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1、第四章 特殊函数(上),勒让德多项式 球函数,本章主要内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生成与递推公式，球谐函数。,第四章 勒让德多项式 球函数,4.1 勒让德方程及其解的表示,4.1.1 勒让德方程 勒让德多项式在分离变量一章中，我们已经知道球坐标系下拉普拉斯方程为：,（4.1.1）,在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到欧拉型常微分方程,和球谐函数方程,（4.1.2）,(4.1.2) 式的解,与半径,无关，称为球谐函数,，或简称为球函数,球谐函数方程进一步分离变量，令,得到关于,的常微分方程,（4.1.3）,称为,阶连带勒让德方程或缔合勒让德方程.,令,和,把自变数从,换为,，
2、则方程（4.1.3）可以化为下列,阶连带勒让德方程,形式的,（4.1.4）,若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，则,，即有,（4.1.5）,称为,阶勒让德 (legendre)方程,同样若记,，,则上述方程也可写为下列形式的,阶勒让德方程,(4.1.6),4.1.2 勒让德多项式的表示,1. 勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,（4.1.7）,上式中l/2表示不大于l/2的最大整数,上式具有多项式的形式，故称,为 阶勒让德多项式,勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数,式（4.1.7）即为勒让德多项式的级数表示,勒让德多项式的图形可通过计算
3、机仿真(如MATLAB仿真)得到,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,（即为奇数）时，,则,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,（4.1.8）,（即为偶数）时，,则,含有常数项，即,（4.1.7）中,的那一项，所以,（4.1.9）,式中记号,而,因此，,2、勒让德多项式的微分表示,（4.1.10）,上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式,下面证明表达式 (4.1.10) 和（4.1.7）是相同的,【证明】用二项式定理把,展开,把上式对x求导,次凡是幂次,的项在,次求导过程中成为零，所以只需保留幂次,的项，即,的项，应取,，并且注意到,因此有,3.勒让德多项式的
4、积分表示,根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有,容易证明微分表示（4.1.10）也可表示为环路积分形式,（4.1.11）,为,平面上围绕,并取正方向这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式,点的任一闭合回路，,式（4.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分,(4.1.12),【证明】 取,为圆周，圆心在,，半径为,在,上有：,并注意到,代入（4.1.11）得到,这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示,从该积分还很容易看出,（4.1.13）,(4.1.12),利用拉普拉斯积分表示（4.1.12），还可以证明,，,（4.1.14）,【证明】,回到原来的变量,，,，则,如从,4.2 勒让德多
5、项式的性质,4.2.1 勒让德多项式的性质,1. 勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,（i）,的,个零点都是实的，且在,内；,（ii）,的零点与,的零点互相分离,2. 奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,（4.2.1）,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,3.勒让德多项式的正交性及其模,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(4.2.2),其中,当,时满足,， (4.2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(4.2.4),下面给出公式（4.2.2），及其模(4.2.4)的证明,【证明】 （1）正交性,勒让德多项式必然满足勒让德方程(
6、4.1.6)，故有,两式相减，并在-1,1 区间上对x积分，得,因为上面等式左边的积分值为,所以当,时，必然有,成立,（2）模 （利用分部积分法证明）,为了分部积分的方便，把上式的,用微分表示给出，则有,注意到,以,为,级零点，,故其,阶导数,必然以,为一级零点，从而上式已积出部分的值为零,再进行,次分部积分，即得,是,次多项式，其,阶导数也就是最高幂项,的,阶导数为,故,再对上式分部积分一次,容易看出已积出部分以,为零点,至此，分部积分的结果是使,的幂次降低一次，,的幂次升高一次，,且积分乘上一个相应的常数因子,继续分部积分（计,次），即得,故勒让德多项式的模为,且有,4. 广义傅里叶级数,
7、定理4.2.1 在区间 -1,1上的任一连续函数 ,可展开为勒让德多项式的级数:,（4.2.5）,其中系数:,(4.2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(4.2.7),其中系数为 (注意积分上、下限),（4.2.8）,4.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）,例4.2.1 将函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】 根据 （4.2.5）设,考虑到,，由(4.2.6)显然有,所以,例4.2.2 将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解】 用直接展开法,令,，则由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面我们给出一
8、般性结论：,结论1：设,为正整数，可以证明：,结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数,为奇函数，,则展开式（4.2.5）系数,若需展开的函数,为偶函数，则展开式（4.2.5）系数,例4.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,展开为广义傅里叶级数,【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上，,是三次多项式（注意,既非奇函数，也非偶函数），,设它表示为：,比较同次幂即得到,由此得到,练习：以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,下面函数展开为广义傅里叶级数的形式,4.3 勒让德多项式的生成函数（母函数）,4.3.1勒让德多项式的生成函数的定义,如图4.3所示，设在一个单位球的北极放
9、置一带电量为,的正电荷，则在球内任一点,（其球坐标记作,）的静电势为,（4.3.1）,静电势,遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，,因此，,应具有轴对称情况下拉普拉斯方程通解的形式，,即,（4.3.2）,首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心,电势应该是有限的，故必须取,（4.3.3）,为确定系数,，在上式中令,，并注意到,则得到,（4.3.4）,将上式左边在,的邻领域上展为泰勒级数,（4.3.5）,比较（4.3.4）和（4.3.5）即知,于是（4.3.3）成为,(4.3.6),若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有,（4.3.7）,于（4.3.6）中代入,，即为,（4.3.8）,因
10、此,或,叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数）,4.3.2 勒让德多项式的递推公式,根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式,先把（4.3.6）写成,（4.3.9）,对,求导,对上式两边同乘以,，得,（4.3.10）,相反，若对（4.3.8）两边对,求导,上式两边同乘以,，得,将（4.3.8）式代入上式左边得到,比较上式两边,项的系数，得另一含导数的递推公式,将（4.3.9）代入 左边,对上式，比较两边的,项的系数，得,即,（4.3.11）,上式即为勒让德多项式的一个递推公式,（4.3.10）,在积分过程中，常用到以下几个递推公式,勒让德多项式的递推公式：,1,2,3,5,4,母
11、函数,两边对r求导,两边对x求导,递推公式2的证明,递推公式1对x求导,递推公式2,后式减前式：,递推公式3的证明,相加：,递推公式3,递推公式2,递推公式4的证明,递推公式3,递推公式2,ll-1,乘以x：,递推公式5的证明,例4.3.1 求,【解】,例 4.3.2,求积分,【解】利用递推公式（4.3.11）,故有,4. 4 球函数,4.4.1球函数的方程及其解,1. 球函数方程,根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程实施分离变量,(4.4.1),式中,令,，,则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量,所满足的方程,(4.4.2),与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（4.1.1）,(4
12、.4.3),已经有所区别关于(4.4.3)的解在贝塞尔函数部分讨论,而角度部分的解,，满足下列方程,(4.4.4),上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（4.4.4）与拉普拉斯方程导出的（4.1.2）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函数）,球函数方程（4.4.4）再分离变量，令,得到两组本征值问题,（i）,（4.5.5）,本征值为,本征函数为,(ii),(4.4.6),本征值,本征函数,在,区域中求解,得到与本征值,相应的本征函数,实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为,（4.4.7）,其中,是变量,相应于本征值,的本征函数；,是变量,相应于本征值,（对于确定的,）的本征函数
13、,2. 球函数表达式,（1）复数形式的球函数表达式,为了使得(4.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义,(4.4.8),为球谐函数的本征函数（相应于本征值,，并称它为球函数（球谐函数）表达式,上式（4.4.8）也是复数形式的球函数其中归一化系数,的值后面会给出,线性独立的,阶球函数共有,个,因为对应于,，有一个球函数,；,对应于,则各有两个球函数即,和,根据欧拉公式,，,将复数形式的球函数统一表示为,（4.4.9）,在（4.4.9）之中，独立的,阶球函数仍然是,个,4.4.2 球函数的正交关系和模的公式,1 球函数的正交性,根据,的正交性质,当,时，,根据,的正交性,当,时，,可以得到,的正交性，即当,或,时有,即,（4.4.11）,作业：计算下列定积分,
