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1、线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.,线性空间 小结,返回,一、线性空间,1. 线性空间的概念,2. 线性空间的性质,(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；,(2) (1)=-，k=0k=0，或=0,返回,二、基、维数和坐标,1基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关(无关)；基、维数和坐标；过渡矩阵.,2基本结论,(1) 线性相关性的有关结论.,(2) 在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都作成V的一个基；任意个m(mn)个向量都是线性相关的.,返回,(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性
2、无关的向量1,2,n，且V 中任意向量都可由它线性表示，则V是n维的，而1,2,n就是V的一个基.,(4) 设1,2,n和1,2,n是n维线性空间V的两个基，A是由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵，(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn)分别是向量在这两个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.,返回,三、线性子空间及其形式,1基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.,2基本结论：,(1) 线性空间V的非空子集合W作成V的子空间 W对于V的两种运算封闭；,(2) 线性空间V的两个子空间的交与和仍为子空间.,(3)(维数公式) 若V1,V2是线性空间V的两个有限维子空间，则,返回,
3、(4) dim L(1,2,n)=rank(1,2,n),L(1,2,n)=L(1,2,m)向量组 1,2,n与1,2,m 等价.,(5) 设U是线性空间V的一个子空间，则存在一个子空间W，使得V=UW ，此时称W为U的一个余子空间.,返回,(6) 设V1,V2,Vs是线性空间V的子空间，下面这些条件等价：, W=Vi 是直和；, 零向量的表示法唯一；, dim(W)=dim(Vi) ., ;,返回,3. 同构映射的基本性质：,(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；,(2) 同构映射把子空间映成子空间；,(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；,(4) 数域P上两个有限维线性空间同构它们有相同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都与n元数组所成的线性空间Pn同构.,返回,本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；,难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.,本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.,返回,本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：,
