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1、第九章直线平面简单几何体9.1三视图与空间坐标系箸1.（16北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为13H2H俯视图【审题要津】由题设三视图，易知该几何体是以等腰梯形为底面的直四棱柱.以下只需根据图示数据，即可求解.*:依审题要津所求为史羿、尚故呜.【解法研究】依照三视图正确还原几何体是顺利求解的关键.（王墨森）第32.（16浙江文9理11）某几何体的三视图如图所示（单位：Cm）,则该几何体的表面积是体积是cm3俯视图【审题栗律】由题设三视图可知，该几何体是如图所示的两个长方体的组合.据此即可根据题设数据求解.解：由每个长方体的表面积为2（2x2）+4x（24）=40（cm2）
2、,则知两个长方体的表面积为80(cm2),注意到重合部分面积为2(22)=8(c),故该几何体的表面积为80-8=72(c?),而该几何体的体积则为2(224)=32(cm)故填72,32.【解法研究】如由图示中阴影部分的面积为4(c?),而得所求面积为80-4=76(c?),实属粗枝大叶.(王墨森)华3. (16山东 文5理5) 一个由半球和四棱锥组成的儿何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为().A.B.正(主)视图侧(左)视图C.D.1+【审题要津】结合主，左视图，进而关注俯视图中的实线和虚线，易知该几何体为半球与四棱锥的组合体，且作直径为边长为1的正方 膨对角线.据此即可根据题设给
3、出的数据求解.俯视图解：依审题要津，V=Ix-2 3+ I2 1 = - + -. 选 C.363【解法研究】对于由不同几何体组合而成的几何体，关注其数量关系的同时，更要关心其位置关系.(李青峰)【审题要律】由题设长方体的正视图及俯视图，易知还原后的几何体为蕾4. (16天津文3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如解图所示的正四棱柱.注意到截割线的布局，问题易解.解：继审题要津，选B.【解法研究】调准角度，缕清实线与虚线的不同意味，是顺利求解的关键.蕾5. (16新课标I文7理6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是四，则它的表
4、面积是3().A.17B.18C.20D.28该多面体的表面积为（A.18365B.54 + 185C.90D.81（王墨森）173【审题栗律】由题设三视图可知，该几何体是铁失了上的球体，其表面积是由士的球面及二个球大884圆组成的.据此即可求解.解：继审题要津，设该几何体的体积和表面积分别是V,S,则由V=N兀W=2，可得R=2,83374进而可得S=x4R?+X兀R?=17兀，故选A.84【解法研究】可借助右图的直观图理解审题要津的分析.箸16.（16北京理6）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（【审题要津】针对所求，首先应关注该三棱锥的高.由“主，左同高，易知=1,进而结合三视
5、图,可知三棱锥的底面为两直角边均为1的等腰直角三角形，据此即可求解.解：依审题要津，该三棱锥的体积为V=JX1.XIx1.=J,故选A.326【解法研究】针对所求，在得知三棱锥的高力=1的基础上，对其底面的研究则是关键.本题标注字母，尤其是在题图中标注重叠字母的方法，既是“空间想象力”的“产品”，又是支持“空间想象力”的资源.借此沟通和整理三视图之间的“默契”，体现的也是数学思维的整体思想.据此还原出如解图所示的三棱锥的本来面目则不在话下.IiS=7.（16新课标m文10理9）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则【审题要津】由三视图中标注的字母，可知该多面体是一
6、个如图所示的斜四棱柱48CO-A18GA,其底面A3CD是边长为3的正方形，且A1.平面ABCD,16=6.解：依审题要津，上下底面的面积均为3x3=9,前后两个面的面积均为3x6=18,由A6,平面ABa）知A31.8C,又8CJ_A8知8C_1.平面A34A，于是BCJ.BB,故四边形BCG片是矩形，又AA=寿=36，所以左右两个面的面积均为9君,由此可见，该四棱柱的表面积为54+18,故选B.【解法研究】解题的关键是由三视图分析出直观图，若以ABBM,CDDIcI为上,下底面，则此几何体为直四棱柱.箸8.（15安徽文9理7）个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是().A.1+y/
7、3C.2+3B.1. + 22D. 22【审题要律】依题设,已知三视图还原成的四面体为如图所示的三棱锥S-ABC.在这里，平面S4C_1.平面ABC,点。为AC的中点.注意到其中相关线段上的数据标注，问题易解.解:继审题要津,显然有SB=AB=BC=炉=上，所以aSA8I均为边长为的等边三角形.与此同时，可知45ACgZ84C得，该四面体的表面积为S= 2+212【解法研究】注意到平面SICJ.平面ABC是顺利求解的关键.箸9.（15新课标I文11理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为广）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+2,则二（）
8、.A.1B.2C.4D.8（洪汪宝）（刘绍峰）【审题要津】由题设几何体的正视图和俯视图，易知该几何体是由半个圆柱和半个球体组合而成的几何体.其直观图如图所示.据此即可根据相关数据确定r值.解：继审题要津，该几何体的表面积S是由：以，为半径的半球面;以为半径的圆；边长为2r的正方形；底面圆半径为小高为2的半圆柱的侧面展开图，四部分组成的，从而有5= -4r2 + r2 +2(2r)2+ r2r = 5r2 + 4r2于是由5,+4,=20+16,解得厂=4,故选C.（刘绍峰）【解法研究】依题设画出该几何体的直观图是难点，也是顺利求解的关键.箸10.（15北京理5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三
9、棱锥的表面积是A.2 yjsC. 2 + 25B.45D.5侧（左）视图【审题契律】根据主、左同高；主、俯同宽的原则，又及题设三视图中标注的数据，易知还原后的几何体是如图所示的三 棱锥S-ABC.其中及aSAB均为等腰三角影.设点。 为AB的中点、,联结SD CDt易知A3_1.S。，AB工CD.据 此即可根据几何体中标注的相关数据求其表面积.解：继审题要津，在RtZXSCD中，SD = SC2 + CD2 = 12 + 22 = 5 .在RtZSD8 中，SB = 5D2 + BD2 = (5)2 +12 =6 .在RtZXSBC 中,BC= JsB2-SC2 =(6)2-1.=5.综上可知
10、，三棱锥S-ABC的表面积S= 2S*+S* +S.=SC3C + g(CDAB + SO/W)=乔+；(2 + 6卜2 = 2 + 2正，故选 C.【解法研究】关注三棱锥S-A3C的对称性，是从简求解的关键.（侯守一）箸11.(15福建文9) ().A. 8 + 2应C. 14 + 22某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于B. 1.l+ 22D.15【审题要津】由题设三视图及其中标注的数据，易知该几何体是一个如图所示的上、下底面为直角梯形的直四棱柱，其各棱之长如图标注.解：继审题要津，该几何体的上、下两底面的面积之和为S=2 （1 + 2）1 =3；侧面的4个矩形的面积之和为S2
11、=(1.+ l + 2 + )2 = 8 + 2,从而所求为 S = 51+S2=ll + 22 ,故选 B.【解法研究】审视三视图的要领，一是要关注实、虚线；二是要关注其中标注的数据.箸112. （15北京文7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为（）.A. 1B. 2正（主）视图侧（左）视图C. 3D.2【审题要律】由题设三视图，兼顾俯视图正方彩中的对角线，易知俯视图S468中最长棱的棱长SA =6，选C.故四棱锥（陈小鹏）还原后的几何体为如图所示的四棱维S-ABCD,其中平面SBC及平面SCZ）均垂直于底面正方形ABCD,且ASBC与Z5CD均为腰长为1的等腰直角三角形.注
12、意到SC=BC=Cr=1,则问题易解.解：继审题要津，由SCj平面ABC。，又SC=BC=CD=AC)=AB=I,则知SB=S0=7i77F=.联结AC.由AC=JI,则知SA=JSC2+AC?【解法研究】如果你能在如上的直观图中适当添加辅助线，你就会清楚：三视图还原成的四棱锥是由棱长为1的正方形裁去两个与四棱锥S-ABCD完全相同的四棱锥后之所得.显然所求即为正方形的体对角线之长.箸13.（IS新课标H文6理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）.（刘金泉）俯视图【审题要津】依题意，题设三视图所表示的几何体，是如图所示的正方体
13、被截去一个三棱锥后的剩余部分.在这里，先关注三视图中的三个正方形，进而./考察其中的对角线.这一审图意识至关重要.；1解：继审题要津，设原正方体的棱长为4,则截去的三棱锥的体积为；/J1.于是剩余部分的体积为21.从而所求为！，故选D.2【解法研究】如将截去的部分视为底面是腰长为白的等腰直角三角形，高为。的三棱锥，则知截去的体积为原正方体体积的1.6箸14.（15湖南理10）某工件的三视图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）.（材料利用率;新工件的体积/原工件的体积）正视图12(2-1)2【审题要津】由题设
14、三视图及图中所标注的数据，易知原工件是一个底面圆半径为1,其高为2的圆锥.针对所求，如图所示，作该圆锥的轴截面PABf并使其过下底面在圆锥底面上的长方体的上底面的两个顶点E,F.显然叮即是长方体上底面矩形的对角线.为了求出长方体的体积，不妨设其长，宽，高分别为“b,力，并设其上，下底面的中心分别为。3Q过E,F两点作A3的垂线，垂足分别为,F,.显然尸=。2/=，且Or1.注意到Rt尸QFsRtAiPo/,则知第1.=若，即即力=22厂.于是长方体的体积为V=。劭=H（2-2r）.以下只需将他用来表示，即可利用函数的单调性完成所求.解：继审题要津，由/+廿=（2尸）2=4，可得V=H（2-2r
15、）（2-2r）=2（2-2r）,（Or1.）.当且仅当=h,即长方体上，下底面均为正方形时，等号成立.令y=4/-4/（OVr1）,222则y=8r-12/,由V=0,可得厂=O或r=j.由此可见，当0r0；当（vrS2=S3,故选D.【解法研究】应熟悉以下规律：点尸(泉y,Z)在Xoy,yzt标平面上的正投影分别为6(%y，O),P,(O,y,z),Py(x,0,上，在O-XyZ坐标系中描绘点P(x,y,z),常常是先确定(斯后将其沿。方向平移Z个单位得到的.箸17.(14湖北文7理5)在如图所示的空间直角坐标系。-邛Z中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(h2,1
16、),(2,2,2).给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为().A.和B.和C.和D.和【审我要津】为便于在空间直角坐标系中准确地描绘出题设四面体的四个顶点，不妨如图，先在空间直角坐标系中构造一个棱长为2的正方体ABeo-A片GA解:继审题要津，显然有A(0,0,2),C(2,2,0),G(2,2,2),而M(1.,2,1)自然是正方形CaDiG的中心.如图所示，该四面体A1CMC.的正视图为yz面内的Rt(其中M为拉口的中点)；俯视图为Xoy面内的aACN(其中N为Cz)的中点).对照四个选项，选D.【解法研究】借助构造正方体，并从三视图的原理入手，有助于弥补空间想象力的不足.(王成维)
