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1、通化师范学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2012 届 ）题 目 置换矩阵的性质及其推广 系 别: 数 学 系 专 业: 数学与应用数学 班 级: 二 班 作者姓名: 居海丽 学号: 200806010204 指导教师: 高玉峰 职称: 助 教 学历: 研究生 论文成绩: 2012 年 5 月目 录摘 要.IAbstract.II1引言.1 1.1置换矩阵的定义.2 1.2广义置换矩阵的定义.22置换矩阵的性质.32.1置换矩阵的基本性质.32.2对称置换矩阵.7 2.2.1 对称置换矩阵的定义.7 2.2.2 对称置换矩阵的基本性质.73广义置换矩阵的性质.83.1广义置换矩阵的基本性质.8
2、3.2广义置换矩阵的判定.94置换矩阵的应用.94.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用.94.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用.115结束语.12致谢语.12参考文献.12指导教师评语.评阅人评语.置换矩阵的性质及其推广 数学系2008级2班 居海丽摘 要:本文介绍了置换矩阵和对称置换矩阵的定义和基本性质,探讨了广义置换矩阵的基本性质及判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.关键词:置换矩阵;对称置换矩阵;广义置换矩阵;模糊交换矩阵Properties and Promotion of Permutation MatrixClass2, 2008, Department
3、 of Mathematics Ju Haili Abstract:The passage is introduced from definition and basic properties of permutation matrix and symmetry permutation matrix ,then,some properties and determine methods of generalized permutation matrix are studied ,permutation matrix is discussed in lines - rows changed on
4、 matrix and fuzzy commute matrix. Keywords:Permutation matrix; symmetry permutation matrix; generalized permutation matrix ; fuzzy commute matrix- II -1引言 置换矩阵是布尔矩阵的特例,在代数学中占有重要地位,许多高等代数、矩阵论的书籍都有涉及.置换矩阵具有良好的特性与结构,对置换矩阵的定义和性质进行深入的研究是十分必要的.置换矩阵的推广形式在实际生活中也有重要应用.上世纪末,华罗庚教授就曾在研究“计划经济大范围最优化的数学理论”中引入了这类重要
5、的非负可逆矩阵广义置换矩阵.因此,本文也将探讨广义置换矩阵的性质及判定方法. 在下文将用到一些数学符号,在这里介绍一下:设是置换矩阵中的任意元素,所以,我们定义如下: (1),我们把“”叫做互补运算.即0的补为1,1的补为0. (2),我们把“”叫做并运算.即表示取元素中的大者. (3),我们把“”叫做交运算.即表示取元素中的小者. (4),我们把“-”叫做差运算. 其中“”,“”满足结合律. 为了使后文讲述的更加清楚,将他们分别应用于矩阵中,首先设为置换矩阵,以下事例中设 我们还得出以下式子成立 (1) 例 (2) 例(3) 例 (4) 例 (5)1.1置换矩阵的定义 如何研究好置换矩阵,对
6、它的定义分析是十分重要的,所以给出如下定义: 对于阶布尔方阵中任意的、行或列,当行列不相同时即（）时有如下式子成立 或 .我们把这样的布尔方阵叫做正交. 对于阶布尔方阵中的任意的、行或列,有如下式子成立 或 .我们把这样的布尔方阵叫做标准的.如果既是正交的又是标准的布尔方阵,我们称这样的矩阵为置换矩阵. 例 为置换矩阵. 由以上定义可以明确置换矩阵每行每列有唯一一个1,行列上的其它元素均为0.1.2广义置换矩阵的定义 设集合=1,2,为A到本身的一个映射,则我们可以得到和这个映射相伴随的矩阵,就是 或 ,就叫做与映射相伴的广义置换矩阵. 例 设集合A=1,2,3,4,5,则可以得到映射的相伴矩
7、阵为 从上面的例题可以看出广义置换矩阵是一种特殊的(0,1)矩阵.2置换矩阵的性质 第一部分介绍了置换矩阵与广义置换矩阵的定义,本节将研究置换矩阵和对称置换矩阵的性质及证明,并给出具体例子加以说明.2.1置换矩阵的基本性质 性质1 如果是置换矩阵,那么以下式子成立:,反之亦然. 证明 充分性 因为,则由定义知,所以是正交的, 又因为 所以是标准的. 必要性 因为是置换矩阵,所以存在正交性,则有,所以. 注 或. 例1设 则故有. 性质2 如果是置换矩阵,那么以下式子成立 (1); (2).证明 根据矩阵运算法则 . 例2 那么则有故. 性质3 如果分别是置换矩阵,具有相同的阶数,那么以下式子成
8、立 证明 同理. 例3 设,为阶置换矩阵, , 则 , 所以. 性质4 如果是置换矩阵,并且有,那么以下式子成立 证明 由已知可知是置换矩阵,故有,所以,所以. 例4 设 则有取所以 故成立. 性质5 如果,分别是已知的置换矩阵,那么以下矩阵方程有解,则其解为. 证明 因为,等式左右两边分别乘以,有,所以 . 例5 设 , 则当时, 此时符合题意,.即.2.2对称置换矩阵2.2.1对称置换矩阵的定义如果置换矩阵符合那么我们把它称为对称置换矩阵,.2.2.2对称置换矩阵的基本性质 性质6 如果是阶布尔矩阵,并且是对称置换矩阵,那么. 证明 因为是对称置换矩阵,则存在所以当时,则；当时,则故. 例
9、6 设为对称置换矩阵,令则. 性质7 如果是对称置换矩阵,那么以下式子成立 证明 由于,故得证. 例7 设 , 则 , 所以成立.3广义置换矩阵的性质3.1广义置换矩阵的基本性质 广义置换矩阵是置换矩阵的推广形式,下面的六个命题总结出了广义置换矩阵的基本性质,并通过证明得出这六个命题互相等价.命题1 如果是阶矩阵,那么以下命题是等价的:(1)是广义置换矩阵；(2)是广义置换矩阵；(3)是广义置换矩阵（为自然数）；(4)是广义置换矩阵,这里的,(5)是广义置换矩阵,这里的是置换矩阵；(6)或（）是对称正定的广义置换矩阵. 证明 (1)(2) 显然成立.(1)(3) 因为,故为广义置换矩阵.(1)
10、(4) 因为,故为广义置换矩阵.(1)(5) 因为,故为广义置换矩阵.(1)(6) 因为,故 为广义置换矩阵且为非奇异的,则还为正定的. (2)(3) 因为得证.(3)(4) 因为所以是广义置换矩阵,故得证.(4)(5) 因为,所以,所以是广义置换矩阵,所以得证. (5)(6) 因为,所以,所以是广义置换矩阵,所以,所以为对称的,非奇异,故还为正定.3.2广义置换矩阵的判定 本节首先给出广义置换矩阵的等价定义并给出两个广义置换矩阵的判定定理.定义1我们设代表阶矩阵,这里的,如果存在 ,那么就称为广义置换矩阵.引理1令为一个阶可逆矩阵,一个维的非负向量,它有唯一一个正分量,如果. 证明 (1)设
11、至少有一个正分量,否则,那么与已知条件相矛盾,所以至多有一个正分量.(2)可设有两个或两个以上正分量,可分别设为,由条件可得到下列式子成立 由于可知,则 为奇异矩阵,与可逆矛盾. 综上,则有唯一的一个正分量. 定理1 如果是广义置换矩阵存在置换矩阵和正对角矩阵使得. 证明 ()已知 ,所以, 故为广义置换矩阵.()因为并且存在,所以每一列只含有一个正元素,有因为可逆,则,所以得每一行只含有一个正元素,所以有置换矩阵和正对角矩阵使得,故有. 定义2对任意的阶实矩阵,如果与都为正对角矩阵,我们称为广义正交矩阵. 定理2 如果是广义置换矩阵为非负的广义正交矩阵.证明 ()为非负的正交矩阵,则且为广义
12、正交矩阵,则 和都为正对角矩阵,易推出是广义置换矩阵.()是广义置换矩阵,则存在置换矩阵和正对角矩阵使得,使得和都是正对角矩阵,故为非负的广义正交矩阵.4置换矩阵的应用4.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用定义3我们交换阶单位阵的任意行（或列）,从而得到的矩阵为阶置换矩阵.令是阶单位阵交换第,第两行（或两列）而得出的置换矩阵.定理3 置换矩阵左或右分别乘以,相当于交换了的第两行或两列.证明 设 则可以得到如果 则有 例8 设为8阶置换矩阵,则令 , 则得出第三行与第六行互换. 定理4 如果是阶置换矩阵,那么也是阶置换矩阵. 例9 则也为阶置换矩阵.4.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用 定理5
13、如果是阶置换矩阵,那么左（右）乘以模糊矩阵,也就是交换矩阵的几行（列）. 从而引出如下定义 定义4如果存在,当时,我们称叫做模糊交换矩阵.记做这里的,分别为阶和阶置换矩阵. 例10 设 , , 则那么叫做的模糊交换矩阵.记定理6 如果,那么是的模糊交换矩阵的充要条件是是的模糊交换矩阵.证明 必要性 因为,所以存在分别为阶和阶置换矩阵,则有,又由于也为阶和阶置换矩阵,那么,故.同理可证得充分性. 定义5如果是阶置换矩阵,并且有是非零模糊阵,则叫做的强模糊交换矩阵. 定理7 如果它是对称的充要条件是的强模糊交换矩阵也是对称的. 证明 ()令为阶置换矩阵,根据定义有是的模糊交换矩阵,又因为,所以得强
14、交换阵对称,必要性得证.()令,这里的是阶置换矩阵,并且,则有,又因为,故是对称的,充分性得证. 定理8 如果,那么是的强模糊交换矩阵的充要条件是是的强模糊交换矩阵.证明 ()令为阶置换矩阵,并且有,因为是阶置换矩阵,故也为阶置换矩阵,则有,所以是的强模糊交换矩阵.同理充分性可证.5结束语 本文介绍了置换矩阵,对称置换矩阵,广义置换矩阵的定义、性质及证明,探讨了广义置换矩阵的判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵的行列式变换和模糊交换矩阵两个方面的应用.在定义方面,本文主要介绍了置换矩阵和广义置换矩阵的定义及等价定义；在性质方面,介绍了置换矩阵和广义置换矩阵的基本性质,给出了证明过程,并通过具体事例加
15、以说明；在应用方面,探讨了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.置换矩阵在代数学,经济学等领域有很重要上的应用,其应用性质有待进一步研究. 致谢语 感谢高玉峰老师在论文写作过程中对我的热心帮助和悉心指导,也感谢帮助我的同学们！ 参考文献 1夏祖勋,陈国勋.布尔矩阵的特例置换矩阵J.镇江船舶学院学报,1986,1:74-79. 2晏林.广义置换矩阵J.陕西师范大学学报（自然科学版),2002,(30):60-62.3罗汉,邓远北.广义置换矩阵的性质J.湖南大学学报,1991,1(18):94-97.4王鸿绪,潘杰.关于置换矩阵的注J.辽阳石油化工高等专科学院学报,2001,3(17):54-57.5陈景林,董会英.关于矩阵的特征值J.首都师范大学学报(自然科学版),2002,4(23):22-23.6周积团.矩阵方程PX=XQ的解J.广东工学院学报,1996,1(13):23-27.7杨正民,勒宝琳.主对角线全为零的置换模式矩阵的惯量J.太原师范学院学报(自然科学报),2006,2(5):49-51.- 13 -
