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1、数学竟赛培训资料(理工)第六讲 曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分. 弧微分. 注意无方向问题,一般计算程序: 画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.1.设c0为常数,L:的弧长.解. L的参数方程是:因此所求弧长.例6.2.计算均匀密度的球面在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.解.边界曲线的三段弧分别有参数方程: x=acos, y=asin, z=0,02; x=acos, y=0, z=asin,02; x=0, y= acos, z=asin,02 .曲线周长s=3a2,及(2)
2、第一型曲线积分的对称性用法.例6.3.计算积分I=a0 .解.用极坐标, L:. 根据对称性得积分I=4.例6.4.设L是顺时针方向椭圆= .(2001天津赛)解.根据对称性得积分=4l .2.第二型(对坐标)曲线积分.注意有方向问题,一般计算方法有: 化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.5.设L为正向圆周= .解. L:于是有积分=32 . 例6.6.设C是从球面上任一点的任一光滑曲线(a0,b0), 计算积分I=,其中.解. rdr=xdx+ ydy+ zdz , I=.(2)格林公式的应用(注意条件) . 当L不
3、闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线, (2,0)、(-2,0)两点不在L上 .试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值: (1991上海竞赛)解.令A(2,0) ,B(-2,0) , L包围的平面区域内部为D,记.则(1) A、B均为G的外点,根据格林公式有I=0 .(2) A为G的内点, B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C ,有I=且C :x=2+rcos, y=rsin,00上的向量A(x, y)=2xyj为某二元函数u(x, y)的梯度,并求u(x, y) . (1998研)解.令P(x, y)=
4、2xy解得= -1 .然后有u(x, y)= (5)曲线积分的证明题.例6.11.设P(x, y), Q(x, y)具有连续的偏导数,且对以任意点为圆心,以任意正数r为半径的上半圆L:证明: (2004天津竞赛)证.记上半圆直径为AB, 取AB+L为逆时针方向,其包围的区域为D,由格林公式与积分中值定理MD,且于是的任意性知P(x, y)0,且例6.12.设函数(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(2)求函数(y)的表达式. (2005研)解. (1)设C是半平面x0内的任意分段光滑简单
5、闭曲线,在C上任取两点M、N, 围绕原点作闭曲线(如图)进行积分即得证明.(2)由(1) ,在半平面x0内积分与路径无关,得例6.13.设在上半平面D=(x, y)|y0内, 函数f(x, y)具有连续偏导数,且对任意的t0都有f(tx, ty)=证明: 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有 (2006研)证.又f(tx, ty)= 对t求导后,令t=1,即可得结果 .3.曲线积分的应用题.例6.14.若悬链线上每一点的密度与该点的纵坐标成反比,且在点(0,a)的密度等于b.试求曲线在横坐标0到a的点之间弧段C的质量m .解.由条件知曲线上点(x, y)处的密度为aby,于是m=例6
6、.15.质点P在力F作用下从点A(1,2)沿着直径AB的半圆周(见图)运动到B(3,4) , F的大小等于点P(x, y)与原点间的距离,方向垂直于线段OP且与y轴正向夹角为锐角.求变力F所作的功W .解. F=-yi+xj,令L是所述AB弧:于是 W=4.两类曲线积分的联系.其中cos,cos,cos为有向曲线L的正向切线的方向余弦.（二）习题6.1.填空题:设当x0时,为同阶无穷小, 则n= . (2002北京竞赛)6.2.设曲线是平面x+y+z=1与球面6.3.设L是平面区域D:0x,0y,的正向边界.证明:(1)6.4.计算曲线积分I=其中L是以点(1,0)为中心,为半径的圆周(R1)
7、,取逆时针方向.6.5.求I=其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线到点O(0,0)的弧. (1999研)6.6.设二元函数u(x, y)在有界闭区域D上可微,在D的边界曲线上u(x, y)=0,并满足= u(x, y),求u(x, y)的表达式. (2005天津竞赛)6.7.设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且求f(x, y) . (2005津)6.8.设f(x)连续可导, f(1)=1,G为不包含原点的单连通域,任取M, NG, 在G内曲线积分与路径无关,(1)求f(x); (2)求,取正向 . (2004江苏竞赛) 6.9.计算I=其中L是绕原点两周的正向闭路.（三）
8、习题解答或提示6.1.应填: 2 . 6.2.解.利用对称性,因于是积分为 6.3.证. (1)左端=右端= (2)由(1)及推出 .6.4.解.C取逆时针方向,于是6.5.解.令l是有向直线段OA, D为L+l围成的半圆域,由格林公式得I=6.6.解.显然u(x, y)0满足条件,下面用反证法证明只有u(x, y)0满足条件.否则,不妨设D内有一点(a,b)使u(a,b)0,于是D内还有一点(,)使u(,)=M0是u(x, y)在D上的最大值,于是得出矛盾.对u(a,b)0的情形同理可证.6.7.解.因积分与路径无关,有=cosy, f(x, y)=siny+g(x) ,代入原式得对t求导后解出g(t) ,得f(x, y)=siny+2x6.8.解. (1)因(2)为星形线正向,用充分小的正向椭圆l: 代替积分:6.9.解.因以原点为中心作充分小半径r的正向圆周C ,则
