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1、延庆县第四中学 王献春,锐角三角函数,一、本章知识的地位与作用,三、教学建议,二、课标、考试说明、教材的要求,一、本章知识的地位与作用,本章是对代数中已初步涉及的函数概念的充实与视野开拓.本章属于三角学，为高中解斜三角形，任意角三角函数，反三角函数及三角方程打下基础.本章体现数形结合，学生对直角三角形的知识体系有较为完整的认识，本章提供一种以计算手段处理几何问题的途径.本章可被广泛应用于测量、工程技术和物理中，主要用来计算距离、高度和角度，具有综合技术教育的价值.,从课程本身来看,从中考角度看,从历年中考题来看，锐角三角函数的概念，特殊角三角函数值的计算是中考的必考内容；解直角三角形的知识更是
2、近年中考命题的热点之一，考查内容以基础知识和基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度和角度的应用问题，更要求学生能够根据题中给出的信息建构图形，建立数学模型，然后运用解直角三角形的知识解决问题。,13,近四年北京市中考锐角三角函数考点分析,16,近几年考试共性：（1）以特殊角30，45，60的三角函数值为载体考查实数运算（2）利用三角函数作为工具求圆、梯形中相关的长度（3）以旋转为载体，与全等、函数、相似等多个知识点综合解决问题,相 似,勾股定理,解斜三角形、三角函数,从教学内容看,12,认识三个教学要点,锐角三角函数的概念特殊
3、角的三角函数值根据三角函数值求角度解直角三角形的含义实际问题与解直角三角形,落实五个教学内容,基本点：对锐角三角函数的认识与应用支撑点：相似和勾股定理能力提升点：组合图形的转化求解 根据具体问题构造RT,18,1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA 、cosA、 tanA），知道30、45、60角的三角函数值。,2、会使用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。,3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。,14,课标要求：,二、课标、考试说明、教材对本章的要求,2014年中考考试说明要求,15,锐角三角函数,解直角三角
4、形,教材要求（可看教材）,应用举例,教材要求：锐角三角函数,使学生认识并理解锐角三角函数的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边之比.,使学生理解并熟记30、45、60角的三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值.会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度.,使学生掌握用计算器由已知锐角求它的三角函数值，反之，由已知某角的三角函数值求它对应的锐角.,教材要求：解直角三角形,使学生掌握直角三角形的边角关系，会运 用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形.,使学生会将等腰三角形、四边形形及一般三角形（含特殊角）中的边角计算问题通过作 垂线转
5、化为解直角三角形的问题去解决.,教材要求：应用举例,使学生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距 离、垂直距离等在测量中常用的术语，并弄清它们的意义.,使学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.进而用解直角三角形的知识解决.,课时安排-约11课时,28.1 锐角三角函数 4课时 正弦 1课时 余弦正切 1课时 特殊角的三角函数值 1课时 计算器 1课时28.2 解直角三角形 5课时 直角三角形的解法 1课时 三 角形中的边角计算 1课时 仰角俯角 1课时 方位角 1课时 坡角坡度 1课时小结与复习 2课时,20,三、教学建议,具体做法： 锐角三角函数,锐角的正弦是本章
6、的起点，同时又是重点.锐角的正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的认识过程.,具体做法：1-2课时,第一说明：直角三角形中，对于锐角A的任 一个值，其对边与斜边的比是一个 固定不变值 .,锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点.锐角的正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的认识过程.,1-2课时,第二说明：锐角的对边与斜边的比值是随锐角 的大小变化而变化的.,1-2课时,以上两点反映了角与边之间的一种关系，这种关系非以前所学过的数学符号所能表达，因此我们要引进新的符号和名称（给出锐角的正弦及表示法）.,直角三角形中，除A的对边与斜边之比外，还 有哪两条线段的比是固定不变的?,直角三角形
7、中，三条边组成六个比，其比值都是固定不变的，因有倒数关系，顾只研究其中的三个就够了.,1-2课时,通过教学使学生逐步形成“锐角三角函数值是直角三角形中的两条边的比值”的认识：由直角三角形中两条边的比，可以求得这个锐角的三角函数值；反之，已知一个锐角的三角函数值，就可以得到这个角所在直角三角形中两条边的比.,1-2课时,逐步帮助学生总结求一个锐角的三角函数值的几 种常用思路：,（2)设参数后用定义求锐角三角函数值,（1)直接用定义求锐角三角函数值,（3)转化为等角后用定义求锐角三角函数值,（4）构造直角三角形后用定义求锐角三角函数值,题型示例：,A:了解锐角三角函数概念,例3：如图，在RtABC
8、中，ACB90，CDAB于点D。已知AC= ，BC=2，求sinACD，tanBCD,1-2课时,例1：直角三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且AD:DC=1:2.求（1）ADB的三个三角函数值； （2）DBC的三个角函数值.,1-2课时,例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一点，且 ,ANBM于N.求cosNAD.,思路1：NAD= ABN， ABNBCM,思路2：NAD= ABN = BMC,cosNAD=3/5,21.1 锐角三角函数,例3：已知：如图，四边形MNBE和ABCD都是正方 形,特殊角的三角函数（第3课时）,用手中三角板推导特殊角的三角函数值.,记忆特殊角的三角函数值
9、.,计算含特殊角的三角函数式的值.,由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角.,指导学生记忆特殊角三角函数值的方法(1)数形结合法；,(2)表格法,2014年考试说明：,B:会计算含30,45,60角的三角函数式的值,（2014北京）14. 计算：,43,.来源:学#科#,（2013北京）13. 计算：,用计算器求锐角三角函数值 （第4课时）,用计算器探索三角函数的性质：锐角三角函数的增减性，同角三角函数的平方关系，互余两角三角函数的关系.,如： 探索锐角正弦的增减性,（1）用计算器；,（2）用几何画板；,（3）用几何证明：,解直5-6课时,解直角三角形是重要的基础性的知识，它是解决许多问题的工具
10、:,直角三角形中的边角计算；,一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；,圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；,初中教学内容,解直5-6课时,图形的分解数量的求解,锐角关系：A+B=90（互余）边长关系： （勾股定理）边角关系： （三角函数）面积关系：,回顾,广义,49,1、解直角三角形-单纯数学问题,由已知求未知,一个直角三角形的求解问题,有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中,掌握把斜三角形转化为直角三角形的基本方法即解决好两个直角三角形的组合、拼接等问题,抓住两个知识结合点，即图形转化的结合点（公共量的确定）；数形结合的结合点（数值之比）,53,斜三角形的可解性,-作高构
11、造直角三角形,明确斜三角形SSS、SAS、ASA、AAS可解得唯一解， AAA无解， SSA：常见两解，也可能唯一解或无解。,83,拓展研究的几个问题,84,要解决好图形的确立问题，即存在什么条件时图形不能唯一确定（分类讨论，不宜过难，可根据学生情况）？,拓展研究的几个问题,解直5-6课时,2课时：直角三角形的解法（1课时），三 角形中的边角计算（1课时）.,解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把已知 和未知联系起来.,ABC中，C=90，已知a，A，求b,c .,b = a tan(90A)（尽量用乘法）,解直5-6课时,例1：直角三角形可解的条件：已知两个条 件，其中有一边的条件.,直角三
12、角形中的边角计算解直角三角形.,ABC中，C=90，,解ABC.,分析：RtABC中，已知一边，不可解；,由已知， RtADC中，已知两边 可解，求出DAC，进而得BAC；,至此RtABC中,已知一边一角可解.,解直5-6课时,例2：已知：ABC中，CD、BE分别为AB与AC上的高， EBC=45 ， DCB=30 ，DC=12，求 BE.,分析：求BE，需要解Rt BEC， 已知一角，不可解；,由已知，RtBDC中，已知一边一角可解，求出BC.,至此RtBEC中,已知一边一角可解.,解直5-6课时,例3：已知：如图，ABC中，C=90，点D在BC上，BD=4，B=30，ADC=45，求AC的
13、长.,分析：RtABC， RtADC 均不可解；,设DC=x，在RtABC中，,x,解直5-6课时,例4：在ABC中，AB5，AC7，B 60 ，求BC的长.,思路：作AEBC于点E.RtABE， 可解，求出AE、BE， 使RtABE可解,解直5-6课时,例5：已知ABC中，AC4，A30，B45，求ABC的面积.,思路：由要求面积，容易想到作BDAC于AC点D.RtCBD含75 ，边之关系不明确. 改作CDAB点D.,解直5-6课时,例6：在ABC中，BC6，AC ，A 30 ，求AB的长.,思路：已知两边一对角，有可能 两解.作CEAB于点E.,解直5-6课时,例7：在ABC中，AC=5，
14、AB=3，BC=7，求A.,思路：作CDAB交BA延长线于点D.,解直5-6课时,对于含30、45和60的直角三角形，借助几 何性质求解.,重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式，然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变形以后的式子.,对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化为解直角三角形的问题.,应用举例7-9课时,求折断树高问题.,测高问题（底部可到达和不可达问题）（仰角、俯角）.,航海中的探索问题（方向角）.,修路建坝问题（坡度、坡角）.,总原则,2.注意循序渐进：,解直角三角形这一章是用代数方法研究直角三角形.在引入概念、推理论证
15、、计算化简、解决实际问题时，都应该画图帮助确定对边、邻边，列出直角三角形中的边角关系，并进行定量计算.教学中教师要起好示范作用.,1.注意形数结合：,学生的认识有一个由特殊到一般，由简单到复杂的发展过程.教学要适应这一规律，比如从研究含30、50角的直角三角形到含任意锐角的直角三角形，从开始的简单应用到后面的较复杂应用，由理论上的准备到实际测量活动，都是一个逐步深入提高的过程.教学中要注意这一点.,总原则,（1）转化的数学思想： 通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的转化；三角形中边角互化；,3.渗透思想方法：,总原则,（1）转化的数学思想：,
16、1.如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟25 m的速度沿着与水平方向夹角为750的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，10分钟后，在D处测得着火点B的俯角是300，求热气球升空点A与着火点B的距离（结果精确到m）.,总原则,（1）转化的数学思想：,分析： B=30，D=45，AD=1000（米）.,总原则,（1）转化的数学思想：,2.如图，ACB=ABD=90，AB=5，AC=3，BD=,分析：作DEBC于E.,总原则,（1）转化的数学思想：,3.(P121C组2)已知：RtABC，C=90，,思路1：“角”化边,作CDAB于D,的大小关系是什
17、么？请说明理由.若ABC为锐角三 角形，结论又如何呢?,总原则,（1）转化的数学思想：,已知：RtABC中，C=90，,思路1：“角”化边,的大小关系是什么？请说明理由.若ABC为锐角三角形，结论又如何呢?,总原则,（1）转化的数学思想：,已知：RtABC中，C=90，,思路2：“边”化角,的大小关系是什么？请说明理由.若ABC为锐角三角形，结论又如何呢?,总原则,（1）转化的数学思想：,4. (05海淀)已知ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.ACB=60时，请你证明SABC与SABD的和等于SBCE与SACF的和.,总原则,（1）转化的数学思想：,总原则,（2）方程思想：,例:P109例5 测量北大博雅塔AB的高度.在C处用高1.2m的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30，向塔的方向前进50m到达D,在D处测得塔顶A的仰角为71.,分析:关键求AG的长.含AG的 RtAEG和RtAFG中都不可解.,若设AG=x，在RtAEG中， EG=AGtanEAG=xtan60， 在RtAFG中， FG= AGtanFAG=xtan19.,利用EGFG = EF列方程： 50=(tan60 -tan19) x,谢谢大家,
