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1、31 直线的倾斜角与斜率,311 倾斜角与斜率,问题提出,1.在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图象是什么？其中k，b的几何意义如何？,2.在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，如何区别这些直线的不同位置？,倾斜角与斜率,知识探究（一）：直线的倾斜角,思考1:在直角坐标系中，下图中的四条直线在位置上有什么联系和区别？,思考2:在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？,思考3:当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角,下列各图中标出的角是直线的倾斜角吗？
2、,思考4:下图中直线l1，l2，l3的倾斜角大致是一个什么范围内的角？,思考6:任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？,思考5:特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，那么直线的倾斜角的取值范围是什么？,0180,知识探究（二）：直线的斜率,思考1:函数 的图象是直线，这两条直线的倾斜角分别是多少？,思考2:上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？,思考3:初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？,思考4:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tan，那么任
3、何一条直线都有斜率吗？,倾斜角是900的直线（垂直与x轴的直线）没有斜率.,思考6:当是锐角时，有tan（1800-）=tan. 那么当倾斜角=1200，1350，1500时，这条直线的斜率分别等于多少？,思考5:当倾斜角=00，300，450，600时，这条直线的斜率分别等于多少？,思考8:斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？,思考7:倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？,倾斜角为锐角时,k0;倾斜角为钝角时,k0;倾斜角为00时,k=0.,知识探究（三）：直线的斜率公式,思考1:在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）
4、、B（1，3）的直线有几条？直线AB的斜率是多少？,思考2:一般地，已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1x2，直线P1P2的斜率是什么？,思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,成立，因为分子为0，分母不为0,不适用，因为分母为0,思考5:经过点A（a，b）、B（m，n）（am）的直线的斜率是什么？与A、B两点坐标的顺序有关吗？,思考6:对于三个不同的点A，B，C，若 ，则这三点的位置关系如何？,理论迁移,例1 已知点A（3，2）
5、，B（4，1），C（0，l），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为l，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.,作业:P86练习：1，2，3，4.P89习题3.1A组：2，4，5,3.1 直线的倾斜角与斜率,3.1.2 两条直线平行与垂直的判定,问题提出,1.直线的倾斜角和斜率的含义分别是什么？经过两点的直线的斜率公式是什么？,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.,直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.,2.在平面直角坐标系中，平行与垂直是两条不同直线的两种特殊位置关系，我们设想通过直线
6、的斜率来判定这两种位置关系.,两条直线平行与垂直的判定,知识探究（一）:两条直线平行的判定,思考1:在平面直角坐标系中，已知一条直线的倾斜角为400，那么这条直线的位置是否确定？,思考2:若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？,思考4:若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？,思考3:如果12，那么tan1tan2成立吗？反之成立吗？,思考6:对任意两条直线，如果它们的斜率相等，这两条直线一定平行吗？,思考5:对于两条不重合的直线l1和l2，其斜率分别为k1，k2，根据上述分析可得什么结论？,知识探究（二）:两条直线垂直的判定,思考1:如果两
7、直线垂直，这两条直线的倾斜角可能相等吗？,思考4:反过来，当k1k2 =-1时，直线l1与l2一定垂直吗？,思考6:对任意两条直线，如果l1l2，一定有k1k2 =-1吗？,思考5:对于直线l1和l2，其斜率分别为k1，k2，根据上述分析可得什么结论？,理论迁移,例1 已知A、B、C、D四点的坐标，试判断直线AB与CD的位置关系.（1）A（2，3）， B（4，0）， C（3，l）, D（l，2）；（2）A（6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，6）,例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明
8、.,例3 已知A（5，1），B（1，1），C（2，3），试判断ABC的形状.,x,例4 已知点A（m，1），B（-3，4），C（1，m），D（1，m1），分别在下列条件下求实数m的值:（1）直线AB与CD平行；（2）直线AB与CD垂直.,作业:P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.,3.2.1 直线的点斜式方程,3.2 直线的方程,问题提出,1.若两条不同直线的斜率都存在，如何判定这两条直线互相平行、垂直？,2.在直角坐标系中，直线上的点的坐标具有一定的内在联系，如何通过代数关系反映这种内在联系，有待我们进行分析和探究.,直线的点斜式方程,知识探究（一）：直线的点斜式
9、方程,思考1:在什么条件下可求得直线的斜率？什么样的直线没有斜率？,思考2:在直角坐标系中，由直线的斜率不能确定其位置，再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？,思考3:已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？,思考4:代数式 可看作是一个关于x,y的方程,化为整式即为 ,那么直线l上每一点的坐标都满足这个方程吗?,思考5:满足方程 的所有点P(x，y)是否都在直线l上? 为什么？,思考8:x轴、y轴所在直线的方程分别是什么？,思考7:经过点P0(x0，y0) ，且倾斜角为0o，90o的直线方程分别是什么？,思
10、考6:我们把方程 叫做直线的点斜式方程，经过点P0(x0，y0)的任意一条直线的方程都能写成点斜式吗？,y=y0,x=x0,y=0,x=0,知识探究（二）：直线的斜截式方程,思考1:若直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P(0，b)，则直线l的方程是什么？,思考2:方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，其中b叫做直线在y轴上的截距.那么下列直线:y=-2x+1，y=x-4，y=3x，y=-3在y轴上的截距分别是什么？,y=kx+b,思考3:直线的斜截式方程在结构形式上有哪些特点？如何理解它与一次函数的联系和区别？,思考4:能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线?,思考5:若直线l的斜率为k
11、，在x轴上的截距为a，则直线l的方程是什么？,y=k(x-a),思考6:如何求直线y-y0=k(x-x0)在x轴、y轴上的截距？,思考7:已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，分别在什么条件下l1与 l2平行？垂直？,理论迁移,例1 直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角为60o,求直线l的点斜式方程，并画出直线l.,例2 求下列直线的斜截式方程:（1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直；（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.,例3 已知直线l的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.,作业:P95练习：1，2，3，4(做在书上).P10
12、0习题3.2 A组：1，5，6，10.,3.2.2 直线的两点式方程,问题提出,1.直线的点斜式方程和斜截式方程分别是什么？平行于坐标轴的直线方程是什么？,2.在不同条件下有不同形式的直线方程，对此我们再作些探究.,点斜式：y-y0=k(x-x0),斜截式：y=kx+b,直线的两点式方程,探究（一）：直线的两点式方程,思考1:由一个点和斜率可以确定一条直线，还有别的条件可以确定一条直线吗？,思考2:设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，则直线l斜率是什么？结合点斜式直线l的方程如何？,思考4:若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1=x2或
13、y1=y2，则直线P1P2的方程如何？,思考3:方程 写成比例式可化为 ，此方程叫做直线的两点式方程，该方程在结构形式上有什么特点？点P1、P2的坐标满足该方程吗？,知识探究（二）：直线的截距式方程,思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0，b)，其中a0，b0，则直线l的方程如何？,思考2:直线l的方程可化为 ，其中a，b的几何意义如何？,思考4:若直线l在两坐标轴上的截距相等，且都等于m，则直线l的方程如何？,思考3:方程 叫做直线的截距式方程，过原点的直线方程能用截距式表示吗？,x+y=m,知识探究（三）： 中点坐标公式,思考1:已知x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2,0)，则线段
14、P1P2的中点P0的坐标是什么？,思考2:已知y轴上两点P1(0,y1)，P2(0,y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,思考3:已知两点P1(0,y)，P2(x,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,思考4:已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,理论迁移,例1 已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.,例2 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.,例3 求经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.,例4 已
15、知直线l经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.,作业:P97练习：1，2.（做书上）P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.,3.2.3 直线的一般式方程,问题提出,1.直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式等基本形式，这些方程的外在形式分别是什么?,2.从事物的个性与共性，对立与统一的观点看问题，我们希望这些直线方程能统一为某个一般形式，对此我们从理论上作些探究.,直线的一般式方程,知识探究（三）：直线方程的一般式,思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是什么？,思考2:二元一次
16、方程的一般形式是什么？,Ax+By+C=0,思考3:平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式吗？,思考4:关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0），当B=0时，方程表示的图形是什么？当B0时，方程表示的图形是什么？,思考5:综上分析，任意一条直线的方程都可以写成Ax+By+C=0的形式，同时，关于x，y的二元一次方程都表示直线，方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 在平面直角坐标系中，怎样画出方程2x-3y+6=0表示的直线？,知识探究（二）：一般式方程的变式探究,思考1:设A，B不同时为0，那么集合M=(x，y)|
17、 Ax+By+C=0 的几何意义如何？,思考2:如何由直线的一般式方程Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐标轴上的截距？,思考3:当A，B，C分别为何值时，直线Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？与x轴重合？与y轴重合？过原点？,思考4:过点P(x0，y0)，且与直线l：Ax+By+C=0平行的直线方程如何？,思考5:设直线l1、 l2的方程分别为 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在什么条件下有l1l2？,A1A2+B1B2=0,理论迁移,例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.,例2 把直线l的一般式方程 x-2y
18、+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.,例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1/l2，求a的值.,例4 已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1l2，求a的值.,作业：P99-100练习：1，2.P101习题3.2B组：1，2，5.,3.3 直线的交点坐标与距离公式,3.3.1 两条直线的交点坐标,问题提出,1.在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究，如平行、相交、垂直等.在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程表示直线，从而可以对直线进行定量分析，如确定直线的斜率、截距等
19、.,2.在同一平面内，两条直线之间存在平行、相交、重合等位置关系，这些位置关系的基本特征与公共点的个数有关. 因此，如何将两直线的交点进行量化，便成为一个新的课题.,两直线的交点坐标,知识探究（一）：两条直线的交点坐标,思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么关系？,思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？,思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？,思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C
20、1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？,点A的坐标是方程组的解,知识探究（二）：过交点的直线系,思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？,思考2:方程 （m，n不同时为0）表示什么图形？,y-2=k(x+2)和x=-2,思考3:方程 表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？,思考4:方程 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？,m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B
21、2y+C2)=0,理论迁移,例3 设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.,例2 求经过两直线3x+2y+1=0和 2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.,作业：P104 练习：1，2P109 习题3.3 4,5.,3.2.2 两点间的距离,问题提出,1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.,2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？,两点间的距离,知识探究（一）：两点间的距离公式,思考1:在x轴上，已知
22、点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？,思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？,|P1P2|=|x1-x2|,|P1P2|=|y1-y2|,思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？,思考4:在平面直角坐标系中，已知点P1(2，-1)和P2(-3，2)，如何计算点P1和P2的距离？,思考5:一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离可得什么结论？,思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？,思
23、考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是什么？,知识探究（二）：距离公式的变式探究,思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？,思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式又可作怎样的变形？,思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？,思考4:若已知 和 ，如何求 ？,理论迁移,例1 已知点 和 , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.,
24、例2 设直线2x-y+1=0与抛物线 相交于A、B两点，求|AB|的值.,例3 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.,A(0,0),B(a,0),C (a+b, c),D (b, c),用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：,第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量,第二步：进行有关代数运算,第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系,作业：P106练习：1，2.P110习题3.3A组：6，7，8.,3.3.3 点到直线的距离,3.3.4 两条平行直线间的距离,问题提出,1.直角坐标平面上两点间的距离公式是什么？它有哪些变形？,2.构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有
25、哪几种基本类型？,3.已知平面上三点A(-2，1)，B(2， -2)，C(8，6)，若求ABC的面积需要解决什么问题？,4.我们已经掌握了点与点之间的距离公式，如何求点到直线的距离、两条平行直线间的距离便成为新的课题.,点到直线的距离,两条平行直线间的距离,知识探究（一）：点到直线的距离,思考1:点到直线的距离的含义是什么？在直角坐标系中，若已知点P的坐标和直线l的方程，那么点P到直线l的距离是否确定？,思考2:若点P在直线l上，则点P到直线l的距离为多少？若直线l平行于坐标轴，则点P到直线l的距离如何计算？,思考3:一般地，设点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为d，试设想d
26、的值与哪些元素有关？,思考4:你能设计一个方案求点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？,这是点到直线的距离公式.当直线l平行于坐标轴时，公式是否成立？,思考5:根据上述分析，点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：,知识探究（二）：两平行直线的距离,思考1:两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？,思考2:你有什么办法求两条平行直线之间的距离？,思考4:根据上述思路，你能推导出两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1C2）之间的距离d的计算公式吗？,思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？,理论迁移,例1 求点P(-1, 2)到直线 的距离.,例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求ABC的面积.,例3 已知直线 和 与 ,l1与l2是否平行？若平行,求l1与l2的距离.,例4 已知直线l过点 ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程.,作业： P110习题3.3A组： 9，10. 习题3.3B组：2，4，5.,
