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1、第一节 向量及其线性运算,一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。,约定：零向量的方向是任意的,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,=,向量的平行：,方向相同或相反。,/,向量的共面：,一组向量，当把它们的起点放在同一,点时，其终点与
2、公共起点在同一平面上。,1 加法：,特殊地：若,分为同向和反向,二、向量的线性运算,1、向量的加减法,A,A,C,C,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三角不等式,2、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,例1 化简,解,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,两个向量的平行关系,数轴：,1,o,P,由定理1，存在唯一一个实数 x , 使得,因此，,我们称实数 x 为数轴上点 P 的坐标,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间直角坐
3、标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,点M,有序数组,因此，在空间直角坐标系 Oxyz 中,有序数组,即称为点M 的坐标，,任给向量 ，对应有点,如图所示：,空间向量的坐标表示,四、利用坐标作向量的线性运算,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,等于终点B的坐标减去起点A的坐标,解,由题意知：,设,则,即两向量平行的充要条件是它们对应的坐标成比例。,注记：若向量,中有一个坐标为0，例如,则上式应理解为,（两向量平行的坐标表示）,五、向量的模、方向角、投影,1、两点间的距离公式,特殊地：若两点分别为,设向量,向量模长的坐标表示式,2、向量的模,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所
4、求点为,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,3、方向角与方向余弦,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,称为向量 的方向余弦,由图分析可知,以 的方向余弦为坐标的向量,就是与 同方向的单位向量。,方向余弦的特征,称为向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,以 的方向余弦为坐标的向量,就是与 同方向的单位向量。,解,例6 已知两点 和 ，计算,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,（1）与 同向的单位向量,（2）与 反向的单位向量,解,解,空间一点在轴上的投影,六、向量在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,设,称数 为 在 u 轴上的投影,记为,空间一向量在坐标轴上的投影,设向量,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,（可推广到有限多个）,证：因为,性质3：,要证：,作 业:,习题7-2：6，8，9，12，13,思 考 题,
