《高等数学导数应用课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学导数应用课件.ppt（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2.4 导数的应用 二利用导数研究函数性态,函数的单调性的判别,学习重点,函数极值及最值的确定方法,曲线凹凸性的判别及拐点的确定,高等数学,2.4 导数的应用 二函数的单调性的判别学习重点函数极值,一、函数单调性的判别定理,（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。,（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。,设函数 在 上连续，在 内可导，则,其中导数为零的点称为驻点,简证：,一、函数单调性的判别定理（1） 如果函数,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以，函数在 内是单调递增的。,例1 判别函数,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以
2、，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。,例2 求函数,例3 求函数 的单调区间,解 因为,当 时， 不存在,当 时， ，当 时，,所以，函数在 内单调增加，在 内单调减少。,小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可能将单调区间分开。,例3 求函数 的单调区间解,例4：求函数 单调区间,解：,当 时， 不存在,即在0处不可导,所以，函数在定义域R内单调增,思考其图像，并与函数 图像作比较,例4：求函数 单调区间解：当,例4 求函数 的单调区间,解：,得到驻点，,注：,所以，函数在 内单调减，在 内单调增。,确定函数的单调区间还应注意函数本身的定义域,例4 求函数,小结：求函数的
3、单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；,一阶导数符号决定函数的单调性,小结：一阶导数符号决定函数的单调性,二、函数的极值及判定,极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于 点的 ，都有 ，则称为函数的一个极小值；如果有 ，则称 为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。,由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。,二、函数的极值及
4、判定极值的概念：如果函数 在,（1）极值一定在区间内部取得。 如函数Y=x 在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。（2）某区间内函数极值可以有多个。（3）极小值可以大于极大值。,函数的极值说明,函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性,（1）极值一定在区间内部取得。 函数的极值说明函数的极值是,定理 如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值，则,函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。,即可导的极值点为驻点,究竟如何判断函数的极值？,定理 如果函数 在点 处,极值存在的第一充分条件,设函数 在点 的某个空心邻域内可导,则 在点 处取得极大值；,则 在点 处取得极小值；,极值存在的
5、第一充分条件设函数,判断函数单调性和极值的步骤：,1、求函数的一阶导数,2、找出函数的驻点或一阶不可导点,3、观察这些点左右两侧一阶导数符号的变化从而判定,判断函数单调性和极值的步骤：1、求函数的一阶导数2、找出函数,例1 求函数 的单调区间及极值,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数有极大值 ，有极小值 。,一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。,例1 求函数,例2 求函数 的单调区间和极值,解 因为,当 时， 不存在,当 时， ，当 时，,所以，函数有极小值 。,例2 求函数 的单调区间和,小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，关键是判断这些点
6、两侧的一阶导数符号是否变化,例3 求函数 的极值,所以，函数无极值。（虽然有 ）,例3 求函数 的极值所以，函数,极值存在的第二充分条件,极值存在的第二充分条件,例4 求函数 的极值,解 因为,所以，函数有驻点,而,所以,所以，函数有极大值 ，有极小值 。,注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。,例4 求函数,三、函数的最大值与最小值,已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。,求函数最值的一般步骤与方法,（1）求函数的导数；,（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶
7、导数不存在的点；,（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。,三、函数的最大值与最小值 已有结论：如果函数在,例5 求函数 在 上的最值。,解 因为,令,得,而,例5 求函数,生产实践和科学实验中，常会遇到“最好”、“最省”、“最高”等这样的实际问题。例如，在一定条件下，怎样使用材料最省、利润最大、投入最小等问题。,在医药学中也会遇到类似的问题。比如口服或肌内注射,一定剂量的某种药物后，血药浓度何时达到最高值？,一种疾病与年龄有关，则什么年龄的发病率最高？等等,再转化为求某一函数的最大值或最小值问题
8、,解决这些问题需借助数学模型展现其函数关系式,生产实践和科学实验中，常会遇到“最好”、“最省”、“最高”等,例6（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定： 其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？,解 因为,令,由问题的实际意义，可知 时，,其数量为,细菌群体的数量最大，,例6（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：,例：某地沙眼的患病率与年龄（t）的关系为,问：患病率最高的年龄是多少？最高患病率是多少？,解：,结合实际分析，t=16.6时为患病率最高,代入函数，,例：某地沙眼的患病率与年龄（t）的关系为问：患病率最高的年龄,
9、每月总收入为,租出去的房子有 套，,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为例7每月总收入为设,（唯一驻点）,故每月每套租金为3500元时收入最高。,最大收入为,（唯一驻点）故每月每套租金为3500元时收入最高。最大收入为,例8 某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？,解 设总费用为y，共分x批生产，由题设可得函数关系,令,得唯一驻点,由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。,例8
10、 某厂生产某种商品，某年销售量为100万件,一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。,一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标,四、曲线的凹凸向及拐点,定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是凹的； 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是凸的,凹弧,凸弧,四、曲线的凹凸向及拐点 yxoabyoabx 定义,凹凸弧的判别定理,定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在该区间上：（1）当 时，曲线弧 是凹的；（2）当 时，曲线弧 是凸的。,凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflectio
11、n point)。,凹凸弧的判别定理定理 设函数 在区间,例1 试证明函数 的图形是凹的。,所以，函数的图形在 内是凹的。,证明 函数的定义域为,判断曲线 y=lnx 的凹凸性,内是凸的。,解答,例1 试证明函数,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。,令,得,列表,因为,思考其图像,解 函数的定义域为 例2 求曲线,例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。,解 因为,所以，当 时， ，当 时，,所以，曲线在 内是凹的，在 内是凸的。有拐点 。,小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，可能 对应为拐点； 关键分析其左右两侧曲线的凹凸性是否发生变化，。,例3 求曲线 的凹凸区间及拐点,补充
12、,曲线的渐近线：如果曲线 上的点M沿曲线离坐标原点无限远移时，点M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线 的一条渐近线。,（1）若 或 则 为曲线的垂直渐近线。,（2）若 或 则 为曲线的水平渐近线。,补充 曲线的渐近线：如果曲线,函数作图的一般步骤：（1）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；（6）适当选取一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点；,函数作图的一般步骤：,例4 分析函数 的单调、凹凸及其图像。,解 函数的定义域为,函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称。,因为,所以 是曲线的垂直渐近线， 是曲线的水平渐近线。,又,当 时， 不存在,所以函数在定义域内单调递增。,例4 分析函数,列表,画图,列表画图,
