線擬合結果，將呈一線性關係，其線性方程式之斜率值即為；截距值為) 。(3) 常態分佈常態分佈(Normal distribution)為品質工程與品質管制中最常運用的機率分佈，在可靠度分佈中亦屬於經常使用的機率分佈，若隨機變數t符合常態分佈，且以代表平均值(Mean)，為常態分佈之位置參數(Location parameter )， 代表標準偏差(Standard deviation)

45、， 即為常態分佈之尺度參數(Scale parameter)， 則其機率密度函數f(t)與累積分佈函數F(t)及失效率函數h(t) Kapur K. C.et al.,1977。使用代表標準常態分佈之機率密度函數， 則代表標準常態分佈之累積分佈函數。經此轉換，標準常態分佈即成為以座標原點為中心，左右對稱之鐘型分佈，且標準差為1。經由此一轉換，符合標準常態分佈之隨機變數的機率密度函數、累積分佈函數、可靠度函數及失效率函數分別為柯輝耀，1997：(4) 對數常態分佈對數常態分佈(Lognormal distribution)是壽命時間t 的對數且符合常態分佈 時， 所採用的失效時間機率密度函數。對

46、數常態分佈的機率密度f(t) 、累積分佈函數F(t) 、可靠度函數R(t) 與失效率函數h(t) (5) 應用常用壽命分佈匹配在估計可靠度的變化情況時， 一般可假定符合常用的壽命分佈，再應用估計法則來計算獲得其參數值，在可以獲得正確分佈之假定下是非常有效的手法陳耀茂，2001。一般可利用常用壽命分佈估計其可靠度函數值，常見的壽命分佈可分成下列4 種壽命分佈：a.指數分佈b.韋氏分佈c.常態分佈d.對數常態分佈(6) 壽命分佈檢定如前幾節所說明的統計推測的各種方法， 是假定失效數據服從某一壽命分佈，而所求得其參數之估計方法。在假定的分佈中，在許多的情形下，雖然可以利用某種事前的資訊來設定， 但實

47、際上所獲得的數據是否可以套用在由事前的資訊假定所建立之壽命分佈，並不能完全加以保證。因此，在假定分佈進行可靠性數據解析時， 到底假定的壽命分佈有無錯誤時，需要利用適合度檢定的方法進行確認。壽命分佈的統計檢定一般常使用的檢定法有卡方（ ） 檢定以及Kolmogorov-Smirnov（ 以下簡稱K-S） 檢定， 將於以下分別來討論之。a. 兩個假設在進行檢定時首先必須設立兩個假設， 一個叫做虛無假設(null hypothesis)，以H0 表示；另一個叫做對立假設(alternative hypothesis) ，令為H 1 。進一步的說虛無假設即對於母體的某一事實的假設或主張，假定為真實的，稱為虛無假設。另一假設稱為對立假設，說明母體24參數提出的另一個相對於虛無假設的反面假設或主張林惠玲，2000 。b.卡方分佈適合度檢定卡方適合度檢定的基本假設是將樣本數區分為Nc 個區間，則在每一個區間之數據正常地分佈之，且以期望為其平均值。若將Oi 與Ei 表示分別代表第i 個區間之觀察失效數與期望失效數， 則定義為柯輝耀，1997：( ) (3.1.38