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1、,第二章 LTI系统的时域分析法,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法2.2 LTI离散系统的经典时域分析法2.3 LTI连续系统的单位冲激响应2.4 LTI离散系统的单位序列响应2.5 卷积2.6 卷和,LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程； LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程； 时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应；两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,一、 微分方程的经典解,如果单输入一单输出系统的LTI连续系统激励为f(t)，响应为y(t)，则系统的数学模型是n 阶线性常系数微分方程。,该方程的
2、全解（系统的输出）由两部分组成：齐次解yh(t)非齐次特解yp(t),ai 和bj 为常数，且an=1,1、齐次解yh(t),的解,齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根i (i=1，2，n) ； 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；,特征方程,解：,特征方程为,特征根为,求微分方程的齐次解，已知:,2、特解yp(t),是t0微分方程的一个解； 特解的函数形式与激励函数（f(t)）的形式有关，; 选定特解后，将其代入到微分方程，求出各待定系数Pi,3、完全解,微分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根均为单实根，则其全解为：,解：（1）求齐次解,齐次解一般形式：,(2) 求
3、特解,代入原微分方程,(3) 求全解,齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。但齐次解的系数Ci的值是与激励f(t)有关。 特解的函数形式由激励信号f(t)确定，称为强迫响应。,二、初始值的确定,若输入f(t) 是在t=0 时刻接入，怎么确定求待定系数所需的一组初始条件？ 初始条件：指 t=0+ 时刻的值，即 y(j)(0+) (j = 0，1，n1)。,t =0 时，激励尚未接入，t =0 时的值y(j)( 0) 反映了系统过去的历史状况； t = 0+时，激励已接入，因而 y(j)(0+) 则已包含输入信号的作用。,要求,如何由已
4、知的初始状态 y(j) ( 0)，设法求得初始条件y(j) (0+)。,问题,解决方法,初始值确定的两种情况：,若给定的是具体电路，根据电路分析中的换路定律来确定t=0+初始条件； 若给定的是微分方程和初始条件，根据激励信号的情况，利用微分方程两端各奇异信号相平衡的方法来判断；,已知：,已知系统的微分方程为：,三、零输入响应和零状态响应,LTI系统的完全响应 y(t) ：可分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入响应yx(t) ：激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应； 零状态响应yf(t)：系统初始状态为零时，仅由输入信号 f(t) 所引起的响应；,微分方程式是齐次方程，yx(t)与齐
5、次解yh(t)形式相同,是齐次解的一部分； 求解的待定系数直接由给定的t=0-初始状态y(j)(0-)确定； 零输入响应是齐次微分方程满足初始状态（或零输入响应初值）的解,1、零输入响应yx(t),右端为零,已知：,已知系统的微分方程为：,求零输入响应,微分方程式的初始状态为零，有输入信号，是非齐次方程； 零状态响应包含齐次解和特解两部分，由于要求齐次解中的待定系数，需要确定微分方程的初始条件y(j)(0+)； 时域中求解零状态响应较麻烦，但对理解系统的物理概念有帮助；,2、零状态响应yf(t),3、总结,自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同； Cxi仅由初始状态所决定；
6、 Cfi仅由输入激励f(t)所决定， Ci是由起始状态和激励共同决定。,其中，,2. 2 LTI离散系统的经典时域分析法,一、差分方程的经典解,差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。,n阶常系数线性差分方程,1、差分方程的齐次解,n阶前向齐次差分方程,其特征方程为：,根据特征根取值的不同，有不同齐次解的形式,特解与激励 f(k) 的形式相关，常见激励的几种形式和相应的响应形式如下表：,2、差分方程的特解,LTI差分方程的完全解：,3、差分方程的完全解,LTI离散系统的全响应y(k)分为： 零输入响应yx(k) 和零状态响应yf (k) 。,二、零输入响应、零状态响应和全响应,零
7、输入响应yx(k) ：当激励为零时完全由初始状态所引起的系统响应； 零状态响应yf (k) ：当初始状态为零时完全由激励 f(t) 所引起的系统响应。,1、零输入响应yx(k),用齐次解的经典求解方法求零输入响应,2、零状态响应yf(k),以下通过举例来说明经典法求解零状态响应的方法：,3、经典法求全响应,自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同； Cxi仅由初始状态所决定； Cfi仅由输入激励f(t)所决定， Ci是由起始状态和激励共同决定。,其中，,2.3 连续系统的单位冲激响应,本节解决两个问题： 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念； h(t)的求取方法,一、单位冲激响应
8、h(t),1、单位冲激响应和单位阶跃响应的概念,零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)； 如果激励是单位冲激信号(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 如果激励是单位阶跃信号(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。,注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。,2、h(t)的求解方法,此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。,（1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解,（2）利用微分方程的经典求解法求h(t),某二阶LTI系统的微分方程为：,试求其单位冲激响应h(t) 。,2.4 LTI离散系统的单
9、位序列响应,本节解决两个问题： 单位序列响应和单位阶跃响应的概念； h(k)的求取方法,一、单位序列响应和单位阶跃响应的概念,单位序列响应h(k)：离散系统的激励信号为(k)时的零状态响应； 单位阶跃响应g(k)：离散系统的激励信号为(k)时的零状态响应；,=,=,(k),g(k),二、h(k)的求取方法,1、利用单位阶跃响应与单位序列响应的关系求h(t),2、利用差分方程的经典求解法求解,求下列差分方程的单位序列响应,注意两点：,1、初始值的确定：n阶差分方程,初始条件为：,2、差分方程的右端由序列f(k)及其各阶导数的线性组合时：,设微分方程右端仅有f(k)时的单位序列响应为h0(k),2
10、.5 卷积积分,本节解决几个问题： LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分 卷积的求取方法 卷积的存在性 卷积的性质 利用卷积求yf(t),一、LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分,1、卷积积分的定义（1）任意信号 f(t) 表示为冲激函数的积分,激励 f(t) 零状态响应 yf(t),结论：零状态响应 yf(t)为激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分,(2) 关于h(t),是系统时域特性的一种描述； 可以用来计算零状态响应yf(t)；,LTI为因果系统,f(t)为因果信号,二、卷积的基本计算方法,1、图解法,两个函数x1(t)和x2(t)的波形如下图所示：,y(t)是x1()和x2(t
11、)波形相乘后组成的曲线与横轴之间构成的图形的面积。,总结卷积的图解法的步骤,（1）变量替换：将自变量由 t变成 （2）反转：将h()折叠成h()。注意：可将两函数的任意一个折叠。（3）移位：将h()移位成h(t), 由于t是变化的，这种移位是动态的，使两个函数从不重叠到重叠甚至脱离重叠；（4）相乘： f()与h(t)相乘；（5）积分：重叠区域进行积分；重叠区域的面积即为t时刻的卷积值；,注意：图解法是借助曲线图求解卷积积分，而不是绘图。此方法可清晰地判定积分的上下限。,（2）反转：h()为h(),两函数f(t)和h(t)波形如图所示，试求卷积,（4）分段求卷积：,（3）将h()移位成h(t),
12、（5）写出y(t)表达式,两函数f(t)和h(t)波形如图所示，试求卷积,2、函数式计算法（卷积积分上下限的确定）,对于两个卷积信号有函数表达式，且不便于作出信号的图形，则可以采用该方法，但关键的问题是如何确定卷积积分上下限。,两函数 f(t)=(t) 和 h(t)=(t) ，试求其卷积。,两函数 f(t)=e-2t(t) 和 h(t)=e-t(t) ，试求其卷积。,两函数为：,试求其卷积。,三、卷积积分的存在性,1、假定f(t)与h(t)不包含冲激。在任何有限时刻t，若 则两函数的卷积存在。据此，可推出如下判定准则：,求 和 。,将两无时限信号分解为：,判断 是否存在。,四、卷积的性质,1、
13、卷积的代数运算性质(1) 交换律,(2) 分配律,(3) 结合律,系统的并联,系统的级联,2、卷积的时移性,3、卷积的微积分运算性质,(1) 卷积的微分性质,(2)卷积的积分性质,有始信号,对两函数的条件：连续、只有有限的间断点、必须绝对可积,（3）卷积的微积分性质,微积分性质：,杜哈密尔积分：,零状态响应也可由激励的一次导数f(t)与单位阶跃响应g(t)的卷积求得。,推论：,i 和 j 为 为正是求导；为负是求积分,h(t)和f(t)皆为有始信号,（1）求：,4、含有冲激函数(t)的卷积,(1),(3),（4）,（5）,推论：,i 为 正表示求导次数； 负表示积分次数；,（2）系统如图1所示
14、，激励f(t)为图2所示信号时求响应y(t)。,-,（3）已知：,2.6 卷和,本节解决几个问题： LTI离散系统的零状态响应表示为卷和 卷和的求取方法 卷和的性质 利用卷和求yf(k),一、LTI离散系统的零状态响应表示为卷和,任意离散信号 f(k) 可以表示为单位序列和的形式:,即：,若 f(k) 是因果信号,LTI离散系统产生的零状态响应yf(k),LTI离散系统:,二、卷和的求法,自变量由k变成n将h(n)反折为h(-n);将h(-n)平移为h(k-n); h(k-n) 与f(n) 相乘;求各乘积之和,1、图解法,求：,解：（1）改换h(k)的自变量后反折迭得h(-n),（2）平移得
15、h(k-n),（3）固定x(n), 移动 h(k-n) 后求和,k0时，两信号不重合,k=0 时,k=1 时,k=2 时,k=3 时,k=4 时，,k=5 时，,k=6 时，,k=7 时，,2、数值法,求：,解：固定f(k) ,折迭h(k)为h(k-n)，作如下运算,3、算式法（逢十不进位乘法）,求：,解： 用算式法求解,注意： f(k) 的有效非零值位数为 M , h(k) 的有效非零值位数为N，则 yf(k) 的有效非零值位数M+N-1； yf(k)的k=0位置的确定原则： yf(k)的k=0右（或左）边的位数等于 f(k) 与 h(k)的k=0右（或左）边的位数之和； f(k) 所有离散
16、函数值的和与 h(k) 所有离散函数值的和的乘积等于 yf(k) 所有函数值的和。,4、公式法,对于较长序列和无限长序列的卷和的求解通常采用公式法。 等比数列的求和公式列如下：,（1）,（2）,（4）,（3）,三、卷和的性质,1、交换律,2、分配律,3、结合律,4、含单位函数的卷和,(1),(2),(3),(4) 若：,则：,求下列框图所示系统之h(k)，已知（a，b 为常数）,四、利用卷和求零状态响应 yf(k),求离散系统全响应的方法,求出零输入响应：yx(k);求出系统的：h(k);求出零状态响应：yf(k)=x(k)h(k)求出全响应：y(k) = yx(k)+ yf(k) 特别注意：在求解零输入响应出yx(k)时，需分辨清楚初始条件 yx(0) 和 y(0) 。,已知：,试求其全响应。,没有特别说明的情况下，初始条件指的就是零输入初始条件 yx(0),本章的作业:,第一次作业：2.6 (2) 2.9 (2) 2.13 (a)、（d） 2.16 (6)、(7),第二次作业： 2.19 （3）、（4） 2.29 （2） 2.30 (2) 2.31 (5),
