毕业论文函数极值问题的探讨.doc

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1、 浅谈函数的极值问题专业名称：班 级：学生姓名：指导教师：完成时间：摘 要在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下怎么使投入最小，产出最多，效益最高等问题。在生活中也经常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。因此解决这些问题具有现实意义。这些经济和生活问题通常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大（小）值的问题。而极值的概念来自数学中的最大（小）问题。故函数极值问题的探讨也具有了其重要意义。本文在给出一元函数极值的定义的同时,探讨了一元函数极值和最值的求解方法。并在此基础上给出了多元函数极值存在的充分条件与必要条件, 并对结果进行了简要的证明。将一

2、元函数判别方法推广到多元函数极值的判别,提出了判定多元函数极值的几个方法。得到关于多元函数极值的判定法则。探讨了多元函数极值和条件极值的一般判别方法和求法,研究了适用于所有情况的降维求解法和拉格朗日乘数法,而降维求极法比拉格朗日乘数法更加直观、计算更加简便,并且同时解决了条件极值的判定问题。关键词 极值;多元函数;正定负定判别法;条件极值;ABSTRACTIn industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting , we often solve the pro

3、blems such as how to make input smallest , output most efficient in given conditions. In the life we often encounter how to achieve maximum profit, use the minimum materials and get maximum efficiency, to deal with the similar problems that have its realistic significance. Above problems can be tran

4、sformed with function and its function of maximum and minimum value. The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics, therefore approaching the extreme value have significance meaning.This article gives concept of extreme value for the monadic functio

5、ns, meanwhile obtain the methods of solution of extreme values for the monadic functions. Based on the extreme value of monadic functions, this paper has given the sufficient and necessary condition for the existence of extremum of multivariate function, the corresponding results are proved. Some me

6、thods of deciding the extreme values for the monadic functions were applied to decide the extreme values for the multivariate functions and then some effective methods of deciding the extreme values for the multivariate functions were presented. This article has discussed two general methods of dete

7、rmining the types of extreme and constrained extreme of multivariate functions. With regard to the constrained extremum, it has studied a means called degrading dimensions to compute extremum values, which is suitable for all situations and is more intuitionistic and convenient than Lagrange Multipl

8、iers. Besides, it has solved the problem of determining the type of constrained multivariate extremum simultaneously.Keywords extreme values；multivariate function；deciding positive definition or negative definition；constrained extreme values；一、概述极值问题1（一）极值的定义1（二）一元函数极值与多元函数极值的关系2二、一元函数极值问题的求解3（一）一元函

9、数极值的充分必要条件（二）一元函数极值和最值问题1一元函数极值的求法2一元函数最值的求法三、二元函数极值问题的求解3（一）二元函数极值的充分必要条件（二）二元函数极值和最值问题1二元函数极值的求法2二元函数最值的求法四、多元函数极值问题的求解4（一）多元函数极值的充分必要条件（二）多元函数极值和最值问题1、多元函数极值的求法2、多元函数最值的求法五、极值在实际问题中的应用12参考文献浅谈函数的极值问题函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征。本文研究了一元、二元、多元函数（）的极值和等约束条件下多元函数极值，

10、得出了判定多元函数极值和等约束条件下多元函数极值的一系列充分和必要条件。 一、简述极值问题（一）极值的定义极值的概念来自数学应用中的最值问题。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。一元极值的定义比较简单，其定义如下： 定义1 设函数在的某个邻域有定义，如果对该邻域的所有点，都有，则是函数的一个极大值。如果该邻域的所有的点，都有，则是函数的一个极小值。极大值和极小值统称为极值。其实极值概念是分为极值和弱极值两种，以二元极值为例其定义如下:定义2 设函数 在点 的某个邻域内有定义,

11、 对于该邻域内任一异于 的点 ,( 1) 如果 , 则称函数在点 处有极大值 ;( 2) 如果,则称函数在点 处有极小值 ;定义3 设函数 在点的某个邻域内有定义, 对于该点邻域内任一个异于点 的点( 1) 如果, 则称 在点 处有极大值 ( 2) 如果 , 则称 在点 处有极小值 定义3将定义2中的不等式) (或换为不等式 ( 或 , 则称函数在点处有弱极大值( 或弱极小值)。定义2 和定义3 的区别就在“” 和“”但在实际问题中这种区别是十分明显的。 在前文中一元和二元函数极值的定义都已给出，下面是多元函数极值（）的定义。定义4 若多元函数于点 的邻域内有定义, 并且当 时, (或), 则

12、说函数 在处取极大值 (或极小值) ,点 称为函数的极值点。（二） 一元极值与多元极值的关系在此我们来简单探讨一元函数与多元函数的关系，以一元函数与二元函数之间的关系为例： 一元极值与二元极值的关系：如果二元函数 在点处取得极值则一元函数及在也取得极值。但若一元函数及均在取得极值，则二元函数 在点处不一定取得极值。故同理可得一元极值与多元极值的关系：如果多元函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点取得极值。但若一元函数在某点处取得极值，则多元函数不一定在该点取得极值。二、一元函数极值问题的求解（一）一元函数极值的充分必要条件定理l (第一充分条件)：设函数在点的某邻域内连续且可导(导数也可不存

13、在),(1)如果 ，则是的极大值点；(2)如果 ，则是的极小值点；(3)如果在点的邻域内，不变号，则不是的极值点。如果函数在某驻点具有二阶导数。也可用极值的第二充分条件判断。定理2 (第二充分条件)：设函数在二阶可导，则为的极大值，反之，则为的极小值。定理3 （必要条件） 设函数在区间有定义，若是的极值点，且在可导，则.（二）一元函数极值和最值问题1一元函数求极值方法求一元函数极值的步骤如下：（1）函数的定义域；（2）并求，并在定义域内求的点（驻点）和不存在的点；（3）对于驻点可利用定理l或定理2判定，对于导数不存在的点利用定理1确定函数的极值点；（4）求出各极值点的函数值，得到函数的极值。2

14、一元函数最值的方法求函数在上的最大值和最小值应注意以下几点：（1）若在上单调增（减）的，则是其最小（大）值，是其最大（小）值。（2）若在内只有一极值点（唯一驻点）且此极值是极大（小）值，则它也是在上的最大（小）值，常称这些函数为单峰（单谷）函数。（3）若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数的最值时，需求出区间内函数的全部极值和区间端点处的单侧极限，如果单侧极限最大（小）值，则函数在该区间内无最大（小）值，因而在开区间或无穷区间上连续的函数不一定有最值。（4）除以上三种特别情况外，一般按下述步骤求在上的最值。求出并在内求出其驻点和不可导点（不必判断这些驻点和不可导点是否为极值点，但函数

15、在这些点必有定义）。计算在这些点的值，且求出、。比较步骤中所得的函数值，其中最大（小）值就是在上的最大（小）值。三、二元函数极值问题的求解（一）二元函数极值的充分必要条件定理1 （充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令,令, , 则在处是否取得极值的条件如下: （1）时具有极值, 且当时有极大值, 当时有极小值;（2）时没有极值;（3）时可能有极值, 也可能没有极值, 还需另作讨论。定理2 （必要条件）设函数在点具有偏导数且取得极值, 则它在该点的偏导数必为零, 即，。（二）二元函数的极值和最值问题1二元函数求极值方法1.1无条件极值的求解（1）利用函数极值的定义求

16、极值（2）利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求的极值的一般步骤为:解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；考察函数是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。1.2条件极值的求解在约束条件下，函数的极值称为条件极值（1）直接将条件代入转化为无条件极值由解出代入便化为无条件极值。（2）乘数法求极值,设，有连续的偏导数，且，不同时为零。 根据条件和目标函数，作出辅助函数其中，为待定常数。 解方程组消去，解出一切实数解,所得的点就是在 的条件下的可能极值点。 根据问题的性质去判别这种

17、点是否为条件极值点。2求二元函数最值的方法在有界闭域上的二元连续函数的最大值和最小值只能在区域内的可能极值点（，处及，不存在的点）和边界上达到，其中函数最大的为最大值，函数最小的为最小值。求函数的最大值和最小值的一般步骤为:（1）根据题意列出函数及条件函数的解析式。（2）求函数在内所有驻点。（3）在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）。（4）将前三步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值。四、多元函数极值问题的求解1、预备知识 定义

18、1 设n元函数在点具有偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作,即 设n元函数在点具有偏导数，则称矩阵为函数在点的Hesinn矩阵，若二阶偏导数连续则H是实对称矩阵。（一）多元函数极值的充分必要条件 定理1 （充分条件）设多元函数 在 的某邻域内存在一阶及二阶连续偏导数, 又则:（1） 当H 是正定矩阵时, 函数在点取得极小值;（2） 当H 是负定矩阵时, 函数 在点 取得极大值。证明考虑函数在 点的展开式: 因为, 所以, 因此, 函数在点 是否取得极值完全取决于二次型 的符号。如果二次型是正定二次型( H 是正定矩阵) , 即, 则在足够小时, , 在处取极小值; 同样, 如果二次型 是负定

19、二次型( H 是负定矩阵) , 即则在足够小时, 有, 在处取极大值。定理2 （必要条件）设n元函数在点具有偏导数并且取得极值，则。（满足的点称为n元函数的驻点）证明: 因为函数在点 取得极值, 所以固定在 后所得的一元函数在点取得极值，于是 ，同理，因此 。（二）多元函数的极值和最值问题1、求多元函数极值的方法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.下面是关于多元函数条件极值与无条件极值问题的探讨。1.1无条件极值的求解多元

20、函数在定义域内求极值，可按下述步骤进行：（1）令 ，求出的所有驻点；（2）求出在点的Hesinn矩阵；（3）判定正定或负定，若正定，则在点取得极小值；若负定，则在取得极大值。例 求函数的极值解: 求解方程组 , 即得四个驻点: , , 进一步计算得,矩阵是正定矩阵, 是极小值点。是负定矩阵, 是极大值点。，均是不定矩阵, ，均不是极值点。1.2条件极值的求解1,降维求极法 对于满足条件的极值，可降为维函数，转化为非条件极值的思路求解。不妨设，则以为独立的变量（自变量），为为因变量，这时它们是一组彼此独立的函数。设为该维空间中的一个任意单位向量，作为辅助函数：和，则和分别是和沿方向且过点的方向导

21、函数，特别就是在点沿方向的方向导数。求导过程中把作为t的函数，按链式法则进行，由解出，再代入。显然是一个关于的m元线性方程组。令，此时是关于的多项式，要使对任意的k均有，则必有的各项系数均为0.由此既得个关于的方程，再与合为n个方程，解得驻点，这是一个n元的方程组。对是否是的极值点的判定问题，即可直接利用前述的非条件极值判定方法解决。但在求的各阶导数中，注意每次都要将已求的代入，这样即可保证不会出现关于的高阶导数。利用上述方法解条件极值问题，要解一个m元方程组和一个n元的方程组。而用乘数法，则要解一个元方程组。显然前者复杂程度低于后者。并且乘数法没有解决条件极值的判定问题。2、乘数法求极值,考

22、虑函数在个约束条件下的极值。引入函数式中为待定函数，把当作个变量和的无条件函数，对这些变量求一阶偏导数，得驻点所要满足的方程如下：从上述方程中解得驻点，即可能极值点。利用上述方法只是求出驻点，还需要进一步判断。若函数在点处取得极值，则在条件下在点处也取得极值，且同取极大值和极小值。判定准则：设为的极值点，满足式。记矩阵则有（1）若正定，则在条件下在点取得极小值； （2）若负定，则在条件下在点取得极大值； （3）若不定，则在条件下在点不取得极值。例 求三元函数在受约束条件限制下的极值。解：设，由有：当时，当时，。现在判定是极大值还是极小值。方法1（降维求极法）对函数使用定理，其中视为的函数，即，

23、它由决定。可求得，然后，可求得：，当时，故是极大值点。同理可知，当时，其是极小值点。所以：，方法2（正定判别法） 利用Hesinn的正或负定性来判定，可求得：，当时，为负定阵，是极大值点；当时，为正定阵，是极小值点2、 求多元函数最值的方法求函数的最值的一般步骤为：（1）求函数所有驻点和至少有一个偏导数存在的点的函数值；（2）函数定义域的边界上的最大值和最小值；（3）比较以上各函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值。五、极值问题的应用在经济分析中,决策者（无论是个人消费者、家庭、企业还是国家政府）经常需要利用最大化或最小化的方法,在多种可能中,做出选择 。比如,在消费者需求的效用理论中,

24、消费者以效用最大为目标,在成本理论中,企业主生产定量产品以成本最小为目标,在厂商理论中,企业主以利润最大为目标等等。这说明了最大化与最小化概念的重要性,也是经济决策分析的通常特点。要解决这些向题,需要利用多元函数的极值理论。下面举几个函数极值在现实生活中应用的实例。例 1 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费（万元）之间的关系有如下经验公式： ,广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。解: 利润等于收入与费用之差，利润函数为： 根据极值存在的必要条件，令 得，即为驻点，利润函数在驻点处的Hesinn矩阵

25、，易验证Hesinn矩阵为负定矩阵，所以在驻点处达到极大值，也是最大值，即最优广告策略为：电台广告费用和报纸广告费用分别为万元和万元，此时可获得最大利润。例2 由一宽为的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解: 设折起来的边长为，倾斜角为，那么梯形断面的下底长为，上底长为，高为，则断面面积 即 ，D：，下面是求二元函数在区域：，上取得最大值的点。令 由于，上式为将代入（2）式得，再求出，则有，于是方程组的解是， 在考虑边界，当时，函数为的一元函数，求最值点，由，得 。所以，。根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域：，内取得，通过计算

26、得知时的函数值比，时函数值为小，又函数在内只有一个驻点，因此可以断定，当，时，就能使断面的面积最大。例3 证明在所有周长相同的三角形中,等边三角形面积最大。 证明: 设三角形三条边为 。 周长固定时并非自由变量，受条件的约束, 其中为常数。由面积公式知，三角形面积为 因此我们需求在条件下的最大值。 由 解出 这时是自由变量, 在一个开集上变化. 代入条件极值问题化为 的普通极值问题。解方程组 得在 时只有一个解。但由问题知，最大值存在，而判别点唯一。因此判别点只能是最大点，得时三角形面积最大。上例中我们是通过求解约束条件的方程，得到自由变量，代入求极值的函数，将条件极值问题化为普通极值问题。但

27、有时直接解约束条件的方程是困难的，但通过微分约束条件，解出某些变量的微分用另一些变量的微分来表示，再代入求极值函数的微分中，从而求得其在约束条件下的判别点。函数极值不仅在经济生产和现实生活中有着广泛的应用，还在物理学，化学，生物工程等学科有重要的作用。因此函数极值问题的研究具有重大的现实意思。参考文献 1 杨文杰, 孙静，多元函数的极值问题J，辽 宁 工 学 院 学 报，2004：27-302 范新华，多元函数极值的判别法则的探讨J，常 州 工 学 院 学 报，2006：10-123 王莉萍，关于一元和多元函数极值的统一性研究J，焦作师范高等专科学校学报，2007（12）：80-824 李安东

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