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1、1,第六节 多元函数的极值及应用,（二）隐函数的微分法,（一）多元函数全微分,1、公式法,2、直接法,3、全微分法,1、定义法,2、利用微分运算法则和形式不变性,复习,3,第六节 多元函数的极值及应用,随着现代工业、农业、国防和科学技术的迅速发展，在工程技术、科学研究、经济管理等各个领域都提出了大量的最优化问题。,例如，在安排生产计划方面，如何在现有人力、物力条件下，合理安排几种产品的生产，使总产值最高或总利润最大。,这些问题的解决都将涉及到多元函数极值的定义及其求解方法。,产品的生产，才能使总成本最小等等。,同样地，在现有条件下，如何安排多种,与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与
2、极大值、极小值有着密切的联系。,第六节 多元函数的极值及应用,一.二元函数的极值,二.二元函数的最值,三.条件极值 拉格朗日乘数法,第六节 多元函数的极值及应用,教学要求：,1.理解多元函数极值和条件极值的概念;,3.会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值;,2.掌握多元函数极值存在的必要条件,理解二元函数极值存在的充分条件;,4.会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.,第六节 多元函数的极值及应用,一、二元函数的极值,设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,和极小值统称为极值.,极大值,极小值点统称为极值点.,极大值点和,极大值(或极小
3、值).,(或极小值点)，,函数值 f(x0,y0)称为,则称点(x0,y0)为函数的极大值点,f(x,y)f(x0,y0),若对该邻域内异于(x0,y0)的任意点(x,y)，恒有,定义,(或 f(x,y)f(x0,y0)，,第六节 多元函数的极值及应用,(1),(2),(3),椭圆抛物面,圆锥面,例,第六节 多元函数的极值及应用,设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在,同理可证,使得等式 同时成立的点(x0,y0),则必有,定理(极值存在的必要条件),该点处取得极值,证,故,称为函数 f(x,y)的驻点.,设函数 f(x)在点x0处可导且x0为f(x)的极值点，,定理(极
4、值的必要条件),（驻点）,且在,设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在,则必有,定理(极值存在的必要条件),该点处取得极值,注意：,但反之，,驻点不一定是函数的极值点.,由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点,偏导数不存在的点也可能是极值点.,但驻点(0,0)不是函数的极值点.,如圆锥面 的顶点(0,0),即,为零,在点(0,0)处的两个偏导数同时,小值点,但顶点（0,0）是极,的偏导数不存在,极小值为0.,双曲抛物面（马鞍面）,注意：由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点,但反之，,驻点不一定是函数的极值点.,定理(极值存在的必要条件),问题：,可能极值点：,驻点、,偏导数
5、不存在的点,如何判定一个可能极值点是否为极值点？,设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，,定理(判定极值的第二充分条件),则,且,定理(极值存在的必要条件),设函数z=f(x,y)在点(x0,y0),当A0时,(2)当B2AC0时,(3)当B2AC=0时,则,若记,即,(x0,y0)是函数的驻点,且,的某一邻域内连续且有连续的一阶与二阶偏导数,定理(极值的充分条件),f(x0,y0)为极大值；,(1)当B2AC0时,f(x0,y0)为极小值.,f(x0,y0)非极值.,f(x0,y0)可能为极值也可能非极值.,且当A0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极值.,极值存在的必要条件和充分条
6、件,对于具有二阶连续偏导数的函数求函数 z=f(x,y)极值的步骤：,2.极值判定:,1.求驻点:,得到所有驻点.,判定 f(x0,y0)是否为极值,4.求出极值:,求出二阶偏导数的值 A,B,C.,并对每一驻点,求出二阶偏导数,极小值.,是极大值还是,3.对每一驻点(x0,y0),定出 B2AC 的符号,按照,定理的结论,求出极值点处的函数值.,极值存在的必要条件和充分条件,求 极值,求驻点,计算,极值不定,非极值,极值,极大值,极小值,求函数极值流程图,极值存在的必要条件和充分条件,例1 求函数 的极值,解,得驻点,在驻点(1,1)处，,在驻点(0,0)处，,解方程组,又,点(0,0)不是
7、极值点；,所以，,所以，函数有极小值,一、二元函数的极值,例2 求函数 的极值.,得驻点(0,0),(4,2).,解,求函数的二阶偏导数，,解方程组,在点(0,0)处,有A=2,B=0,C=4，,一、二元函数的极值,由极值的充分条件知,在点(4,2)处,而 A0,由极值的充分条件,点(0,0)不是极值点.,f(4,2)=8e2 是函数的极大值.,知点(4,2)为极大值点,例2 求函数 的极值.,一、二元函数的极值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,二.二元函数的最大值与最小值,若函数 z=f(x,y)在有界闭区域 D上连续,则一定存在最大值与最小值.,(1)先
8、求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值.,最值存在定理：,是函数在D上的最小值.,的就是函数在D上的最大值,(3)比较这些函数值的大小,(2)求出函数在区域边界上的最值.,最大,最小的就,边界上的最值,最点值,（一）闭区域D上可微函数的最值求法：,解,如图,（一）闭区域D上可微函数的最值求法,（一）闭区域D上可微函数的最值求法,（一）闭区域D上可微函数的最值求法,Solution.,（一）闭区域D上可微函数的最值求法,（一）闭区域D上可微函数的最值求法,（二）实际问题的最值,对于实际问题中的最值，若从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，,若可微函数在定义域内有惟一
9、的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值,在实际问题中，若（1）最值存在，（2）驻点唯一，,则该驻点必为最值点.,或（1）极值存在（2）驻点唯一,二.二元函数的最大值与最小值,这时，,(3)结合实际意义，利用驻点的惟一性及最值的存在性进行判断.,实际问题最值的求法,(1)根据实际意义建立函数模型及确定其定义域；,(2)求函数的驻点；,（二）实际问题的最值,二.二元函数的最大值与最小值,例4 要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?,设容器的长为x，宽为y，高为z，,于是,求偏导数,求驻点得,于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为,高取 时，,解
10、,且,所需的材料最省,x,y,z,容器所需,钢板的面积为,（二）实际问题的最值,ex3.把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数.,解,（二）实际问题的最值,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：辅导书和面包，假设他购买 本辅导书，个面包达到最佳效果，效果函数为 设每本辅导15书，每个面包5元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,求 在条件 下的极值点,三、条件极值 拉格朗日乘数法,第六节 多元函数的极值及应用,问题的实质：,三.条件极值与拉格朗日乘数法,对自变量除了限制在定义域内取值外，,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他附加条件.,无条件极值：,条件极值：
11、,还有其它的附加条件的极值,(实际问题),(极值),第六节 多元函数的极值及应用,具有某种约束条件的极值问题称为条件极值,条件极值,无条件极值,求函数 极小值.,求函数 在条件 下的极小值.,极小值点为曲面 上的最低点(0,0),极小值点为曲线,极小值为,z=0.,上的最低点(1,0),极小值为z=1.,三.条件极值与拉格朗日乘数法,对于函数 在条件 下的条件,称 为目标函数，,目标函数 在条件,下的极值是指当点 在xOy,坐标面上的曲线 上变,相应函数 的极值.,也即曲线 上,称为约束条件.,方程,极值问题，,的极值点.,动时，,从几何上看，,三.条件极值与拉格朗日乘数法,方法1：(降元法)
12、,使之成为一元函数的无条件极值问题.,但在很多情况下,这种转化是困难的,有时甚至是不可能的.因此,利用方法1去求条件极值往往较难实施.为此，介绍一种求条件极值的方法,在约束条件 下,求函数 的极值,从 中解出y,拉格朗日乘数法,方法2：,代入函数,三.条件极值与拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法,求函数 在满足约束条件 下的条件极值.,问题：,可转化 为求拉格朗日函数,(其中 为某一常数,称为拉格朗日乘数)的无条件极值问题.,事实上,的极值.,条件极值问题,三.条件极值与拉格朗日乘数法,的必要条件可知,因为若,则由极值,即,同理,求函数 在满足约束条件 下的条件极值问题,可转化 为求拉格朗日函数,
13、这样,的无条件极值问题.,这种方法称拉格朗日乘数法.,二、条件极值与拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法的具体步骤:,（1）构造拉格朗日辅助函数,（2）解方程组,（3）判别是否为极值,求函数 在满足约束条件 下的条件极值.,问题：,(实际问题),由于条件极值几乎都是实际问题，而实际问题又是以求函数最值为宗旨，实际问题中的最值问题实质上也是一个极值问题。,拉格朗日乘数法只给出函数取得极值的必要条件，因此，按照这种方法所求的点是否为极值点，还需要讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是否为极值点。,三.条件极值与拉格朗日乘数法,例5 设周长为2 p 的矩形,绕它的一边旋转构成圆
14、柱体,求矩形的边长各为多少时,圆柱体的体积最大.,其中矩形边长 x,y 满足的约束条件是,2x+2y=2p，,求函数 在条件x+yp=0下的最大值.,设矩形的边长分别为x 和 y,构造辅助函数,求F(x,y)的偏导数,得到旋转圆柱体的体积为,解,转,且绕边长为y的边旋,即x+y=p.,并建立方程组,三.条件极值与拉格朗日乘数法,求F(x,y)的偏导数,并建立方程组,由方程组中的第一、二两个方程消去,根据实际问题意义知最大值一定存在,且有惟一的可能极值点,所以最大值存在.,圆柱体体积最大值为,代入第三个方程,得,得 2y=x,即当,例6 在经济学中有个Cobb-Douglass生产函数模型,现在
15、已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数为,每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元.,该制造商的总预算是50000元.问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本,以使生产量最高.,三.条件极值与拉格朗日乘数法,即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的作为资本投入，这时可获得最大产量，,解,这是一个条件极值问题。,求函数,在条件,令,由方程组,中第一个方程解得,代入第二个方程中得,在两边同乘以,即,将此结果代入方程组的第三个方程中，得,解,在条件,三.条件极值与拉格朗日乘数法,例8 要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?,设容器的长为
16、x，宽为y，高为z，,于是,求偏导数,求驻点得,于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为,高取 时，,解1,且,所需的材料最省,x,y,z,容器所需,钢板的面积为,三.条件极值与拉格朗日乘数法,解2 设拉格朗日函数为,将方程组的第一个方程乘以x，,所以,第三个方程乘以z，,第二个方程乘以y，,再两两相减得,代入第四个方程得可能极值点,目标函数为,约束条件为,一.多元函数的极值,三.拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,二.多元函数的最值,小结,第六节 多元函数的极值及应用,思考题,第六节 多元函数的极值及应用,思考题解答,作业:P337 1,4,8,下次课内容 第八章 习题课,解：,Solution.,
