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1、第4-6节 开关电容网络的分析,开关电容滤波器需要在时域对信号进行取样，所以属于取样数据滤波器，属于模拟滤波器。采用开关电容可以用标准的CMOS工艺设计和制造高精度、高质量的集成滤波器。但是，开关电容滤波器因为需要时域取样，所以有可能产生混叠。为了避免产生混叠，这种滤波器取样时钟频率必须为最高工作信号频率的两倍以上，于是限制了开关电容滤波器处理高频信号的能力。,时钟脉冲产生电路,4.6.1 什么是开关电容网络,由电容、运算放大器和受时钟控制的开关组成的有源网络称为开关电容网络。开关电容网络简称为SCN或SC网络。在MOS集成电路中，开关电容是一种技术，它是实现模拟信号处理的最流行的技术之一。用
2、开关电容技术实现的滤波器称为开关电容滤波器，简称为SCF。用SCF开关电容可以实现低通、高通、带通、带阻、幅度均衡和相位均衡等各种滤波功能。,为什么要研究开关电容网络,开关电容网络是适应高质量的集成滤波电路发展的需求而产生的。 早期的滤波器都是用无源RLC电路实现的，这种滤波器的滤波性能可以做得很好。但由于无源RLC滤波器中的电感在体积、重量和线性等方面存在的问题，限制了无源滤波器的使用范围和进一步的发展。 在20世纪60年代，随着集成有源器件和集成运算放大器的发展，人们开始用有源器件取代RLC滤波器中的电感，从而产生了有源RC滤波器。有源RC滤波器的出现是滤波器领域的一次革命性的变化，使滤波
3、器技术得到了飞速的发展。,有源RC滤波器在体积、重量和增益方面的明显优点。特别重要的是，有源RC滤波器的基本原理和一些基本电路仍然是目前实现大规模和超大规模集成电路的基础。有源RC滤波器在集成实现时遇到很多问题： 不便于用MOS工艺直接集成。有源RC滤波器可以用混合集成技术集成，但这种技术与目前的主流集成技术不兼容。目前的主流集成工艺是MOS集成工艺。体积较大，需占用较大的芯片面积。在MOS工艺中，为了不占用过大的芯片面积，很少能将MOS电容做到大于100pF。元件的精度不高。用MOS工艺集成电阻和电容时，都会有510的误差。,开关电容网络是由受时钟控制的开关、电容以及运算放大器组成的网络。其
4、核心是用开关和电容组成的等效电阻去替代实际的电阻。,两个开关K1和K2在实际电路中是两个由时钟脉冲1和2控制的MOS管T1、T2实现的。,2. 开关电容并联等效电阻的原理分析(1)在上图(c)中，设初始时刻为t=(n1)T。这时1为高电平，2为低电平；MOS管T1导通，T2截止； 电压V1通过MOS管T1给电容C充电。C中的电荷为CV1。(2)在t=nT时刻，1为低电平，2为高电平。 这时MOS管T2导通，T1截止。电容C通过MOS管T2放电，C中的电荷为CV2。(3)在从t=(n1)T到t=nT的一个时钟周期T内，由V1端向V2端传送的电荷为：,若定义平均电流,为一个周期T内流动的电荷Q,则
5、有：,(4)从上式可以看出，V1和V2之间的伏安关系可以等效为一个电阻，其等效电阻如上图(b)所示。等效电阻的阻值为：,上式中，fc是用来控制开关的时钟脉冲的频率。在该电路中，由于电容C和电路的输出端是并联的，所以称为开关电容并联等效电阻电路。从上式可以看出，开关电容等效电阻Req的大小与电容值和时钟频率成反比。,例4.6.1 在上图中，若电容C=10pF，时钟频率fC=100kHz，求等效电阻。,解：,这就是说，如果电容取10pF，时钟频率取100kHz，上图所示的电路就等效于一个阻值为1M的电阻。 在以上的分析过程中，我们假设电压V1和V2在开关导通时是不变的。实际上只要时钟频率远大于信号
6、频率，这个假设就可以基本满足。,4.6.2 寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路,寄生电容不敏感的开关电容串连等效电阻电路如下图(a)所示。该电路由四个开关和一个电容组成。下面分析它的工作原理。,(a),(b),(c),在t1时刻，时钟1为高电平，MOS管T1、T2闭合，C被充电到,在t2时刻，时钟2为高电平，MOS管T3、T4导通，T1、T2截止。电容C通过MOS管T3、T4放电。C中的电荷为：,这样在一个时钟周期内， 平均电流,为：,从上式可以看出，V1和V2之间等效电阻的阻值为：,图(b): R=1/(fcC)。在开关电容网络设计中经常用改换时钟配置的方法来实现不同功能的电路。优点:
7、 寄生电容不敏感。,4.6.3 开关电容双线性等效电阻电路,开关电容双线性等效电阻电路如下图所示，该电路也是由四个开关和一个电容组成的。,上图的电路中，在t1时刻，时钟1为高电平，2为低电平， MOS开关管T1、T4导通，T2、T3截止。C被充电， 电荷为：,在t2时刻，时钟1为低电平，2为高电平， MOS管T2、T3导通，T1、T4截止。电容C先通过MOS管T2、T3放电，然后接着反向充电。C中的电荷为反向充电电荷，其值为：,从上式可以看出，V1和V2之间的等效电阻阻值为：,4.6.4 有源RC积分器和开关电容积分器,有源RC积分器是实现有源滤波器最基本的功能块。同样，开关电容积分器是实现开
8、关电容滤波器最基本的功能块。实现开关电容积分器的具体方法是将有源RC积分器中的电阻R用开关电容等效电阻取代，就可以得到开关电容积分器。 图(a)是一个有源RC反相积分器， 图(b)就是用开关电容并联等效电阻实现的一个开关电容反相积分器。两相开关驱动脉冲1和2采用图(c)所示的脉冲。,电路输出端的右边多画了一个1相开关，表明这个积分器后面所接的电路在1相脉冲时对积分器的输出电压Vout取样，我们称这样的电路是在1相脉冲时输出。,上图(a)所示的有源RC反相积分器电路输入和输出之间的关系为：,进行Laplace变换得：,转移函数为：,R1用开关电容等效电阻替换，得图(b)所示。为了求该电路的s域转
9、移函数，将开关电容等效电阻值代入上式得到上图(b)所示该电路的转移函数为：,开关电容积分器的频域转移函数，以s=j代入上式，得：,注意：当时钟频率fc一定时，开关电容积分器转移函数仅是电容比C1/C2的函数。由于开关电容等效电阻仅是一个近似的关系，所以，上式所示的开关电容积分器s域的转移函数也只是一个近似的转移函数。要得到该积分器精确的转移函数，需要研究电路中所发生的物理过程，根据电路中的电荷平衡关系求出转移函数。,4.6.5 开关电容积分器的z域转移函数,下面以上图(b)的开关电容反相积分器为例，从电荷守恒原理出发，推导出该积分器精确的转移函数。 分析条件：均假设电路中的运放和开关都是理想的
10、。 分析方法：设初始时刻电容C1、C2上的电压为零，初始电荷为零，开关脉冲的周期为T。由于电路的状态每间隔T/2变化一次，我们每间隔T/2分析一次电路的工作状态。,当t=nT时，1为高电平， 2为低电平。1使T1导通，2使T2截止。输入电压Vin通过T1对电容C1充电，而运算放大器被隔离。此时的等效电路图如下图所示。,电路的输出电压为,经过半个时钟周期之后，在t=(n+1/2)T时刻，1为低电平，2为高电平。1使T1截止，2使T2导通，C1与运放的反相输入端相连通。由于运放的反相输入端为虚地， C1经运放的虚地端放电。此时的等效电路图如下图所示。,由于理想运放的输入电流为零，所以C1的放电电流
11、就流过C2。由于电路中的电阻为零，于是电容C1的电荷瞬间传给电容C2。也就是说，C2中现在的电荷C2Vout(n+1/2)T是C2中原来的电荷与C1中原来的电荷之代数和C2Vout(nT) C1Vin(nT)。在2的高电平结束时的电荷关系可表示为：,需要注意的是，当输入电压Vin为正时就会在C2两端产生一个负的电压。所以，C2中原来的电荷与C1中的电荷是相减的。,由于t=nT时电路的输出电压Vout(nT)=0，所以C2中的实际电荷为：,电路的输出电压为：,由上式的差分方程可以看出，该电路是一个积分器。式中的负号表示该积分器是一个反相积分器。,再经过半个时钟周期之后，从t=(n+1)T时刻开始
12、，电路重复以前的工作过程。所不同的是，电容C1上的初始电压不再为零。具体过程是： 1使T1再一次导通，C1充电。2使T2再一次截止。一旦2使T2再一次截止，C2中的电荷就保持不变直到下一个周期2再次上升为高电平。所以，在t=(n+1)T时，C2中的电荷C2Vout(n+1)T与(n+1/2)T时刻C2中的电荷C2Vout(n+1/2)T相等，没有电荷传给C2，即：,于是有：,将上式两端同除以C2，并使用离散时间变量Vi(n)=Vin(nT)和Vo(n)=Vout(nT)，可得到4.6.5中图(b)所示开关电容积分器电路的电压关系为：,对上式取Z变换得：,可得到开关电容积分器电路的Z域转换函数为
13、：,一般情况下，转移函数z的负幂都要消去，因此，上式通常表示为：,由上面的分析可知，该电路总是在1为高电平时对输入电压Vin取样，输出电压Vout 也在1为高电平时输出。输入电压Vin经过一个时钟周期后传到输出端。其中， 转移函数H的上标 11表示电路的输入在1控制时取样，在1控制时输出。,注意: 当输入电压为Vin为正时，就在C2两端产生一个负的电压，从而使积分器产生一个负的输出。所以，该积分器是一个反相积分器。上式中的负号就说明该积分器是一个反相积分器。积分器的增益为C1/C2。 如果电路在2为高电平时输出，则输入电压Vin经过半个时钟周期后传到输出端。电路的输出为：,电路在2为高电平时输
14、出的转移函数为：,注意: 当输入电压Vin为正时，就在C2两端产生一个负的电压，从而使积分器产生一个负的输出。所以，该积分器是一个反相积分器。上式中的负号就说明该积分器是一个反相积分器。积分器的增益为C1/C2。 如果电路在2为高电平时输出，则输入电压Vin经过半个时钟周期后传到输出端。电路的输出为：,电路在2为高电平时输出的转移函数为：,其中，上标 21表示电路的输入在1为高电平时取样，在2相为高电平时输出。,设电路的输入电压为1V，输出在2相取样，则电路的输出波形如下图所示：,4.6.6 开关电容积分器的频域转移函数,令z=eT，可以得到相应的开关电容积分器的频域转移函数为：,在1的条件下
15、，即时钟频率比信号频率高得多的情况下，ejT可用Taylor级数展开为：,将ejT的Taylor级数展开代入，忽略高次项可得：,例4.6.2 试证明在信号频率f远小于开关时钟频率fc的条件下，4.5.3 中图(b)所示的开关电容积分器电路的Z域转移函数与连续时间信号的转移函数式近似相等。 解：电路的Z域转移函数转移函数H(z)可表示为：,为了计算上式的频率相应，可利用如下关系：,于是有,上式分子中的z-1/2只表示取样的延迟，可以忽略。于是，该转移函数近似等于一个增益常数为(C1/C2)的连续时间积分器的转移函数。,则,4.6.7寄生电容对开关电容积分器的影响,开关电容电路中的寄生电容对电路转
16、移函数影响。开关电容积分器中的寄生电容如下图中虚线部分所示。,上图中Cp1代表由电容器C1顶板产生的寄生电容以及两个开关管T1和T2产生的非线性寄生电容。Cp2代表电容器C1底板的寄生电容，Cp3代表电容器C2的顶板产生的寄生电容、运放的输入电容和开关管T2的电容。Cp4代表电容器C2的底板产生的寄生电容以及运放输出端接的负载电容。,Cp2的两端总是接地的，Cp3总是接在虚地和地之间，所以它们的充放电过程对电路的工作没有影响。Cp4接在运放的输出端，它对运放的工作速度有影响，但不影响运放的输出。然而，因为寄生电容Cp1和开关电容C1是并联的，因而它影响电路的转移函数。考虑Cp1的影响以后电路的
17、转移函数为：,由上式可以看出，积分器的增益系数与寄生电容Cp1有关。为了克服Cp1的影响，就要采用寄生电容不敏感的积分器。,开关电容反相积分器的寄生电容对电路特性的影响较大，也就是说这种电路对寄生电容是敏感的。在实际应用中，总是希望采用对寄生电容不敏感的开关电容积分器，从而减小寄生电容对电路性能的影响。如果用前面导出的任一种开关电容等效电阻取代有源积分器中的电阻，都可以构成开关电容积分器，从这样实现的开关电容积分器中可以筛选出一些对寄生电容不敏感的电路。下面介绍几种常用的对寄生电容不敏感积分器。,4.6.8 寄生电容不敏感的开关电容积分器,4.6.8 对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器,1.
18、 电路 下图是一个反相开关电容积分器。它是由寄生电容不敏感的开关电容串连等效电阻电路取代有源RC反相积分器中的电阻而组成的。该积分器的优点是对寄生电容不敏感。,2. 转移函数 由于该积分器的输入端的MOS管T1是由1相时钟控制的，所以该积分器总是在1时钟为高电平时对输入信号Vi进行取样。该积分器的转移函数只与下一级电路对该积分器输出电压的取样时刻有关， 即与MOS管T5的控制脉冲是1还是2有关。 下面分析当T5的控制脉冲的相位是1时（如上图所示），该积分器的转移函数。,在(nTT/2)时刻，2时钟为高电平。由2时钟控制的MOS开关管T3、T4导通，使电容C1中的电荷放电至零。这时，由于T2没有
19、导通，电容C2中的电荷保持不变，为CVo(nTT)。电荷平衡方程为：,在(nT)时刻，1时钟为高电平。由它控制的MOS开关管T1、T2导通。C1被充电到Vi，C1的充电电流也流过C2，影响C2中的电荷。当1的高电平快结束的时候，C2中的电荷量C2Vo(nT)等于1还没有达到高电平时的值C2Vo(nT-T/2)减去1为高电平时C1被充的电荷C1Vi(nT)。,电荷方程如下：,注意:在上式中，C1中的电荷为C1Vi(nT)而不是C1Vi(nT-T)。这是因为在1高电平之前C2中的电荷与该时刻的输入电压Vi(nT)有关，所以该积分器的输出和输入之间没有延时。,将上述两式整理，采用离散时间变量，得：,
20、对上式两端取z变换，得到寄生电容不敏感的反相积分器的z域转移函数为：,上式的分子为纯实数，说明该积分器没有延迟。该式常表示为：,用同样的分析方法可以得到输出端在2相取样时该积分器的转移函数为：,3. 寄生电容的影响 为了分析寄生电容不敏感的积分器的特性，考虑积分器的寄生电容如下图所示。,寄生电容对该积分器的影响： Cp3：总是接在虚地和地之间，所以它们对电路的工作没有影响； Cp4：接在运放的输出端和地之间，它对运放的工作速度有影响，但不影响运放的输出； Cp1：当1为高电平时，Cp1和C1同时被充电到Vi而不影响C1中的电荷。当2为高电平时，Cp1被开关管T3短路放电，它的放电电流不会通过C
21、1而影响C2中的电荷积累。所以它也不影响积分器的工作。,Cp2：要么通过开关管T4接地，要么是通过T2接运放的虚地端，所以它也不影响积分器的工作； 总之，上图中所有的寄生电容会影响积分器的建立时间，但不影响离散时间的差分方程，从而不影响积分器的工作。所以该开关电容积分器是一个寄生电容不敏感的积分器。又由于它的输出和输入的相位是相反的，所以称为寄生电容不敏感的开关电容反相积分器。,如何判断一个开关电容电路是对寄生电容不敏感的电路？ 方法：如果一个寄生电容在开关切换时无充放电作用，则该电容不影响电路的工作。如果一个寄生电容在开关切换时有充放电作用，但该寄生电容是并接在电压源、运放输入端或地之间，则
22、该电容不参与电荷的传输过程，从而不影响电路的工作。如果一个开关电容电路中的所有寄生电容都不影响电路的工作，则该电路是对寄生电容不敏感电路。,4.6.9 对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器,1. 电路 前面介绍了寄生电容不敏感的开关电容反相积分器，对开关控制信号进行适当的变化，就可以得到寄生电容不敏感的开关电容同相积分器，如下图所示。就电路结构而言，这两个积分器是完全一样的，只是时钟的配置不同。在开关电容网络设计中经常用改换时钟配置的方法来实现不同功能的电路。,2. 转移函数 在 (nTT) 时刻，时钟1为高电平。由1时钟控制的MOS开关管T1、T4导通，使电容C1被充电至C1Vi(nTT)，
23、电容C2中的电荷为C2Vo(nTT)。,在(nTT/2)时刻，时钟2为高电平。由2时钟控制的MOS开关管T2、T3导通，使电容C1向电容C2反向充电，由于电容C1接在虚地和地之间，它上面的电荷为零。电容C2中的电荷为C2Vo(nTT/2)。电荷守恒方程为：,在(nTT)时刻，运放的输出电压值V0(nT-T)与前半个周期(nT-T-T/2)时刻输出电压值Vo(nTTT/2)一样。即,将上述两式整理，得电荷守恒方程为：,在nT时刻，输入电压又向C1充电，而输出Vo维持不变，即,相应的z变换为：,经整理可求得转移函数为：,4.6.10 对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器,1. 电路 有源RC阻尼积
24、分器如下图(a)所示。它的转移函数是：,其中，R1/R2代表阻尼项。,用开关电容并联电阻取代上图(a)中的电阻，可以得到上图(b) 所示的开关电容阻尼积分器。,2. 转移函数 在(nTT)时刻，由1时钟控制的MOS开关管T1、T4导通，使电容1C被充电至1CVi(nTT)，电容C中的电荷为CVo(nTT)。电容2C被充电至2CVo(nTT)。,在(nTT/2)时刻，由2时钟控制的MOS开关管T2、T3闭合，C中的电荷为：,由上图可以看到， 由于开关管T4由1时钟控制，于是有：,整理得：,在(nT) 时刻，由1时钟控制的MOS管T1、T4重新导通，电荷守恒方程为：,对上式取z变换，并整理可求得转
25、移函数为：,可以看出，上图(b)实现的是一个反相阻尼积分器电路。上式分母中的2z-1项代表由电容2C和MOS管T3、T4组成的开关电容等效电阻所产生的阻尼作用。,很明显，该积分器是一个寄生电容敏感的阻尼积分器。寄生电容不敏感的反相阻尼积分器电路如下图所示。,4.6.11 开关电容积分器的信号流图分析,利用列写一个开关电容电路电荷平衡方程的方法研究开关电容网络的优点是概念清楚，其缺点是分析过程比较麻烦。特别是对于比较复杂的电路更是如此。通过一些规律用信号流图的方法来分析和研究开关电容电路。为了研究信号流图的方法，考虑下图所示的三输入端相加积分器电路。根据叠加原理可知，以Vi1(z)作为输入信号而
26、其他两个输入信号Vi2(z)和Vi3(z)都为零时时，其输入输出关系为简单的反相比例关系。,该电路通过比例因子(C1/CA)对电平进行调整，当(C1/CA)1时，电路具有放大的作用；当(C1/CA)1时，电路具有衰减信号的作用。其输出为：,当Vi2(z)单独作为输入信号而其他两个输入信号Vi1(z)和Vi3(z)都为零时，该电路的输入输出的关系为同相积分器。其输出为：,当Vi3(z)单独作为输入信号而其他两个输入信号Vi1(z)和Vi2(z)都为零时，该电路的输入输出的关系为反相积分器。其输出为：,因为电路的右端有一个1相的开关T5，所以以上三个输出都在1为高电平时取样。,根据上述三式，利用叠
27、加原理可得上图电路的输出电压V0(z)为：,该式的电压关系可以利用下图的信号流图表示。,可以看出，电路中与运放有关的部分在信号流图中用方框图(1/CA)1/(1z-1)表示。电路的三个不同输入支路在信号流图中用三个不同的因子表示。对于包含电容C1的输入支路，其增益因子为C1(1z-1)。对于有延迟的开关电容C2输入支路，其增益因子为C2z-1。对于没有延迟的开关电容C3输入支路，其增益因子为C3。 一般情况下，转移函数z的负幂都要消去，因此，上式的转移函数通常写成以下形式：,上图是开关电容的典型电路。根据上述的电路图和信号流图以及上述式子的对应关系，就可以不用写电荷平衡方程，直接写出相应电路的
28、转移函数，以简化对一般的开关电容电路进行分析。,例6.3 求下图所示电路的转移函数。,解： 我们可以把该电路看成是一个具有两输入端的积分器：第一个输入是Vi，它通过开关电容C1加到运放的反相输入端；第二个输入是Vo，它通过开关电容C2加到运放的反相输入端。根据该电路和上述的信号流图以及上述转移函数表达式的对应关系，就可以得到该电路的输出为：,合并Vo项， 可以求得该电路的转移函数为：,由此可以看出，该电路是一个反相阻尼积分器电路。 其中， (C2/C3)是阻尼项。从电路结构看，由于该电路的输入支路和反馈支路中的开关电容电路都产生等效的正电阻， 它们和运算放大器以及电容一起组成反相阻尼积分器电路。,
