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1、二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两个正项级数,(常
2、数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和级数
3、与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,特别取,可得如下结论 :,对正项级数,(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时,也收敛 ;,也发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,机动
5、 目录 上页 下页 返回 结束,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意给定的正数 ,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,数, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收
6、敛 ;,级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 证明级数,收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 判别级数,的敛散性 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据比值审敛法知，,发散.,例8. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据根值审敛法知，,收敛.,例9. 判别级数,的敛散性 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据比值审敛法知，,发散.,例10. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据极限审敛法知，,收敛.,练习. 判别下列级数的敛散
7、性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 判别级数,的敛散性 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为了判别
8、单调性,考察函数,的单调性 .,在,时单调递减.,故当n 3时,又因为,由Leibniz 判别法,知,收敛 .,例12. 判别级数,的敛散性 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先考察函数,在 x=0 的某个,右邻域的单调性 .,在,时单调递增.,故,且随 n 的增大而递减.,又因为,由Leibniz 判别法,知,收敛 .,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定
9、收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 判别级数,是条件收敛，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,还是绝对收敛？,解:,由例12知此级数收敛.下面说明它不是绝对收敛.,此级数不是绝对收敛。,因此,它是条件收敛。,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变
10、其和.,( P265 定理9 ),说明: 证明参考 P265P268, 这里从略.,*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,(P267 定理10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:
11、,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P268 1 -5,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),发散 ,故原级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判别常数项级数敛散性一般步骤：,不满足,发散,满足,级数类型,正项级数,交错级数,一般级数,比较、比值、根值、极限审敛法,部分和有界,莱氏判别法,满足,收敛,不满足,部分和的极限,
