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1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数最大值最小值,三、条件极值 拉格朗日乘数法,四、小结,一、多元函数的极值,1、二元函数极值的定义,注意：极值是一个局部概念，极小值可能大于极大值。,(1),例1,例2,2、多元函数取得极值的条件,证,从而,故定理结论成立。,几何解释：曲面 在可导的极值点处对应的切平面平行于,平面。,定义：使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.,驻点,可导的极值点,注意：,例3 求函数,的极值点。,解 求驻点，解方程组,得,所以驻点为(1,0).,所以(1,0)是极小值.,又因为,问题：是否有简单方法判断一个驻点是否为极值点？,（2）时函数在
2、没有极值；,（3）时函数可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论,例4 求函数,的极值。（书）,解,解方程得：,得驻点,又,在点(-3,0)处,所以函数不,取极值.,在点(-3,2)处,且,所以函数取极大值,在点(1,0)处,函数取极值.,由,知,函数取极小值.,类似验证,函数在点(1,2)处不取极值.,解,第四步 对函数的不可导点,用定义判断.,例如，,在(0,0)取极小值,但在(0,0),偏导数不存在.,二、多元函数的最值,求最值的一般方法：,在实际问题中，我们经常使用：,有最值且在区域内部取得；,(2),在D内,只有一个驻点，则函数,在,处一定取最值。,（1）求函数在D内的所有驻点及不可
3、导点处 的函数值；,（2）求函数在D的边界上的最大值和最小值；,（3）相互比较它们的大小，其中最大者即为 最大值，最小者即为最小值.,例6（书）做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时用料最省？,解 设水箱的长、宽分别为,，根据题意,知，,高=,，用料为,，则,求驻点：,解方程得,由实际问题知，,的最小值一定在区域内部,取得，且在区域内部只有一个驻点，所以,当,时，,最小。,即,水箱的长、宽、高分别为,、,、,时,用料最省。,无条件极值：对自变量只限制在定义域内，并无其他条件.,上述例题还可以换一种说法：,设长、宽,，则,且,满足,。,即求函数,在,条件,下的最值问题
4、。,高分别为,三、条件极值、拉格朗日乘数法,（1）条件极值,定义：求函数,在条件,下的极值问题，称为条件极值。,设,则,确定函数,且,将,代入,得单元函数，,由一元函数求极值的方法,令,，于是有,并且,满足,，即,求解方程组得可能的极值点。将上述过程总结出来即是我们要讨论的拉格朗日乘数法。,其中,为某一常数。,（2）拉格朗日乘数法,求解方程组,即得可能的极值点的坐标。,（3）条件极值的几何意义,就是求曲线,的极值。,求函数,在条件,下的极值问题，,例7(20060105),设 与,均是可,微函数,且,在,约束条件,下的一个极值点,则下列,选项 正确的是(),(A)若,则,(B),若,则,(C)
5、若,则,(D)若,则,构造拉格朗日乘子函数:,因为,所以,代入第一个方程得,若,则,.故选(D),曲线最高点坐标。,解 由题意知，求函数,在条件,下的极大值点与极大值。,令,求驻点。解方程组,又方程(1),(2)得,代入(3)得,.这是唯一可能的极值点,而我们要求最值一,定存在,且在内部取得,所以极大值点为,极大值为,所以最高点坐标为,解,则,由方程(1),(2),(3)得,代入(4)得,解,构造,求驻点:,由方程(1),(2),(3)容易推得:,代入(4)得,注：目标函数可设为,例 11 抛物面,被平面,截,成一椭圆,求原点到这椭圆的最长、最短距离。,解 设原点到椭圆,的距离为,，则,，点,
6、在椭圆上。,由题意知,求出,在条件,下的最值.,令,求驻点:,由方程(1)(2)(4)得:,.代入(5)得,解方程得,从而,由实际问题知,最大值、最小值一定存在，故最大距离为,最短距离为,。,例12 求内接半径为,的球且有最大体积,的长方体。,解 由球的对称性，不妨设,是该球面,在第一卦限的任意一点，则约束条件为,。内接长方体三相邻边长为,长方体的体积为,构造拉格朗日函数:,则问题就是求,在条件,下,的最值.,求驻点:,由方程(1),(2),(3)得:,代入方程(4)得,于是得唯一驻点,由实际问题,知,内接于球的最大长方体存在,所以当长,方体为边长均为,的正方体时,体积最大.,例13 求平面,与柱面,相交所成椭圆的面积.,解,因为,过原点,所以椭圆的中,心在原点.只需求出椭圆的长、短半轴，即求原点到曲线,取,上任意一点 距离的最大、最小值。,求驻点：,利用(4)式,将方程(1)、(2)、(3)分别乘以 相加,在利用方程(1)、(2)式消去 得：,(6),（7）,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
