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1、,第八节 闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以,后各章的学习中经常用到. 这些性质, 从几何上是容易,理解的, 但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困,难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释.,一、最大值最小值定理,定义 设 定义在区间 上，,则称 为函数 在区间上的最大值； 为最大值点，,若存在点 使得对每一个 都有,则称 为函数 在区间上的最小值； 为最小值点，,若存在点 使得对每一个 都有,并记,并记,例 函数 在整个区间上的最小值为 ,但无最大值.,闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值,定理1
2、（最大值最小值定理）.,和最小值.,从右边的图中可以看出,若函数 在闭区间上连,续, 则 在点 和 处,分别取到最大值和最小值.,证明从略.,用简单的数学符号，定理1可表述为：,值得注意的是，定理1中的条件 在闭区间上连续，,不能改为开区间.,证 因 存在，由局部有界性定理，存在,例 设函数 在 内连续，且 存在，,由于区间 可以表示为,由于函数连续，故函数在闭区间 有界.,证明 在 内有界.,使得 在 内有界；,由此得函数在 内有界.,二、零点定理与介值定理,在初等代数中, 我们熟知这一个事实:,从几何上我们可以很清楚地看到,则一定存在,对多项式函数 ，若存在 使得,该问题的实际意义.,但该
3、问题对于一般函数而言，结论不成立.,注意到：,例如，,但不存在,关键原因在于函数不连续.,定理2 (零点定理),定理2可用符号表述为：,若函数 在闭区间 上连续，且 异号，,则函数 在开区间 内至少存在一个零点.,从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧 的,两个端点分别位于 轴的两侧，则曲线弧与 轴至少有,一个交点.,例 证明方程 在区间 内有唯一的根.,证 令,由零点定理，必存在 ，使得,又函数 是单调增加函数，故零点是唯一的.,例 任何实系数奇次多项式方程必有实根。,证 设实系数奇次多项式方程为,因,不妨设 . 记,可见：,故，存在 使得,使得,同理存在 使得,因 由零点定理，知存在,证 作函数 则 且,且 , 则对于介于 与 之间的任何实,定理3 (介值定理) 若函数 在闭区间 上连续,数 在区间 内至少存在一点 使得,即,注 零点定理是介值定理的特殊情况.,之间的任何值. 即,推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值,为闭区间.,推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射,
