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1、第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 等比级数,
2、它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如, 级数,级数发散 ;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,当 时
3、,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称
4、为收敛半径 ，,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 若,的系数满足,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(或,),2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对端点 x =1,
5、的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2
6、时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求幂级数,解:定理 2的条件不满足,故不能直接应用定理2。,考虑用根值求法：,的收敛半径.,从而,说明: 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,三、幂级数的运算,定理3. 设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛
7、半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如, 设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4 若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明： 利用定理4, 我们可以求得一些幂级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,和函数, 具体的步骤如下:,(1) 先求幂级数的收敛半径和收敛域；,(2) 在收敛区间内, 利用逐项积分或逐项求导得到关,于和函数的积分方程式或微分方程式
8、, 解方程求和,函数；,(3) 讨论端点的情况,给出收敛域的和函数.,解,两边积分得,解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.,例5.,则,故有,故得,的和函数 .,因此得,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,及,收敛 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,解,收敛区间(-1,1),例8.,解: 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,故
9、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用已知和函数的幂级数,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求 .,乘法运算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,思考与练习,1. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,时发散 .
10、,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答: 不能.,因为,当,时级数收敛 ,时级数发散 ,说明: 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P277 1 ； 2 ；P323 7 (1), (4) 8 (1), (3),作业,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,备用题 求极限,其中,解: 令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
