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1、教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其应用.教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用教学难点: 完整Nyquist图的绘制.,.频率稳定性判据,奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用Bode图.,一.映射定理 奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数论中的映射定理，又称幅角定理。,设有一复变函数为,s为复变量，以s复平面上的s=+j表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=U+jV表示。对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点。,给
2、定S，如何求F(s)?,4.5 奈奎斯特稳定判据,图5-3-1 s平面与F(s)平面的映射关系,s平面,F(s)平面,顺时针,如果在s平面画一条封闭曲线，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线. 若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，取决于F(s)函数的特性。 根据式(5-3-1)，复变函数F(s)的相角可表示为,1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2弧度，而其他各相
3、量的相角变化为零。,注意方向!,这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，也就是相量F(s)的相角变化了-2弧度，如图5-3-2所示。 2.包含Z个零点: 若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的z个零点。则在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周:Z X (-2) 3.包含 p个极点: 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的p个极点。则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点旋转p周。,图5-3-2 封闭曲线包围z1时的映射情况,综上所述，可以归纳如下：,映射定理: 设s
4、平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的p个极点和z个零点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过(p-z)周。,二.奈奎斯特回线,系统的特征方程为:,系统的开环传递函数可以写为,代入特征方程,得,F(s)与G(s)H(s)有什么区别?,F(s)的零点,极点的含义是什么?,由上式可见，复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根(闭环极点) s1、s2 sn ，而F(s)的极点则为系统的开环极点p1,p2pn。 闭环系统稳定的充分和必要条件是，特征方程的根(即F(s)的零点)，都位于s平面的左半部
5、。,为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否具有位于s平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线，通常称为乃奎斯特回线。,根据F(s)可以判断系统的稳定性,但F(s)与G(s)之间有简单关系: ,因此,常用G(s)来判断系统的稳定性.,根据映射定理,设s平面上的封闭曲线包围了整个右半平面, 则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过p周,即不含z个零点。则系统稳定.,图5-3-3 乃奎斯特回线,奈奎斯特回线与奈奎斯特图之间的关系: 1.=0+:开环频率特性曲线;G(j)H(j) 2.=-0 :
6、关于实轴对称; 3.=0-0+: 从=0+开始补画半径为 的一定角度的圆弧. 4.=+-:,什么情况下系统稳定?,利用奈奎斯特判据判断系统的稳定性,可以用完整的奈奎斯特图,也可以用一半的奈奎斯特图(开环频率特性曲线,但要逆时针补画V*90).,如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线F围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则系统为稳定的。,根据系统闭环特征方程有,（5-3-4）,这意味着F(s)的映射曲线F围绕原点运动的情况，相当于G(s)H(s)的封闭曲线GH围绕着(-1，j0)点的运动情况，如图5-3-4所示。,三.奈奎斯特判据,如何绘制映射曲线F
7、 ?,图5-3-4 GH和F的关系,P-为位于s平面右半部的开环极点数目。注意: 1.S的路径: -变化到-0,+0变化到+ 2.-变化-0的映射F(s)与+0变化+映射F(s)关于实轴对称. 3.有时还要考虑-0变化到+0和+变化到-的映射F(s).,奈奎斯特判据: 设系统有P个开环极点在S平面右半.当从-变化到+时，系统的开环频率特性j)H(j)按逆时针方向包围(-1，jO)点的圈数为N. 1.若N=P,则闭环控制系统稳定; 2.若NP,则闭环控制系统不稳定,在S平面右半的极点个数为:Z=P-N.,开环频率特性曲线: S:+0变化到+乃奎斯特曲线: S:-变化到-0,+0变化到+ 显然，若
8、开环系统稳定，即位于s平面右半部的开环极点数P=0，则闭环系统稳定的充分和必要条件是:,系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围(-1，0)点。,四.奈奎斯特稳定判据应用,1.无开环极点的判断(V=0)1)全奈奎斯特图: Z=P-N2)半奈奎斯特图(开环频率特性曲线) Z=P-2N3)穿越法 N=N+-N- Z=P-2N,穿越法 正穿越N+ :相位增加的穿越,N+=1; 半次正穿越N+ : N+=1/2; 负穿越N-:相位减小的穿越, N-=1; 半次负穿越N+ : N-=1/2;,例1 绘制开环传递函数为,的系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。,解,此系统的开环频率特性为,1)全奈奎斯
9、特图: Z=P-N=02)半奈奎斯特图(开环频率特性曲线): Z=P-2N=03)穿越法:因为 N+=0,N-=0, N=N+-N-=0,则 Z=P-2N=0, 系统稳定.,例5-2,已知P=0,V=1,试判断系统的稳定性.,1)全奈奎斯特图: Z=P-N=02)半奈奎斯特图(开环频率特性曲线): Z=P-2N=03)穿越法:因为 N+=0,N-=0, N=N+-N-=0,则 Z=P-2N=0, 结论:系统稳定.,2.有开环极点的判断(V0) 先逆时针,从w=0+开始补画半径为的一定角度的圆弧,然后再判断. 1)全乃奎斯特图:逆时针补画: Z=P-N 2)半乃奎斯特图:逆时针补画 Z=P-2N
10、 3)穿越法 N=N+ -N- Z=P-2N,例5-3,已知P=0,V=2,试判断系统的稳定性.,1)全奈奎斯特图: Z=P-N=02)半奈奎斯特图(开环频率特性曲线): Z=P-2N=0-2*(-1)=23)穿越法:因为 N+=0,N-=1, N=N+-N-=-1,则 Z=P-2N=2, 结论:系统不稳定.,3.Bode图判断1)无开环极点的判断(V=0) N=N+-N- Z=P-2N2)有开环极点的判断(V0) 先逆时针补画,然后再判断.向上补画V90逆时针.,例5.4 Bode图判断,1)无开环极点的判断(V=0) N=N+-N-=0 Z=P-2N=0,2)有开环极点的判断(V0) 先向
11、上补画V90. N+=1,N-=1 N=N+-N-=0 Z=P-2N=0,P=0,V=0,P=0,V=1,虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据,虚轴上有开环极点的情况通常出现于在系统中有串联积分环节的时候，即在s平面的坐标原点有开环极点。这时不能直接应用图5-3-3所示的乃奎斯特回线。,为了在这种情况下应用乃奎斯特判据，可以选择图5-3-6a所示的乃氏回线，它与图5-3-3中乃氏回线的区别仅在于，此回线经过以坐标原点为圆，以无穷小量为半径的，在s平面右半部的小半，绕过了开环极点所在的原点,当0时，此小半圆的面积也趋近于零。因此，F(s)的位于s平面右半部的零点和极点均被此乃氏回线包围在内。而将位于
12、坐标原点处的开环极点划到了左半部。这样处理是为了适应乃奎斯特判据的要求，因为应用乃氏判据时必须首先明确位于s平面右半部和左半部的开环极点的数目。,当s沿着上述小半圆移动时，有,当从0沿小半圆变到0+时，按逆时针方向旋转了，G(s)H(s)在其平面上的映射为,为系统中串联的积分环节数目。,例2. 绘制开环传递函数为,由以上分析可见，当s沿着小半圆从=0变化到=0+时，角从-/2经0变化到/2，这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从/2经0变化到-/2。,的系统的乃奎斯特图，并判闭环系统的稳定性。,解 系统开环传递函数有一极点在s平面的原点处，因此乃氏回线应沿半
13、径为无穷小值的半圆弧绕过它，如图5-3-6a所示。令s=j代入G(s)H(s)，给定若干值，求出相应,的乃奎斯特图，如图5-3-6b所示。此系统的开环传递函数在s平面的右半部没有极点，开环频率特性G(j)H(j)不包围(-1,j0)点，故闭环系统是稳定的。,图5-3-6 例5-3-2系统的奎斯特图,例3 设系统的开环传递函数为,要求绘制系统的乃奎斯特图，并判闭环系统的稳定性。,解 开环系统有两个极点位于s平面的坐标原点，如图5-3-7a所示。,图5-3-7 例5-3-3系统的奎斯特图,一.相位裕度1.剪切频率 开环频率特性幅值为1时所对应的角频率,称为增益穿越频率或截止频率，记为c 。 在极坐
14、标平面上，开环Nyquist图穿越单位圆的点所对应的角频率就是增益穿越频率c ，如图5-4-1(a)所示。,教学要求:1.理解剪切频率和相位穿越频率的概念;2.掌握相位裕度与幅值裕度的定义.,.控制系统的稳定裕度,图5-4-1 相位裕度与幅值裕度,在Bode图上，开环幅频特性穿越0dB线的点所对应的角频率就是幅值穿越频率c，如图5-4-1(b)所示。,2.相位裕度 开环频率特性G(j)H(j)在增益穿越频率c处所对应的相角与-180之差称为相位裕度，记为，按下式计算:,3.几何意义 相位裕度的几何意义是:在极坐标图上，负实轴绕原点转到G(j)H(j)时所转过的角度. 逆时针转向为正角，顺时针转
15、向为负角。,开环Nyquist图正好通过点(-1，j0)时，称闭环系统是临界稳定的。 相位裕度表示出开环Nyquist图在单位圆上离点(-1，j0)的远近程度。 由图 5-4-1可知，对于开环稳定的系统，欲使闭环稳定，其相位裕度必须为正。一个良好的控制系统，通常要求:,例1,求,的相位裕量.,解:,求截止频率的简便方法:,1)写出频率特性近似表达式:2)令 ,分别求解4个方程;3)解得:,注意:上述分段方程中,只有一个解成立!,例2,求,的相位裕量.,解:,解得,令,相位裕量:,二.幅值裕度,1.相位穿越频率: 开环频率特性的相位等于-180时所对应的角频率称为相位穿越频率，记为g。即 G(j
16、g )H(jg )=-180。2.幅值裕度 在g 处，开环幅频特性幅值的倒数称为控制系统的幅值裕度，记作Kg ，即,图5-4-1 相位裕度与幅值裕度,幅值裕度在Nyquist图上的表示见图5-4-1(a).在Bode图上，幅值裕度用: 20lgKg=-20lg|G(jg)H(jg)|dB 表示，见图5-4-1(b) 。 若|G(jg)H(jg)|1，20lg|Kg|0dB，称幅值裕度为正。 |G(jg)H(jg)|1，则Kg1，20lg|Kg|0dB称幅值裕度为负，见图5-4-1(b)。,幅值裕度表示开环Nyquist图在负实轴上离点(-1，j0)的远近程度。由图5-4-1可知，对于开环稳定的系统，欲使闭环稳定，通常其幅值裕度为正值。 一个良好的系统，一般要求Kg=23.16或20lgKg=6-10dB。,幅值裕度的物理意义是:对于闭环稳定系统，使系统达到临界值时，开环放大系数可以增大的倍数。,3.物理意义,要注意的是，对于开环不稳定的系统，及开环频率特性幅值为1的点或相位为-180度的点不止一个的系统，不要使用上述关于幅值裕度和相位裕度的定义和结论，否则可能会导致错误。这时应根据Nyquist图的具体形式作适当的处理。,
