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1、高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,本讲概要,函数单调性函数极值的定义函数极值的判定和求法,3.3 函数的单调性和极值,设函数 y = f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,定理,一.函数的单调性,且 （或 ），则 f (x)在a,b上是单调,增加（或单调减少）。,例1,判定函数 的单调性。,函数 f(x) 在定义域(-,0)(0,+)内连续，,f(x) 在(-,0)(0,+)内都是单调增加的。,由函数的单调性的判定定理，得,解,例2 判定函数 的单调性。,函数 f(x) 的定义域为(-,+)，,则 f(x) 在(-,0)内单调减少。,解,在(-,0)，,则 f(x
2、) 在(0,+)内单调增加。,在(0,+)，,(3)以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间,列表判断各个区间内f (x)的符号，从而判定出 f (x) 的单调性.,求函数的单调性的步骤：,(1)确定函数的定义域；,(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点；,例3求函数 的单调区间。,定义域为(-,+),解,练习 求函数 的单调区间。,定义域为(-,+),解,列表,例4 判定函数 的单调性。,函数的定义域为(-,+),解,注意,如果对于x0近旁的任意x(xx0)，,设函数 f (x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的,二. 函数极值的定义,f (x0)是函数f
3、 (x)的一个极大值，,定义,则f (x0)是函数f (x)的一个极小值，,一个点。如果对于x0近旁的任意x(xx0)，f (x) f (x0),均成立，则,点x0叫做f (x)的一个极小点。,f (x)f (x0)均成立，,做f (x)的一个极大点。,点x0叫,函数的极大值与极小值统称为极值。,使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。,下图中找到函数f (x)在a,b的极值、最值。,极值是局部性的概念，最值是整体性的概念。极值不唯一，最值唯一；,函数极值一定在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；,说明：,函数的极大值不一定比极小值大；,而函数的最大值和最小值可能出现在区间的内部，也
4、可能出现在区间的端点处。,设函数 f (x)在点x0可导，且在x0取得极,三.函数极值的判定和求法,使导数为零的点（即方程,定义,定理,值，则函数 f (x)在点x0的导数,根）称为函数 f (x)的驻点。,的实,定理2（极值判定定理一）,当x x0时， ，,当x x0时， ，,在x0两侧， 不变号，则f (x0)不是函数的,可导，且,如果,设函数 f (x)在点x0近旁,则f (x0)是函数的极大值；,则f (x0)是函数的极小值；,极值。,可能的极值点x0 ：,思考:,驻点,不可导点,判定函数的单调性和极值的步骤：, 求定义域；, 求出一阶导，找到可能的极值点；,列表讨论:用极值的判定定理一,判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化：,如果由增变减，则是极大值；,如果由减变增，则是极小值。,如果两侧单调性不变，则不是极值。,例5求函数 的极值。,定义域为(-,+),解,利用极值判定定理一通过列表讨论如下：,极大值,极小值,1,3,则函数的极大值 ，极小值为,例6求函数 的极值。,定义域为(-,+),解,利用极值判定定理一通过列表讨论如下：,则极小值 ，,无极值,极小值,0,无极值,不是极值点。,函数单调性函数极值的定义函数极值的判定和求法,小结,作业 习题3.4 1(2)(3),Thank You !,
